專題16直線與圓的位置關(guān)系8種常見考法歸類（原卷版）

專題16直線與圓的位置關(guān)系8種常見考法歸類1、直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系及圖形表示關(guān)系相交相切相離圖形由上表可知，當直線與圓相交時，有兩個公共點；當直線與圓相切時，只有一個公共點；當直線與圓相離時，沒有公共點．（2）直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法．①代數(shù)法(判別式法)：將直線和圓的方程聯(lián)立得到一個關(guān)于x，y的二元二次方程組，消去y(或x)得到一個關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則Δ>0?直線和圓相交(有兩個公共點)；Δ＝0?直線和圓相切(有一個公共點)；Δ<0?直線和圓相離(無公共點)．②幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線和圓相交(有兩個公共點)；d＝r?直線和圓相切(有一個公共點)；d>r?直線和圓相離(無公共點)．即有位置關(guān)系相交相切相離圖示公共點個數(shù)210代數(shù)條件Δ>0Δ＝0Δ<0幾何條件d<rd＝rd>r通常優(yōu)先選擇用幾何方法判斷直線與圓的位置關(guān)系．注：“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系優(yōu)勢：“代數(shù)法”與“幾何法”判斷直線與圓的位置關(guān)系是從不同的方面，不同的思路來判斷的，“代數(shù)法”側(cè)重于“數(shù)”，更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”則側(cè)重于“形”，結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)．3、圓的切線問題（1）自一點引圓的切線的條數(shù)①若點在圓外，則過此點可以作圓的兩條切線；②若點在圓上，則過此點只能作圓的一條切線，且此點是切點；③若點在圓內(nèi)，則過此點不能作圓的切線．注：過一點求圓的切線方程時，要考慮該點是否在圓上．當點在圓上時，切線只有一條；當點在圓外時，切線有兩條．（2）切線方程的幾個重要結(jié)論①經(jīng)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2.②經(jīng)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.③經(jīng)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＋D·eq\f(x＋x0,2)＋E·eq\f(y＋y0,2)＋F＝0.④已知圓x2＋y2＝r2的切線的斜率為k，則圓的切線方程為y＝kx±req\r(k2＋1).（3）切線長公式過圓外一點P(x0，y0)引圓的兩條切線，則切線長為eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F)＝eq\r(x0－a2＋y0－b2－r2).（4）切點弦方程過圓x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)引圓的兩條切線，切點分別為A，B，則過A，B兩點的直線方程為x0x＋y0y＝r2.4、圓的弦長問題設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，圓O的方程為(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，求弦長的方法有以下兩種：(1)幾何法：如圖所示，過圓心O作l的垂線，由圓的性質(zhì)知垂足G為線段EF的中點．在Rt△OGF中，|GF|2＝r2－d2，則弦長|EF|＝2|GF|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點坐標分別為E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)．①若交點坐標簡單易求，則直接利用兩點間的距離公式進行求解．②將方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,x－x02＋y－y02＝r2))消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的關(guān)系式，則有：|EF|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])，或|EF|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).通常把|EF|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|或|EF|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|叫做弦長公式．5．解決此類問題的關(guān)鍵是理解直線與圓的位置關(guān)系和直線與圓的公共點的個數(shù)間的等價關(guān)系．6．判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法：代數(shù)法(判別式法)和幾何法．代數(shù)法將直線與圓的公共點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個數(shù)問題，利用判別式加以判斷，往往計算量比較大，但它是判斷直線與圓的位置關(guān)系的通用方法；幾何法是結(jié)合幾何圖形，充分利用圓的幾何性質(zhì)，將直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離與圓的半徑之間的大小關(guān)系，是判斷直線與圓的位置關(guān)系的一般方法．注：直線與圓的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜07、過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.8、過圓外一點(x0，y0)的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當用此法只求出一個方程時，另一個方程應(yīng)為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．(2)代數(shù)法：若切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，將y＝kx－kx0＋y0代入圓的方程，得到一個關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求得k，從而求出切線方程．此外，注意檢驗切線斜率不存在的情形．9、求切線長(最值)的兩種方法(1)(代數(shù)法)直接利用勾股定理求出切線長，把切線長中的變量統(tǒng)一成一個，轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值；(2)(幾何法)把切線長最值問題轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離問題．10、求弦長的兩種方法求解直線被圓截得的弦長問題時，解法有以下兩種．(1)由于半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，所以利用勾股定理d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2＝r2求解，這是常用解法．(2)聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩交點橫坐標(或縱坐標)之間的關(guān)系，利用弦長公式或兩點間距離公式求解．此種方法運算較為煩瑣，一般不用．11、圓的中點弦問題解決與中點弦有關(guān)的問題，有下列三種常見方法：(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點坐標；(2)設(shè)出弦的兩個端點的坐標，代入圓的方程利用作差法求出斜率，此法即為點差法；(3)利用圓本身的幾何性質(zhì)，即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦垂直．12、利用直線與圓的方程解決實際問題的一般步驟是：1認真審題，明確題意；2建立平面直角坐標系，用坐標表示點，用方程表示曲線，從而在實際問題中建立直線與圓的方程；3利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；4把代數(shù)結(jié)果還原為實際問題的結(jié)果.13、坐標方法解決平面幾何問題的“三步曲”考點一直線與圓位置關(guān)系的判斷考點二由直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)考點三求直線與圓的交點坐標考點四圓的切線問題（一）過圓上一點的切線方程（二）過圓外一點的切點方程（三）切線長問題考點五圓的弦長問題（一）求弦長（二）中點弦問題（三）切點弦問題考點六直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值考點一直線與圓位置關(guān)系的判斷1．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學考試）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定2．（2023秋·高二課時練習）判斷圓與下列直線的位置關(guān)系：(1)；(2)；(3)．3．（2023秋·河南南陽·高二南陽中學校考開學考試）下列直線中，與圓相切的有（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·高三專題練習）直線和圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定5．（2023秋·遼寧鞍山·高二岫巖高中?？茧A段練習）直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定6．（2023秋·遼寧大連·高二大連八中校考階段練習）已知點在圓外，則直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定7．（2023秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學校考開學考試）直線繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后所得的直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．直線過圓心 B．直線與圓相交，但不過圓心C．直線與圓相切 D．直線與圓無公共點考點二由直線與圓位置關(guān)系求參數(shù)8．（2023秋·高二課時練習）當為何值時，直線與圓分別有如下位置關(guān)系：(1)相交；(2)相切；(3)相離．9．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線，圓，分別求直線與圓相交?相切?相離時b的取值范圍.10．（2023秋·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┤糁本€與曲線恰有一個公共點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．11．（2023秋·河南開封·高二開封市祥符高級中學校聯(lián)考階段練習）若直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習）若圓上到直線的距離等于1的點恰有3個，則（

）A． B．C． D．13．（2023·全國·高三專題練習）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線l的傾斜角的正切值的取值范圍為．14．（2023·全國·高三專題練習）若直線l：與圓C：有公共點，則實數(shù)a的最小值是．考點三求直線與圓的交點坐標15．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）求直線和圓的公共點的坐標，并判斷它們的位置關(guān)系．16．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線與圓，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，若相交求出交點坐標．17．（2023秋·高二課時練習）已知直線和圓，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．如果相交，求出它們的交點的坐標．18．（2023秋·安徽·高二?？计谥校┲本€：與圓相交、兩點，則．19．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學考試）在平面直角坐標系中，已知圓過點，為圓上一點，且弧的中點為，則點的坐標為.20．（2023·全國·高二專題練習）直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．321．（2023·全國·高二專題練習）直線與曲線的交點個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個考點四圓的切線問題（一）過圓上一點的切線方程22．（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習）圓在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．23．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）圓在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．24．（2023秋·河北滄州·高二泊頭市第一中學校考階段練習）已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項錯誤的是（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．過點作曲線的切線，則切線方程為25．（2024·陜西寶雞·?？家荒＃┮阎c在圓上，過作圓的切線，則的傾斜角為（）A． B． C． D．26．（2023·全國·高二專題練習）已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則．27．（2023·全國·高二課堂例題）證明：與圓相切于點的切線的方程是．（二）過圓外一點的切點方程28．（2023春·廣東佛山·高二?？计谥校┻^原點且與圓相切的直線方程是（

）A． B．或C．或 D．或29．（2023春·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學?？奸_學考試）過點向圓引切線，則其切線方程為.30．（2023秋·高二課時練習）解答下列問題．(1)求經(jīng)過點且與相切的直線的方程；(2)求經(jīng)過點且與圓相切的直線的方程．31．【多選】（2023秋·江西九江·高二永修縣第一中學?？奸_學考試）若過點可以作出圓的兩條切線，則實數(shù)可能的值為（

）A． B． C． D．32．（2023秋·廣東東莞·高二東莞市光明中學?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，，，，圓為△的外接圓．(1)求圓M的標準方程；(2)過點作圓M的切線，求切線方程．33．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．34．（2023·全國·高二專題練習）過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A． B． C． D．35．【多選】（2023秋·全國·高二期中）一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切，則反射后光線所在直線的方程可能是（

）A． B．C． D．36．（2023秋·高二課時練習）（1）如果實數(shù)x，y滿足，求的最大值和最小值；（2）已知實數(shù)x，y滿足方程，求的取值范圍．（三）切線長問題37．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）已知過點作圓的切線，則切線長為.38．（2023秋·高二課時練習）過原點O作圓的兩條切線，設(shè)切點分別為P，Q，求線段PQ的長．39．（2023秋·江蘇·高二校聯(lián)考開學考試）已知圓C與直線相切于點，且圓心C在直線上．過原點引圓C的切線，則切線長為．40．（2023秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考開學考試）已知點是圓上的動點，直線與軸、軸分別交于兩點，當最小時，（

）A． B． C． D．41．（2023秋·廣西南寧·高二南寧二中?？奸_學考試）已知圓：，直線：.(1)若直線與圓相切，求的值；(2)若，過直線上一點作圓的切線，，切點為，，求四邊形面積的最小值及此時點的坐標，42．（2023秋·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯(lián)考開學考試）已知圓，過點作圓C的兩條切線，切點分別為A，B．則四邊形的面積為（

）．A．6 B．12 C．14 D．1843．（2023春·山東菏澤·高三?？奸_學考試）過點與圓相切的兩條直線的夾角為則（

）A．1 B． C． D．44．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中學校考階段練習）已知⊙M：，直線l：，點P為直線l上的動點，過點P作⊙M的切線，切點為A，則切線段長的最小值為．45．（2023秋·河北邯鄲·高三統(tǒng)考階段練習）過圓：上一點作圓：的兩切線，切點分別為，，設(shè)兩切線的夾角為，當取最小值時，.46．（2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知圓，點在直線上，過點作直線與圓相切于點，則的周長的最小值為.考點五圓的弦長問題（一）求弦長47．（2023秋·北京·高三統(tǒng)考開學考試）直線被圓所截得的弦長為（

）A．1 B． C．2 D．348．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考期中）在軸上的截距分別為的直線被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．49．【多選】（2023秋·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習）已知圓與直線，下列選項正確的是（

）A．圓的圓心坐標為 B．直線過定點C．直線與圓相交且所截最短弦長為 D．直線與圓可以相切50．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？茧A段練習）直線與圓相交于、兩點，若，則等于（

）A．0 B． C．或0 D．或051．（2023秋·重慶長壽·高二重慶市長壽中學校?？计谀┮阎渣c為圓心的圓與直線相切，過點的直線l與圓A相交于M，N兩點，Q是MN的中點，.(1)求圓A的標準方程；(2)求直線l的方程.52．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶南開中學?？茧A段練習）圓C：內(nèi)有一點，過點P作直線l交圓C于A，B兩點.(1)當弦AB最長時，求直線l的方程；(2)當直線l被圓C截得的弦長為時，求l的方程.53．（2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ械谝恢袑W校考階段練習）已知圓，直線l過點，且交圓O于P，Q兩點，使弦長為整數(shù)的直線l共有條.54．（2023秋·高二課時練習）過點且被圓C：所截得的弦長最短，求此時直線l的方程．55．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）已知圓，直線則直線被圓截得的弦長的最小值為（

）A．5 B．4 C．10 D．2（二）中點弦問題56．（2023·全國·高二專題練習）圓的一條弦以點為中點，則該弦的長為（

）A．2 B．4 C． D．57．（2023·全國·高二專題練習）若為圓的弦的中點，則直線的方程是（

）A． B．C． D．58．（2023·全國·高二專題練習）若點為圓的弦的中點，則直線的方程是（

）A． B． C． D．59．（2023秋·山東淄博·高二山東省淄博第一中學校考期中）設(shè)半徑為3的圓被直線截得的弦的中點為，且弦長，則圓的標準方程.60．（2023秋·高二課時練習）直線與圓相交于兩點，若弦的中點為，則（1）的取值范圍是；（2）直線的方程為．61．【多選】（2023秋·安徽馬鞍山·高二馬鞍山二中?？计谥校┮阎本€與圓：相交于，兩點，弦的中點為.下列結(jié)論中正確的是（

）A．實數(shù)的取值范圍為 B．實數(shù)的取值范圍為C．直線的方程為 D．直線的方程為（三）切點弦問題62．（2023·全國·高三專題練習）過點作圓C：的兩條切線，切點分別為A，B，則直線的方程為（）A． B．C． D．63．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期末）過坐標原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B． C． D．264．（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學校聯(lián)考開學考試）已知是上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，當直線與平行時，（

）A． B． C． D．465．（2023秋·湖北武漢·高二武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）期中）已知點M作拋物線上運動，圓過點，過點M引直線與圓相切，切點分別為P，Q，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．66．（2023秋·高二單元測試）從直線上的任意一點作圓的兩條切線，切點為，則弦長度的最小值為．考點六直線與圓的位置關(guān)系求距離的最值67．（2023秋·河南洛陽·高三洛寧縣第一高級中學?？茧A段練習）已知直線和圓O:，則圓心O到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．68．（2023秋·高二課時練習）已知直線與圓，求圓上各點到直線的距離的最大值．69．（2023秋·江蘇南京·高二?？奸_學考試）已知A，B是圓C：上的兩個動點，且，若，則點P到直線AB距離的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．770．【多選】（2023秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）已知點P在圓上，點，，，則（

）A． B．當面積最大時，C．當最小時， D．當最大時，71．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)O為坐標原點，A為圓C：上一個動點，則的最大值為（

）A． B． C． D．72．【多選】（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）已知實數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項正確的是（

）A．點到曲線C上任意點距離最大為7 B．的最大值是3C．的最小值是 D．的取值范圍是考點七直線與圓方程的實際應(yīng)用73．（2023秋·江蘇揚州·高二統(tǒng)考開學考試）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)，已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處，如果輪船沿直線返港，不會有觸礁危險，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．74．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）據(jù)氣象臺預(yù)報：在A城正東方300km的海面B處有一臺風中心，正以每小時40km的速度向西北方向移動，在距臺風中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響．從現(xiàn)在起經(jīng)過約h，臺風將影響A城，持續(xù)時間約為h(結(jié)果精確到0.1h)．75．（2023·全國·高二專題練習）如圖是某圓拱橋的一孔圓弧拱的示意圖，該圓弧拱跨度米，每隔5米有一個垂直地面的支柱，中間的支柱米.(1)建立適當?shù)淖鴺讼登笤搱A拱橋所在曲線的方程;(2)求其它支柱的高度（精確到0.01米）．76．（2023·全國·高二專題練習）萬平方千米的大地之下?lián)碛谐^座，總長接近赤道長度的隧道（約千米）.這些隧道樣式多種多樣，它們或傍山而過，上方構(gòu)筑頂棚形成“明洞”﹔或掛于峭壁，每隔一段開出“天窗”形成掛壁公路.但是更多時候它們都隱伏于山體之中，只露出窄窄的出入口洞門、佛山某學