湖南省衡陽(yáng)二十六中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

湖南省衡陽(yáng)二十六中2025屆高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A． B． C． D．2．平面向量與共線且方向相同，則的值為（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比（）A． B． C． D．4．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．過(guò)點(diǎn)P（0，2）作直線x+my﹣4＝0的垂線，垂足為Q，則Q到直線x+2y﹣14＝0的距離最小值為（）A．0 B．2 C． D．26．?dāng)?shù)列中，若，則下列命題中真命題個(gè)數(shù)是（）（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則；（2）若，數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列；（3）若，任取中的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)（），則都是單調(diào)數(shù)列.A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)7．下列各角中與角終邊相同的是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列滿足：，，則該數(shù)列中滿足的項(xiàng)共有（）項(xiàng)A． B． C． D．9．“”是“”成立的（）A．充分非必要條件. B．必要非充分條件.C．充要條件. D．既非充分又非必要條件.10．已知關(guān)于的不等式的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的值等于____________.12．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.13．各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列,則數(shù)列的公比為________.14．?dāng)?shù)列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），則稱為的一個(gè)“谷值”。若且存在“谷值”則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．已知向量，滿足，與的夾角為，則在上的投影是；16．如圖，已知扇形和，為的中點(diǎn).若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．若x，y為正實(shí)數(shù)，求證：，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.18．現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐，下部分的形狀是正四棱柱（如圖所示），并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.（1）若則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，則當(dāng)為多少時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大？19．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時(shí)從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時(shí)，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測(cè)站，1小時(shí)后在處測(cè)得與海輪的距離為30海里，且處對(duì)兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測(cè)站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．20．已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直.（1）求直線的方程；（2）若圓的圓心為點(diǎn)，直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.21．2021年廣東新高考將實(shí)行“”模式，即語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共選六科參加高考.其中偏理方向是二選一時(shí)選物理，偏文方向是二選一時(shí)選歷史，對(duì)后四科選擇沒有限定.（1）小明隨機(jī)選課，求他選擇偏理方向及生物學(xué)科的概率；（2）小明、小吳同時(shí)隨機(jī)選課，約定選擇偏理方向及生物學(xué)科，求他們選課相同的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

對(duì)A選項(xiàng)，對(duì)賦值，即可判斷其最小正周期不是；利用三角函數(shù)的周期公式即可判斷B、D的最小正周期不是，問(wèn)題得解.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，令，則，不滿足，所以不是以為周期的函數(shù)，其最小正周期不為；對(duì)B選項(xiàng)，的最小正周期為：；對(duì)D選項(xiàng)，的最小正周期為：；排除A、B、D故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期公式及周期函數(shù)的定義，還考查了賦值法，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求解，驗(yàn)證得答案．【詳解】向量與共線，，解得．當(dāng)時(shí)，，，與共線且方向相同．當(dāng)時(shí)，，，與共線且方向相反，舍去．故選．【點(diǎn)睛】本題考查向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．3、A【解析】

將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程可得的值．【詳解】∵，∴，又，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的基本運(yùn)算，等比數(shù)列中共有五個(gè)量，其中是基本量，這五個(gè)量可“知三求二”，求解的實(shí)質(zhì)是解方程或解方程組．4、D【解析】

由正弦定理化簡(jiǎn)，得到，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案．【詳解】由題意知，，結(jié)合正弦定理，化簡(jiǎn)可得，所以，則，所以，得或，所以三角形是等腰或直角三角形．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用．在解三角形問(wèn)題中經(jīng)常把邊的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成角的正弦或余弦函數(shù)，利用三角函數(shù)的關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

由直線過(guò)定點(diǎn)，得到的中點(diǎn)，由垂直直線，得到點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，求得圓的方程，由此求出到直線的距離最小值，得到答案．【詳解】由題意，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，直線過(guò)定點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，的中點(diǎn)，由垂直直線，所以點(diǎn)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓，其圓的方程為，則圓心到直線的距離為所以點(diǎn)到直線的距離最小值；，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)涉及到點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，試題綜合性強(qiáng)，屬于中檔試題．6、C【解析】

對(duì)（1），由數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解方程可得的值；對(duì)（2），由函數(shù)，，求得導(dǎo)數(shù)和極值，可判斷單調(diào)性；對(duì)（3），由，判斷奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．【詳解】數(shù)列中，若，，，（1）若數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則，解得或，故（1）不正確；（2）若，，，由函數(shù)，，，由，可得極值點(diǎn)唯一且為，極值為，由，可得，則，即有.由于，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，則數(shù)列都是單調(diào)遞增數(shù)列，故（2）正確；（3）若，任取中的9項(xiàng)，，，，，構(gòu)成數(shù)列的子數(shù)列，，2，，9，是單調(diào)遞增數(shù)列；由，可得，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增；或時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減．所以數(shù)列都是單調(diào)數(shù)列，故（3）正確；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及分類討論思想方法，屬于難題．7、D【解析】

寫出與終邊相同的角，取值得答案．【詳解】解：與終邊相同的角為，，取，得，與終邊相同．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同角的表示法，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后解不等式，得出符合條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，解不等式，即，即，，則或.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列不等式的求解，同時(shí)也涉及了利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵就是求出數(shù)列的通項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.9、A【解析】

依次分析充分性與必要性是否成立.【詳解】時(shí)，而時(shí)不一定成立，所以“”是“”成立的充分非必要條件，選A.【點(diǎn)睛】本題考查充要關(guān)系判定，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題10、C【解析】

由題意得出關(guān)于的不等式的解集為，由此得出或，在成立時(shí)求出實(shí)數(shù)的值代入不等式進(jìn)行驗(yàn)證，由此解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知，關(guān)于的不等式的解集為.（1）當(dāng)，即．當(dāng)時(shí)，不等式化為，合乎題意；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，其解集不為，不合乎題意；（2）當(dāng)，即時(shí)．關(guān)于的不等式的解集為.，解得．綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式在上恒成立問(wèn)題，求解時(shí)根據(jù)二次函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號(hào)列不等式組進(jìn)行求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由此列等式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題.12、.【解析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

根據(jù)成等差數(shù)列得到，計(jì)算得到答案.【詳解】成等差數(shù)列，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用.14、【解析】

求出,,,當(dāng),遞減,遞增,分別討論,,是否存在“谷值”,注意運(yùn)用單調(diào)性即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí),有,,當(dāng),遞減,遞增,且.若時(shí),有,則不存在“谷值”；若時(shí),,則不存在“谷值”；若時(shí),①,則不存在"谷值"；②,則不存在"谷值"；③,存在"谷值"且為.綜上所述,的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查新定義及運(yùn)用,考查數(shù)列的單調(diào)性和運(yùn)用,正確理解新定義是迅速解題的關(guān)鍵,是一道中檔題.15、1【解析】考查向量的投影定義，在上的投影等于的模乘以兩向量夾角的余弦值16、1【解析】

設(shè)，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據(jù)已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：設(shè)，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點(diǎn)，，在扇形中，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，證明見解析【解析】

由題意，.【詳解】由題意，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，聯(lián)立解得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的運(yùn)用，考查了不等式的證明，屬于中檔題.18、（1）312（2）【解析】試題分析：（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對(duì)應(yīng)公式求解；（2）先根據(jù)體積關(guān)系建立函數(shù)解析式，，然后利用導(dǎo)數(shù)求其最值.試題解析：解：（1）由PO1=2知OO1=4PO1=8.因?yàn)锳1B1=AB=6，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積所以倉(cāng)庫(kù)的容積V=V錐+V柱=24+288=312（m3）.（2）設(shè)A1B1=a（m），PO1=h（m），則0<h<6，OO1=4h.連結(jié)O1B1.因?yàn)樵谥?，所以，即于是倉(cāng)庫(kù)的容積，從而.令，得或（舍）.當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，V是單調(diào)減函數(shù).故時(shí)，V取得極大值，也是最大值.因此，當(dāng)m時(shí)，倉(cāng)庫(kù)的容積最大.【考點(diǎn)】函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積【名師點(diǎn)睛】對(duì)應(yīng)用題的訓(xùn)練，一般從讀題、審題、剖析題目、尋找切入點(diǎn)等方面進(jìn)行強(qiáng)化，注重培養(yǎng)將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，強(qiáng)化構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的幾種方法.而江蘇高考的應(yīng)用題往往需結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決相應(yīng)的最值問(wèn)題，因此掌握利用導(dǎo)數(shù)求最值方法是一項(xiàng)基本要求，需熟練掌握.19、（1）海里；（2）速度為海里/小時(shí)【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運(yùn)用余弦定理易得OA的長(zhǎng)．（2）因?yàn)镃航行1小時(shí)到達(dá)C，所以知道OC的長(zhǎng)即可，即求BC的長(zhǎng)．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因?yàn)楹惖乃俣葹?0海里/小時(shí)，所以1小時(shí)后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時(shí)【點(diǎn)睛】三角形中一般已知三個(gè)條件可求其他條件，用到的工具一般是余弦定理或者正弦定理．20、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）求出兩直線交點(diǎn)，直線的斜率，即可求直線的方程；（2）利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.試題解析：（1）由已知得:,解得兩直線交點(diǎn)為，設(shè)直線的斜率為∵與垂直∴∵過(guò)點(diǎn)∴的方程為，即（2）設(shè)圓的半徑為，依題意，圓心到直線的距離為，則由垂徑定理得∴∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.21、（1）；（2）【解析】

（1）利用列舉法,列舉出偏理方向和偏文方向的所有情況,即可求得小明選擇偏理方向且選擇了生物學(xué)科的概率.（2）利用列舉法,列舉出兩個(gè)人選擇偏理方向且?guī)в猩飳W(xué)科的所有可能,即可求得兩人選課相同的概率.【詳解】（1）由題意知,選六科參加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六種選擇；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六種選擇.由以上可知共有12種選課模式.小明選擇偏理方向又選擇生物的概率為.（2）小明選擇偏