河南省濮陽市2024屆高三年級下冊一模數(shù)學試卷

2024年河南省濮陽市高考數(shù)學一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合2={%|%2-3%+2〉0},B={x[—3<%<3},則2CB=()

A.{x|-3<%<—2或—1<%<3}B.{x|l<x<2}

C.{%|—3<x<1或2<%<3}D.{x\x>1}

2.已知復數(shù)z「Z2在復平面內(nèi)所對應的點分別為(1,一3),(-2,5),貝山絲+1]=()

Z1

A.苧B.1C.42D.2

3.已知(2久尸)5=a。*'+-1+。2--3+。4-2+-5(爪6R),則“Cl?=720"是"=3”的

''y2yy2yy2

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知AABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,BKC.若cosA=券，a=1,則,「=()

3sinB—sinC

5.已知直四棱柱力BCD的底面為梯形，AB=BB[=3(：n=6,CD〃AB,麗=4兩(0<

A<1),若DDiC平面4clM=N,貝i」DN=()

4Ac4A+2c22+6、24-4

AA?市BECEDE

7.記橢圓G：務l(a>b>0)與圓C2：/+y2=a2的公共點為M,N,其中M在N的左側，力是圓

C2上異于M,N的點，連接AM交Ci于B,若2tcm乙ANM=5tcm乙BNM,則Q的離心率為()

A.|B］C.爭D.雪

8.若函數(shù)/(%)=e%+a/一e在定義域R上存在最小值上則當。一人取得最小值時，a=()

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.在一次數(shù)學測試中，老師將班級60位同學的成績按照從小到大的順序進行排列后得到的原始數(shù)據(jù)為由,

。2,。3,…，。60(數(shù)據(jù)互不相同)，其極差為優(yōu)，平均數(shù)為m則下列結論中正確的是()

A.4al—3,4a2—3,4a3—3,…，4a60—3的均數(shù)—3

B.%+2,a2+2,a3+2,瑪。+2的第25百分位數(shù)與原始數(shù)據(jù)的相同

C.若也署，經(jīng)笠，”要，…，”亨嗎誓幺的極差為加，則4＜根

乙乙乙乙乙

D牛，也署，中，…，”若酗，%噤1的平均數(shù)大于0

10.已知函數(shù)/(%)=2s出(3%+0)?＞0),/'(%)為/(%)的導函數(shù)，則下列結論中正確的是()

A.函數(shù)g(%)=/(x)+/'(%)的圖象不可能關于y軸對稱

B.若9=一限36Z,f(x)在［0,等上恰有4個零點，則3=3

C.若＜p=熱/'(3兀-%)+f(x)=0,則3的最小值為1

D.若3=+(p=g且/(x)在［-:制上的值域為［-1,2］,則小的取值范圍是第席

yDNiUNiUNiU

11.費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質，例如，若點4是雙

曲線C(0,&為。的兩個焦點)上的一點，貝也在點4處的切線平分乙64尸2?已知雙曲線C：1一號=1的左、

o4

右焦點分別為&,F2,直線/為C在其上一點力(4門,2，虧)處的切線，則下列結論中正確的是()

A.C的一條漸近線與直線，-y+3=。相互垂直

B.若點B在直線，上，且則|。用=2，9(。為坐標原點)

C.直線/的方程為-6-4=0

D.延長NF?交C于點P,則的內(nèi)切圓圓心在直線久=苧上

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方

圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形48CD,

EFGH均為正方形，AD=AE=2,則而.用=

13.已知數(shù)列5｝的前幾項和％=/一3幾，bn-an-若與是瓦+I，尻+2的等差中項，貝!Ik=

14.已知函數(shù)〃久)的定義域為R,且f(4x+1)的圖象關于點(0,2)中心對稱，若/(2+x)-“2-￡)+4%=

。，則￡謂/①

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知等比數(shù)列｛廝｝的首項為2,公比q為整數(shù)，且4a1+2ci2+=443.

(I)求｛即｝的通項公式;

(II)設數(shù)列嚴哈T)｝的前幾項和為土,比較土與4的大小關系，并說明理由.

vYL,CLfY

16.(本小題15分)

如圖，在四棱柱4BCD中，二面角—-4B-D均為直二面角.

(1)求證：441_L平面力BCD；

(2)若NZMB==90。，AAt=AD=2AB,二面角D-41c-B的正弦值為噌，求羔的值.

5AD

17.(本小題15分)

在某公司舉辦的職業(yè)技能競賽中，只有甲、乙兩人晉級決賽，已知決賽第一天采用五場三勝制，即先贏三

場者獲勝，當天的比賽結束，決賽第二天的賽制與第一天相同.在兩天的比賽中，若某位選手連勝兩天，則

他獲得最終冠軍，決賽結束，若兩位選手各勝一天，則需進行第三天的比賽，第三天的比賽為三場兩勝

制，即先贏兩場者獲勝，并獲得最終冠軍，決賽結束.每天每場的比賽只有甲勝與乙勝兩種結果，每場比賽

的結果相互獨立，且每場比賽甲獲勝的概率均為p(0<P<1).

(1)若「=今求第一天比賽的總場數(shù)為4的概率；

(11)若「=g,求決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)至多為8的概率.

18.(本小題17分)

已知拋物線C：y2=4x的焦點為凡在x軸上的截距為正數(shù)的直線1與C交于P,Q兩點，直線PF與C的另一

個交點為R.

(1)若/?6,1),求|PR|；

(II)過點R作C的切線匕若1//1',則當APQR的面積取得最小值時，求直線/的斜率.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/1(久)=ax—lnx(aeR).

(1)若無6出,02],討論/(%)的零點個數(shù)；

(II)若%i，久2是函數(shù)gQ)=/'Q)+/(/'(X)為/CO的導函數(shù))的兩個不同的零點，且的<尤2，求證：

1/(X1)—/3)一V+(<》2一”「

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，可得2={x\x2一3%+2>0}={x\x<1或x>2},

結合8={x|-3<x<3},可得力CiB={x|-3<x<1或2<x<3}.

故選：C.

根據(jù)一元二次不等式的解法，求出a={幻久<1或x>2},然后利用交集的法則算出anB,即可得到本題

的答案.

本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的交集的運算法則等知識，屬于基礎題.

2.【答案】A

【解析】解:復數(shù)zi，Z2在復平面內(nèi)所對應的點分別為(1,-3),(-2,5),

...23(-2+51)(1+31)—=_工_

zjl-3i(l-3i)(l+3i)1010

則由+11=1(-蒙+(4)2=當

故選：A.

利用復數(shù)運算法則、復數(shù)的模直接求解.

本題考查復數(shù)運算法則、復數(shù)的模等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：(2x^=)5—CLQX5+Cl］號+42二+&3A+CI4芻+4(爪eR)，

''y2yy2yyl

則a2=Cg23(-m')2,

當&2=720時，解得爪=±3,

故"a?=720”是“m=3”的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結合二項式定理，以及充分條件、必要條件的定義，即可求解.

本題主要考查二項式定理，以及充分條件、必要條件的定義，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解:因為?！?=孚，a=l,

所以sim4=V1-cos2>l=I，

又由正弦定理可得號=勻=-3=2R（R為A力BC的外接圓半徑），

sinAsinBsine''

皿|b—c_2RsinB—2RsinC_9D_a_1_Q

、sinB—sinCsinB—sinCsinA1,

3

故選：D.

由題意利用同角三角函數(shù)基本關系式可求si加4的值，進而利用正弦定理即可求解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式以及正弦定理在解三角形中的應用，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：如圖，因為四棱柱4BCD—A/iGA為直四棱柱，CD//AB,

所以平面〃平面DCCiA，又平面AMCiNC平面43/4=AM,

平面2MGNC平面DCCiQ=C】N,

所以AM//C1N,

故易知△CjDiNsxABM,

故前=加，則話一麗，

解的OiN=卷，

Z+1

則9=6一法=籍.

故選：C.

根據(jù)面面平行性質定理得出AM〃GN,由ACIDINSAABM,得到瑞=需，求得04=^,即可得出

DN.

本題考查空間線面的位置關系、面面平行的判定定理，屬于中檔題

6.【答案】C

i□□2

【解析】解：由題圖可知，sinzBOx=^==,cosZ-BOx=^==,sin乙4。％=^==,cosZ-AOx=^==,

故cos/AOB=COS(ZJ4。％—Z-BOx)

=cosZ-AOxcosZ-BOx+sinZ.AOxsinZ.BOx

9

所以cos2乙4。8=2COS2Z.AOB-1=若.

65

故選：C.

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義可求sin/BOx,cos乙BOx,sin乙4Ox,cos/AOx的值，利用兩角差的

余弦公式可求COSNAOB的值，進而利用二倍角公式即可求解.

本題主要考查了三角函數(shù)的定義、三角恒等變換，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解:設直線力N與直線BN的斜率分別為的，k2,

乙

由2tcmZ71NM=StemBNM,可得2x(-fc1)=5x(―fc2),

.組=2

"%—5*

又根據(jù)題意可知力M1AN,

???直線2M的斜率為—二，即直線BM的斜率為一二，

七ki

m2n2“2

設則運+笆=1，???九2=一形(血2_02),

又易知M(一見0),NQ0),

,._nn_n2-_b2

??BMBN—m+am—a—m2—a2a29

2

17_b

?一瓦"2=-葭，

2

.k2_b_2

?.瓦一刀一或

a的離心率為J1一'=J—I=￥?

故選：D.

設直線AN與直線BN的斜率分別為七，k2,則根據(jù)題意易得著且直線BM的斜率為-2，再根據(jù)橢圓

的幾何性質易得-'42=-%，從而建立方程，即可求解.

本題考查橢圓的幾何性質，化歸轉化思想，方程思想，屬中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：當。=0時，/(x)=ex-e,無最小值，

當a<0時，若x<0,貝行(%)=e%+ax2—e<ax2—e+1,所以f(%)無最小值，

x

當q>0時，/'(X)=e+2ax,易知/'(%)只有一個零點％°,則e%。+2ax0=0,且久°<0,

故當xV%。時，ff(x)<0,當%>%o時，ff(x)>0,

故/(%)在(-8,%0)上單調(diào)遞減，在(%0,+8)上單調(diào)遞增，

eX0

則［/(久)猛譏=f(久o)=ex°+axl-e=b,而a=-西，

1-111

xx

則a—b=-e°(x0—-——2)+e,令夕(%)=-e(x—--2)+e,x<0,

則"久)=ee耍+D,

當%<—1時,(p'(x)<0,當一1<x<0時,(p'(x)>0,

1

故即(x)bnin=9(-1)=e--<此時a=五，6=五一e-

O乙匕乙匕

故選：力.

分別討論a=0,a<0和a>0三種情況，由題意知a=0和a<0時無最小值，當a>0時，/(久)在

(-8,而)上單調(diào)遞減，在(%。,+8)上單調(diào)遞增，根據(jù)/(X)的最小值和構造函數(shù)即可求解.

本題考查了函數(shù)與導數(shù)的綜合應用，屬于中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：對于4由平均數(shù)的性質可知，4%—3,4a2—3,4a3-3,....4a6。一3的平均數(shù)為4a-

3,故A正確；

對于B,現(xiàn)數(shù)據(jù)比原數(shù)據(jù)都大2,所以第25百分位數(shù)必然也會大2,故2錯誤；

對于C,因為也署，經(jīng)署，”詈，…，”若絢，色噤1的最小數(shù)據(jù)為也署，最大數(shù)據(jù)為駕駟，

所以極差加'="等歿-空=(。59+。嗎一(旬+。2)<2(。6廣1)=a60_ai=m,故C正確；

對于。，2(第1*+-)=擊能】見=a，故。錯誤.

故選：AC.

根據(jù)平均數(shù)的性質可判斷4D,根據(jù)百分位數(shù)的定義和極差的定義和判斷BC.

本題主要考查了平均數(shù)、極差和百分數(shù)的定義，屬于基礎題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于4f(x)=2sin(a>x+(p~),

f'(x)—2cos(cox+(p),故g(x)=f(x)+f(x)=2sin(3x+<p)+2a)ocos(a)x+(p),

當3=1,0=押，g(%)=2s皿％+$+2cos(%+》=2V~^cosx為偶函數(shù)，此時函數(shù)g(%)=/(%)+

/'(%)的圖象關于y軸對稱，A錯誤；

對于B,X6［0,y］,則3%—建［—焉嚶—/

由于/(%)在［0,等上恰有4個零點，故3兀W嚶Y<4兀，

即kW3<k，而&)ez,故3=3,B正確；

OO

對于C,由于/(3兀一乃+/(久)=0,則/(%)的圖象關于點卷,0)對稱,即/能=2s譏(等+)=0,

則等+亨=卜呼6Z),即3=—、等kez,又3>0,故k=l時，3的最小值為小C正確；

對于D,3=竿,(p—1時,f(x)=2sin(-^-x+'),由于xe［一手,ni\,

故引+9v，與+/

而f⑺在［―霽,網(wǎng)上的值域為［―1,2］,故注等+弊？，

.?.|^<m<。錯誤.

ZU4

故選：BC.

求出尸(%),化簡g(x)=f(久)+尸。)的表達式，判斷奇偶性，即可判斷力；

確定3X—［―2警—勺，根據(jù)零點個數(shù)列出不等式，求得3,判斷B;

根據(jù)三角函數(shù)的對稱性可判斷C；

確定學無+裊［—巳等+芻，結合題意列出不等式央等+為號，求出小的范圍，判斷￡(.

93L693JZ93o

本題主要考查了正弦函數(shù)性質的綜合應用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：雙曲線C：1―［=1的漸近線方程為y=±乎x，由y=—與直線J^—y+3=0相互

垂直，故A正確；

若點8在直線/上，且48,延長&B與4F2，交于H,由題意可得|4&|=依用，

且。8為4尸#2”的中位線，

由雙曲線的定義可得|26|—|山引=|F2HI=2a,則|。用=發(fā)尸2m=。=2，1,故2正確;

C在其上一點4（44,2匹）處的切線方程為理—畢=1，化為Cx-，^/一2=0,故C錯誤;

82

將X=殍代入切線方程可得點（苧，等）,又26的方程為"％_3網(wǎng)+2AA15=0,4尸2的方程為4％-

/3y-2715=0,

由=解得p（與f,_竽），可得P0的方程為"久+i3Cy+2，T^=0，

可以驗證點（殍，等）到直線A0,AF2,Pa的距離均為察，故。正確.

故選：ABD.

求得雙曲線的漸近線方程，可判斷4由雙曲線的定義和等腰三角形的三線合一、中位線定理可判斷出由

雙曲線的切線方程可判斷C；分別求得AF2,PF1的方程，考慮切線方程求得點（殍,等），驗證是否

為內(nèi)心可判斷D.

本題考查雙曲線的定義、方程和性質，以及直線和雙曲線的位置關系，考查方程思想和運算能力，屬于中

檔題.

12.【答案】16

【解析】解：由題意，建立如圖所示平面直角坐標系，

則尸（一2,0）,8（2,2）,2（0,2）,H（4,2）,

則麗=（4,2）,而=（4,0）,

故麗?麗=4X4=16.

故答案為：16.

建立平面直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求解即可.G

本題考查平面向量數(shù)量積的運算，屬基礎題.

13.【答案】3

2

【解析】解：因為數(shù)列｛冊｝的前71項和5n=n-3n,

當九之2時，CLn=Sn-^n-l=九之一371—(九一1)2+3(Tl-1)=212—4,

n=1時，%=Si=—2適合上式，

故a九=2n-4,

a

bn=an-(/3)-"=(2n-4).(扔蟲,

若學是既+1，瓦+2的等差中項,即2X與=尻+1+尻+2，

則(2k-4).的-2=(2k-2).(滬1+2k?(處

解得，k=3.

故答案為：3.

由已知結合數(shù)列的和與項的遞推關系先求出廝，進而可求“，然后結合等差數(shù)列的性質即可求解.

本題主要考查了數(shù)列的和與項的遞推關系的應用，還考查了等差數(shù)列性質的應用，屬于中檔題.

14.【答案】—9700

【解析】解：對任意％ER,由于4%+lER,且函數(shù)/(%)的定義域為R,

故點。,/(4%+1))在曲線y=/(4x+1)上，且曲線y=f(4x+1)關于點(0,2)中心對稱，

故點(一陽4-/(4x+1))也在曲線y=f(4x+1)上，

從而4—f(4%+1)=/(—4%+1),

從而對任意％GR有/(I+4%)+/(I—4%)=4,

從而對任意Xe/?,由［eR知/(1+%)+7(1-%)=4,

根據(jù)條件有f(2+%)-f(2一%)+4%=0,即/(2+%)-/(2-％)=-4%,

對任意的整數(shù)九，有f伽)=f(2+(n-2))=f(2-(n-2))-4(n-2)

=/(4—n)+8—4n=/(I+(3-n))+8—4n

=4-/(I-(3-n))+8-4n

=-f(ji-2)+12-4n,

所以/(九—2)+f(ri)=12—4n,

從而有f(4n—3)+/(4n-2)+/(4n—1)+/(4n)

=(/(4n-3)4-/(4n-1))+(/(4n—2)+/(4n))

=12-4(4n-1)+12-4(4n)=28-32n,

故鵡f①=/(I)+f(2)+-+f(100)

=[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]+[/⑸+/(6)+/(7)+/(8)]+…+，(97)+=98)+”99)+/(100)]

25

=W"(4i-3)+/(4i-2)+/(4i-1)+/(4i)]

i=l

2525

=W(28-32i)=28x25-32Wi

i=li=l

i

=28x25-32xiX(1+25)x25=-9700.

故答案為：-9700.

先根據(jù)條件證明/(1+乃+/(1-久)=4,然后由/(2+久)一〃2-乃+4乂=0證明/0-2)+/0)=

12-4n,再由此證明-3)+/(4n-2)+/(4n-1)+/(4n)=28—32n,最后由求和公式得到結

果.

本題主要考查了賦值法及函數(shù)的對稱性在函數(shù)求值中的應用，屬于中檔題.

3

15.【答案】解：(I)因為4al+2a2+a4=4a3,所以4al+2arq+a1q=4aH，

即q3—4q2+2q+4=0,也即(q-2)(q2—2q—2)=0,

因為q6Z,所以q=2,

故斯=內(nèi)必-1=2n.

（II）結論：Sn<4,理由如下:

2(nV~n—1)

由（I）可知，2（誓f

V九以九

rpsrnV-n—1n/n_n

因為〈赤￥=

所以snv2(^+<+)+…+￡),

令+,+*+…+端①'

則:+向②，

小的么曰Tn_1,1?11?1n_我一次)n_1九+2

①一⑷，倚彳一萬+/+/+…+/一^1-^71------1-^H+T,

則7;=2一審，

故乃<2,故%<2Tn<4.

【解析】（I）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得關于q的方程，求出q值，即可求解的通項公式；

（II）判斷工<4,由（I）可得2（譽7=2（嗎",利用放縮法可得喏竦（駕=9,結合錯位相減法

v九V九V九V幾N

即可得為與4的大小關系.

本題考查等比數(shù)列的通項公式、錯位相減法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】(1)證明：在平面力BCD內(nèi)取一點E,過點E作直線a14。，

因為二面角4—4D為直二面角，所以平面44。，平面力BCD,

又平面C平面ABC。=AD,au平面ABC。，所以a1平面44D,

因為4/Iu平面4tAD,所以Av!la,

同理，過點E作直線blHB,

因為二面角4一4B-D為直二面角，

所以平面1平面48CD,

又平面力14BC平面力BCD=AB,bu平面ABCD,所以61平面力i&B,

因為AAu平面2遇3,所以&a_Lb,

因為4D,4B不平行，所以a,。不重合，

又aClb=E,a,6u平面ABCD,

所以力遇_L平面4BCD.

(2)解：以4為坐標原點，AD,AB,441所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設28=1,BC=t,貝!)8(0,1,0),D(2,0,0),2式0,0,2),C(t,1,0),

所以砧=(0,1,-2)，~BC=(t,0,0),A^D=(2,0,-2),DC=(t-2,1,0),

設平面力/c的法向量為布=(”z),則眄?竺=y-2z=0,

\jm-BC=tx=0

取z=l,則％=0,y=2,所以記=(0,2,1),

設平面4CD的法向量為元=(a,b,c),則,竺=2。-2c=0,

.(n-DC=Qt-2)a+b=0

取a=1,貝防=2—t,c=1,所以元=(1,2—t,1),

因為二面角。一力iC-B的正弦值為

所以|cos〈記，n>\=J1_咨)2=等,

\m-n\_|2(2-t)+l|_2VT

即|沅|?同一忖匕:：2,——>解得t=71^

11116xjl+(2-t)+14

【解析】（1）在平面2BCD內(nèi)取一點E,過點E作直線alAD,由面面垂直的性質定理可證1a,過點E

作直線614B,同理可證16,再由線面垂直的判定定理，即可得證；

（2）以4為坐標原點建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角，即可得解.

本題考查立體幾何的綜合應用，熟練掌握面面垂直的性質定理，線面垂直的判定定理，以及利用向量法求

二面角是解題的關鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：（I）第一天比賽的總場數(shù)為4分兩種情況：

①第四場甲勝，前三場甲勝兩場，

②第四場乙勝，前三場乙勝兩場，

故所求概率P=程x（|）2x*|+盤x（扔x*卜果

（II）設決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)為匕

貝UP（y<8）=P（Y=6）+P（y=7）+P（Y=8）,

因為P（y=6）=?）3x（1）3x2=*,P（Y=7）=x弓）4X（1）3x2x2=最，p（y=8）=4x（1）5x

（i）3X2X2+CiX（》4x廢X?）4x2+?）3X弓）3X?）2x2X2=焉，

所以p（y<8）=1+攝+蒜=蒜.

【解析】（I）分第四場甲勝，前三場甲勝兩場和第四場乙勝，前三場乙勝兩場兩種情況，利用獨立事件的

概率乘法公式求解；

（H）設決出最終冠軍時比賽的總場數(shù)為丫，利用獨立事件的概率乘法公式求出p（y=6）,p（y=7）,P（Y=

8）即可.

本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：（I）拋物線C：*=敘的焦點為FQ,O）,

可得PF的方程為y=—久久―1）,與拋物線的方程聯(lián)立，可得4比2—17久+4=0,

則；+孫=學,解得孫=1,伊陽另+4+2=予；

(II)設荏)，m,n>0,可得層=4zn,

由y=2c的導數(shù)y'=尸，可得切線「的方程為y-n=〒(x—m),

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即有、=京+早,設I的方程為y=1+t，

由PF的方程y=S(x-