期中復(fù)習(xí)構(gòu)造全等三角形常見輔助線作法培優(yōu)教案(橫版)

構(gòu)造全等三角形、常見輔助線作法適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60分鐘知識(shí)點(diǎn)1.三角形全等證明思路2.構(gòu)造全等三角形3.常見輔助線的作法教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1、掌握三角形全等的證明思路，學(xué)會(huì)遷移運(yùn)用，舉一反三；2、掌握構(gòu)造全等三角形的基本方法，對(duì)每種方法進(jìn)行歸納總結(jié)，內(nèi)化為自己的解題方法；3、掌握常見輔助線的做法，遇到相應(yīng)的題型是要能快速的想到如何做輔助線4、經(jīng)歷探索三角形全等條件的過(guò)程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過(guò)程。過(guò)程與方法1、以學(xué)生為主，把握上課重難點(diǎn)，以經(jīng)典例題為主，灌輸解題的思想給學(xué)生；2、把握重難點(diǎn)、考點(diǎn)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際以及期中考試的熱點(diǎn)問(wèn)題、經(jīng)典例題進(jìn)行針對(duì)性的鞏固訓(xùn)練；3、引導(dǎo)學(xué)生由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，通過(guò)實(shí)例操作、總結(jié)、歸納出證明三角形全等的一般證明思路、如何構(gòu)造全等三角形、常見輔助線的作法與證明過(guò)程。情感、態(tài)度與價(jià)值觀1、培養(yǎng)學(xué)生歸納、推理的能力；2、培養(yǎng)學(xué)生遷移類推的能力；3、培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有強(qiáng)烈的好奇心和求知欲；4、在學(xué)習(xí)過(guò)程中，體驗(yàn)獲得成功的樂(lè)趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；5、體會(huì)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)1.三角形全等證明思路2.構(gòu)造全等三角形教學(xué)難點(diǎn)常見輔助線的作法

教學(xué)過(guò)程一、課堂導(dǎo)入已知：如圖，B、E、F、C四點(diǎn)共線，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．求證：OA=OD．問(wèn)題：大家對(duì)上面這道題目如何解答呢？大家覺(jué)得全等三角形這一章哪部分內(nèi)容最那學(xué)，可能你會(huì)說(shuō)全等三角形的證明，對(duì)，的確是；如果再具體一點(diǎn)的話，應(yīng)該是如何作輔助線、構(gòu)造全等三角形吧，OK，那么對(duì)于這類問(wèn)題我該如何入手呢？這就是今天我們這堂課所要重點(diǎn)解決的問(wèn)題。

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（一）全等三角形的概念性質(zhì)全等三角形的基本概念:全等形的定義:能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊。重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。(3)全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

（二）在運(yùn)用全等三角形的基本性質(zhì)時(shí)，其關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角，找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角通常有以下幾種方法：全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角；兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)邊（或最大角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角），一對(duì)最短邊（或最小角）是對(duì)應(yīng)邊（或?qū)?yīng)角）。

（三）全等三角形的判定1.全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS);2.全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS);3.全等三角形判定3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA);4.全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS);5.全等三角形判定5：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)。

（四）證明三角形全等的思路通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，將解決的問(wèn)題歸結(jié)到證明某兩個(gè)三角形的全等后，采用哪個(gè)全等判定定理加以證明，可以按下圖思路進(jìn)行分析：切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等。

（五）利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個(gè)三角形找出來(lái)；（2）證明這兩個(gè)三角形全等；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線段（或角）相等。

（六）角平分線的性質(zhì)、判定(1)角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線性質(zhì)的符號(hào)語(yǔ)言：∵在的平分線上于，于(2)角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。角平分線判定的符號(hào)語(yǔ)言：于，于且∵在的平分線上（或?qū)懗墒堑钠椒志€）

（七）提分技巧角平分線的性質(zhì)和判定，它們都可以通過(guò)三角形全等得出證明；這樣，我們又得到了證明線段相等或角相等的一種方法。在解題中若能用它們直接得出線段或角相等時(shí)，就不需要再通過(guò)證明三角形全等來(lái)間接證明，這樣可以減少這一條件麻煩。在利用角平分線的性質(zhì)時(shí)，可由“角平分線”和“距離”這兩個(gè)條件得出線段相等，這兩個(gè)條件缺一不可；同理，在利用角平分線的判定這一條件時(shí)，可由“距離”和“線段相等”這兩個(gè)條件得出角平分線，這兩個(gè)條件也是缺一不可的。

三、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1全等三角形的證明思路通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析，將解決的問(wèn)題歸結(jié)到證明某兩個(gè)三角形的全等后，采用哪個(gè)全等判定定理加以證明，可以按下圖思路進(jìn)行分析：切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2構(gòu)造全等三角形1、由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形；2、利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；3、利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。

考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3常見輔助線的作法1.連接四邊形的對(duì)角線；2、作垂線，利用角平分線的知識(shí)；3、倍長(zhǎng)中線；4、“截長(zhǎng)補(bǔ)短”構(gòu)造全等三角形；提分技巧：當(dāng)給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件時(shí)，需要我們認(rèn)真觀察、分析，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，挖掘潛在因素，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧妙構(gòu)造全等三角形，借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就可迅速找到證題的途徑。

四、例題精析【例題1】【題干】如圖，四點(diǎn)共線，，，，。求證：．【答案】見解析.【解析】證明：∵，在與中∵AE=BFAC=BD∴(HL)∵，即在與中∵AF=BE(SAS)．

【例題2】【題干】（昆明）已知：如圖，AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．求證：BF=CF．【答案】見解析.【解析】證明：∵在△ABD和△ACD中AB＝∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，在△BAF和△CAF中AB＝∴△BAF≌△CAF（SAS），∴BF=CF．

【例題3】【題干】如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：延長(zhǎng)交于在與中∵ (ASA)又.

【例題4】【題干】如圖，//，//，求證：．【答案】見解析.【解析】證明：連接∵//，//，在與中∵(ASA)。

【例題5】【題干】如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點(diǎn)。求證：為的平分線.【答案】見解析.【解析】證明：過(guò)作于，于，于∵平分，于，于∵平分，于，于∵，∵，且于，于為的平分線.【例題6】【題干】如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，，是的中線。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接在與中∵AE=FE∠(SAS)∵，又∵∵，在與中∵AD=AD∠(SAS)又∵.

【例題7】【題干】如圖，在中，，，為上任意一點(diǎn)。求證：.【答案】見解析.【解析】證明：法一：在上截取，連接在與中∵AN=AC∠1=∠2AP=AP(SAS)∵在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延長(zhǎng)至，使，連接在與中∵AB=AM(SAS)∵在中，。

五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.如圖，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．求證：BD=EC+ED．【答案】見解析.【解析】證明：∵∠BAC=90°，CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°．∴∠ABD=∠DAC．∵在△ABD和△CAE中∠ABD∴△ABD≌△CAE（AAS）．∴BD=AE，EC=AD．∵AE=AD+DE，∴BD=EC+ED．

2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BE=CF．求證：AD平分∠BAC．【答案】見解析.【解析】證明：∵D是BC的中點(diǎn)∴BD=CD，又∵BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，∴AD平分∠BAC．3、如圖所示，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于點(diǎn)O，OD=OE．求證：AB=AC．【答案】見解析.【解析】證明：在△BOD和△COE中，∠BOD∴△BOD≌△COE（ASA），∴OB=OC，∴OB+OE=OC+OD，即BE=CD．在△ABE和△ACD中，∠A∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC．

4.如圖，已知CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD、BE交于點(diǎn)N，且DB=EC．求證：AB=AC．【答案】見解析.【解析】解：在△CEN和△BDN中∵CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠CEN=∠BDN，∵∠CNE=∠BND，DB=CE，∴△CEN≌△BDN，∴CN=BN，EN=DN，∴CN+DN=BN+EN，∴CD=BE，∵∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD，∴AB=AC．

5.已知：如圖，AB=AD，BC=CD，∠ABC=∠ADC．求證：OB=OD．【答案】見解析.【解析】證明：在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，BC=CD，AC是公共邊，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠DCO=∠BCO，在△BCO和△DCO中，∵BC=CD，CO是公共邊，∠DCO=∠BCO，∴△BCO≌△DCO（SAS）∴OB=OD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

【鞏固】1.如圖，已知在等腰直角三角形△DBC中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，與CD相交于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BD到A，使DA=DF．（1）求證：△FBD≌△ACD；（2）延長(zhǎng)BF交AC于E，求證：BF=2CE．【答案】見解析.【解析】證明：（1）∵△DBC是等腰直角三角形，∴DB=DC，∠BDF=∠CDA=90°，在△FBD和△ACD中，BD＝∴△FBD≌△ACD（SAS），（2）∵△FBD≌△ACD，∴∠ACD=∠FBD，AE=BF，∵∠BDF=90°，∴∠FBD+∠DFB=90°，∵∠CFE=∠BFD，∴∠EFC+∠ACD=90°，∴∠CEF=180°-90°=90°=∠BEA，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，∠ABE∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=EC，∵BF=AC，∴BF=2CE．

2.如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC．【答案】見解析.【解析】證明：在AC上截取AE=AB，連接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，在△ABD和△AED中，AE＝AB∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B=∠AED，BD=DE，又∠B=2∠C，∴∠AED=2∠C，而∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴AB+BD=AE+CE=AC．

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2．【答案】見解析.【解析】證明：如圖，延長(zhǎng)AB交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，∵∠B=∠E，∠C=∠D，∴180°-∠B=180°-∠E，180°-∠C=180°-∠D，即∠CBM=∠DEN，∠BCM=∠EDN，在△BCM和△EDN中，∵∠CBM∴△BCM≌△EDN（ASA），∴∠M=∠N，CM=DN，∴AM=AN（等角對(duì)等邊），∵F是CD中點(diǎn)，∴F是MN中點(diǎn)，∴∠1=∠2（等腰三角形三線合一）．

4.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上．求證：BC=AB+DC．【答案】見解析.【解析】證明：延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∵AB∥CD，∴∠F=∠ABE，∠A=∠FDA，∴∠F=∠CBE，∴CF=BC，∵CE平分∠BCD，∴BE=EF（三線合一），在△ABE和△DFE中，∠F∴△ABE≌△FDE（ASA），∴FD=AB，∵CF=DF+CD，∴CF=AB+CD，∴BC=AB+CD．

【拔高】1.如圖，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】見解析.【解析】解：AB=AC+BD，理由是：在AB上截取AC=AF，連接EF，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，在△CAE和△FAE中AC＝∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C=∠AFE，∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∵∠EFB+∠AFE=180°，∴∠D=∠EFB，∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠FBE，在△BEF和△BED中∠D∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD，∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD∴AB=AC+BD．

2.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE是角平分線，CD⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：BE=2CD．【答案】見解析.【解析】證明：延長(zhǎng)BA和CD交于Q，∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，∴∠ACQ=∠ABE，在△ABE和△ACQ中，∠ABE∴△ABE≌△AC