由不等式的整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)范圍問題講義-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

由不等式整數(shù)解個數(shù)求參數(shù)范圍問題在高一不等式專題學(xué)習(xí)和月考練習(xí)題中，經(jīng)常出現(xiàn)這類問題：若有且只有一個整數(shù)解x0,使得fx0＜0或者fx0＞，求參數(shù)的取值范圍；若恰有幾個整數(shù)x1，x2，x3…使得fx這類題步驟相對復(fù)雜，許多學(xué)生遇到這類題思路混亂，導(dǎo)致解題不夠理想，為此，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際，整理了直接求解不等式后確定參數(shù)的取值范圍題型的具體解題步驟，供學(xué)生學(xué)習(xí)參考。概括講，解這類題，具體分三步：第一步：化為含參數(shù)不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）。第二步：對含參不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的兩根。則方程ax2+bx+c=0的解為x1,x2.關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＜0即（x+x1）(x+x2)＜0。第三步：含參分析方程根的情況。比較分析方程兩根的大小，確定取值范圍。例1.若x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有兩個整數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解題步驟：解：第一步：化為含參數(shù)不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）關(guān)于x的不等式x2+（m+1）x+m＜0即（x+m）(x+1)＜0。第二步：對含參不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的兩根。令（x+m）(x+1)=0。則方程x2+（m+1）x+m的解為x1=1,x2=m.第三步：含參分析方程根的情況。比較分析方程兩根的大小，確定取值范圍。由x的不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集中恰有兩個整數(shù)，需要對不等式x2+（m+1）x+m＜0的解集進(jìn)行討論。要比較1與m的大小。分類討論：（1）當(dāng)1＞m時.即m＜1，函數(shù)圖像fx=x2+（m+1）x+m的開口向上，不等式fx=x2+（m+1）x+m＜0的解集在圖像與x軸交點(diǎn)的中間，即m＜x＜1。則不等式的整數(shù)解為2、3.所以端點(diǎn)m的取值在數(shù)軸上處于4與3之間，且m能取4不能取3.所以4≤m＜3，即3（2）當(dāng)1＜m時.即m＞1，函數(shù)圖像fx=x2+（m+1）x+m的開口向上，不等式fx=x2+（m+1）x+m＜0的解集在圖像與x軸交點(diǎn)的中間，即1＜x＜m。則不等式的整數(shù)解為0、1.所以端點(diǎn)m的取值在數(shù)軸上處于1與2之間，且m能取2不能取1.所以1＜m≤2，即2綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍[2,1）?（3,4]?例0＜b＜1+a，若關(guān)于x的不等式（xb）2＞（ax）2的解集中的整數(shù)解恰有3個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解題步驟：解：第一步：化為含參數(shù)不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）關(guān)于x的不等式（xb）2＞（ax）2即（xb）2（ax）2＞0（可根據(jù)（a2b2=(ab)(a+b）分解因式）即[(a+1)x-b]?·[(a1)x+b]＜第二步：對含參不等式分解因式（一般式子能十字相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的兩根。令[(a+1)x-b]?·[(a1)x+b]=0。則方程[(a+1)x-b]?·[(a1)x+b]=0的解為x1=-ba-1,x2=第三步：含參分析方程根的情況。比較分析方程兩根的大小，確定取值范圍。由x的不等式[(a+1)x-b]?·[(a1)x+b]＜0的解集中恰有兩個整數(shù)，需要對不等式[(a+1)x-b]?·[(a1)x+b]＜0的解集進(jìn)行討論。要比較-ba-1與ba+1的大小。顯然-ba-1＜ba+1，所以不等式解集的左端點(diǎn)為由于0＜b＜1+a，故ba+1＜1，所以解集里的三個整數(shù)解恰好為2、1、0，從而左端點(diǎn)在3與2之間，且端點(diǎn)能取3，不能取2.即3≤-ba-1＜2，即2a2＜b≤3a因?yàn)閎＜1+a，所以2a2＜1+a,所以a＜3.綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍（1,3）例x的不等式（2x+1）2＜ax2的整數(shù)解恰有3個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解題步驟：解：第一步：化為含參數(shù)不等式的一般形式（ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0）由題意可知a＞0.關(guān)于x的不等式（2x+1）2＜ax2，即（4a）x2+4x+1＜0，[(2a)x+1]?·[(2+a)x+1]＜第二步：對含參不等式分解因式（一般式子能十指相乘分解因式）。令ax2+bx+c=0，求出方程的兩根。令[(2a)x+1]?·[(2+a)x+1]=0。則方程[(2a)x+1]?·[(2+a)x+1]=0的解為x1=-12-第三步：含參分析方程根的情況。比較分析方程兩根的大小，確定取值范圍。由（4a）x2+4x+1＜0的解集中有三個整數(shù)解，需要對不等式（4a）x2+4x+1＜0的解集進(jìn)行討論。不等式二次項(xiàng)系數(shù)（4a）范圍不確定，要對其區(qū)分大于零、等于零、小于零進(jìn)行討論。分類討論：（1）當(dāng)（4a）＜0即a＞4.因?yàn)槿簦?a）＜0，函數(shù)圖像fx=（4a）x2+4x+1的開口向下，不等式fx=（4a）x2+4x+1＜0的（2）當(dāng)a=4時，函數(shù)fx=（4a）x2+4x+1＜0，即4x+1＜0，x＜（3）當(dāng)（4a）＞0即0＜a＜4.不等式（4a）x2+4x+1＜0的解集為有限集。根據(jù)方程[(2a)x+1]?·[(2+a)x+1]=0的解為x1=-12-a,x2=-12+a.因?yàn)?＜a＜4，可知a＜2a+2可知-12+a＜-12-a，所以不等式（4a）x2+4x+1＜所以，解集為-12+a＜x＜-12-a。（分析：知道了取值情況，要確定端點(diǎn)的取值。而又因-12+a＜14，所以解集里三個整數(shù)解恰好為0、1、2，解集右