2021-2022學年上海交大附中高一（上）期末數(shù)學試卷（含詳解）

2021-2022學年上海交大附中高一（上）期末數(shù)學試卷

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

1.（4分）函數(shù)y卷sin2x的最小正周期7=-

2.（4分）已知函數(shù)/（x）=/+太是奇函數(shù)，則實數(shù)。=.

3.（4分）已知集合A={x||x|<2},8={x|」—>0},則ACB=.

x+1

4.（4分）方程/g（2x+l）+lgx=1的解集為.

5.（4分）設函數(shù)f（x）Jx+l（x）0）,那么（io）=______.

2x（x<0）

6.（4分）若集合4={x|3cos2nx=3x,x€R},B^{y\y2=\,yER},貝i」ACB=.

7.（5分）基函數(shù)y=/,當a取不同的正數(shù)時，在區(qū)間［0,1］上它們的圖象是一族美麗的

曲線（如圖）.設點A（1,0）,B（0,1）,連接48,線段A8恰好被其中的兩個基函數(shù)

y=/,y=d的圖象三等分，即有BM=MN=NA.那么印=.

8.（5分）己知函數(shù)f（x）=近1-2（a>0且a#l）的圖象不經過第四象限，則a的取值

范圍為.

9.（5分）已知函數(shù)f（x）=asiiir+cosx在［0,g-］上的最小值為-2,則實數(shù)a的值

為.

10.（5分）給出四個命題：其中所有的正確命題的序號是

①存在實數(shù)a,使sinacosa=l；

②存在實數(shù)a,使sina+cosa［；

③y=sin是偶函數(shù)；

④x4是函數(shù)y=sin（2x^^L）的一條對稱軸方程；

⑤若a,0是第一象限角，且a>0,則sina>sin0.

11.(5分)某同學向王老師請教一題：若不等式/對任意(1,+8)恒

成立，求實數(shù)。的取值范圍.王老師告訴該同學：恒成立，當且僅當x=0時取

等號，且g(x)=x-4配v在(1,+8)有零點”.根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中

a的取值范圍是.

12.(5分)設二次函數(shù)/(x)=iwr-2x+nGn,nGR),若函數(shù)/(x)的值域為［0,+°°),

22

且/(1)W2,則』一+二2—的取值范圍為

22

n+lm+l

二、選擇題(本大題共4題，滿分20分)

13.(5分)一個扇形的面積是1平方厘米，它的周長是4厘米，則它的圓心角是()

弧度

A.2B.3C.4D.5

14.(5分)對于函數(shù)/(x)=asinx+bx+c(其中，a,beR,cGZ),選取a,b,c的一組值

計算/(l)和/(-1),所得出的正確結果一定不可能是()

A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2

15.(5分)設函數(shù)/(x)=工，g(%)^(u?+bx(a,b&R,aWO)若y=/(x)的圖象與y

X

=g(x)圖象有且僅有兩個不同的公共點A(XI,yi),B(屹，"),則下列判斷正確的是

()

A.當aVO時，xi+x2<0,yi+y2>0

B.當aVO時，xi+x2>0,y\+y2<0

C.當〃>0時，xi+x2<0,yi+y2Vo

D.當a>0時，xi+九2>0,yi+y2>0

16.(5分)設函數(shù)/(x)=2^-2^'+3xeR,對于實數(shù)a、h,給出以下命題：

IxI+1

命題pi：

命題p2：a-廿20；

命題q：/(a)+于(b)20.

下列選項中正確的是()

A.pi、p2中僅pi是q的充分條件

B.pi、P2中僅〃2是q的充分條件

C.pi、P2都不是夕的充分條件

D.pi、P2都是4的充分條件

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.(15分)已知函數(shù)f(x)=12三的定義域為集合A,集合8=(a,〃+1),且BUA.

1-x

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).

18.(15分)如圖，在半徑為20a”的半圓形(。為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料ABCD,

其中點A、8在直徑上，點C、。在圓周上.

(1)請你在下列兩個小題中選擇一題作答即可：

①設NBOC=8,矩形ABC。的面積為S=g(。)，求g(6)的表達式，并寫出6的范圍.

②設BC=x(c/n),矩形ABC。的面積為S=f(x),求/(x)的表達式，并寫出x的范圍.

(2)怎樣截取才能使截得的矩形ABCD的面積最大？并求最大面積.

19.(15分)在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦

eXe

函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦：sinh(x)=-^,雙曲余弦函數(shù)：

cosh(x).(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…).

(1)解方程：cosh(x)—2；

(2)類比兩角和的正弦公式，寫出兩角和的雙曲正弦公式：sinh(x+y)=,并

證明；

(3)若對任意re[0,/n2J,關于x的方程sinh(t)+cosh(x)=a有解，求實數(shù)a的取

值范圍.

20.(15分)對閉區(qū)間/,用表示函數(shù)y=f(x)在/上的最大值.

(1)對于f(x)=xJ，求的值；

X

(2)已知f(x)=asin(x^-Hcos且)'=/(》)偶函數(shù)，兒〔司二^'

求6的最大值；

(3)已知/(x)=sinx,若有且僅有一個正數(shù)4使得Mo.a]=kM[a,2a]成立，求實數(shù)女的

取值范圍.

21.(16分)定義域為R的函數(shù)y=f(x),對于給定的非空集合A,AUR,若對于A中的任

意元素a,都有/(x+a)可(x)成立，則稱函數(shù)y=/(x)是“集合A上的Z-函數(shù)”.

(1)給定集合人={-1,1},函數(shù)y=/(x)是“集合A上的Z-函數(shù)”，求證：函數(shù)y

=/(x)是周期函數(shù)；

(2)給定集合A={1},g(x)—ar+bx+c,若函數(shù)y=g(x)是''集合A上的Z-函數(shù)”,

求實數(shù)a、6、c所滿足的條件；

(3)給定集合A=[0,1],函數(shù)y=〃(x)是“集合4上的Z-函數(shù)"，求證："y=/?(x)

是周期函數(shù)”的充要條件是“y=k(x)是常值函數(shù)”.

2021-2022學年上海交大附中高一(上)期末數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、填空題(第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)

1?【分析】直接利用三角函數(shù)的周期公式，求出函數(shù)的周期即可.

【解答】解：由三角函數(shù)的周期公式可知，

函數(shù)尸工sin2x的最小正周期為T=22L=TT

22

故答案為：n.

2.【分析】由奇函數(shù)定義入手尋找特殊值是解決此問題的最簡解法.

【解答】解：由奇函數(shù)定義有-x)=-f(x),

則/(-1)=a-2=-/(1)=-(a+2),

解得a—0.

3?【分析】利用絕對值不等式及分式不等式的解法，我們易求出集合A,B,再根據(jù)集合交

集運算法則，即可求出答案.

【解答】解：???集合A={x||x|<2}=(-2,2)

B={x|——>0)=(-1,+°°)

x+1

：.AHB=(-1,2)={x|-l<x<2}

故答案為：{x|-l<x<2}

4.【分析】在保證對數(shù)式的真數(shù)大于0的前提下由對數(shù)的和等于乘積的對數(shù)去掉對數(shù)符號，

求解一元二次方程得答案.

【解答】解：(2x+l)+lgx=1,

：.lg(x(2x+D)=/gl0,

'x〉0

?2x+l>0>

x(2x+l)=10

解得：x—2.

故答案為：{2}.

5.【分析】欲求f'(10),根據(jù)原函數(shù)的反函數(shù)為fl(x)知，只要求滿足于f(x)=10

的x的值即可，故只要解方程/(X)=10即得.

【解答】解：令/(f)=10,則(10),當，＜0有2f=10n/=5,不合，

當f20有P+l=10nr=-3(舍去)或t—3,

那么fl(10)=3

故答案為：3.

6.【分析】利用余弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象化簡集合A,求解二次方程化簡集合8,然后直

接取交集運算.

【解答】解：函數(shù)y=3cos2nx與y=3'的圖象如圖，

所以A={X|3COS2TLT=3X,X€R}={XI,m，1),8=3尸=1,)，eR}={7,1},

所以AnB={xi,1}A{-1,1}={1}.

故答案為{1}.

7.【分析】先確定M、N的坐標，然后求得a,p；再求a0的值.

【解答】解：BM=MN=NA,(1,0),B(0,1),所以用母，

NJ上）,分別代入＞=y，y=/

匕3,

2_

CI=10§2，B=log!

T*3

2

aB=log^?log|=1

TT

故答案為：i

8?【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，求出/(X)恒過定點，結合題意列不等式求出4

的取值范圍.

【解答】解：函數(shù)/(x)=*1-2(〃＞0且QW1)中，

令x+l=0,得工=-1,所以/(-I)=1-2=-1,

即/(x)的圖象過定點(-1,-1)；

由/(X)的圖象不經過第四象限,

則,/?(())=0-220,

解得。22,

所以a的取值范圍是［2,+8).

故答案為：［2,+8).

9.【分析】/(x)=asinjv+cosji在［0,弓一］上的最小值為-2,可分與n<0兩類討論,

結合題意求得實數(shù)。的值.

【解答】解：?.?函數(shù)f(x)=asinx+cosx在［0,5］上的最小值為-2,

①若a2O,則y=asinx2O,y=cosx20,f(x)20,與題意不符；

②若a<0,則丁=心1必與、=8$%均在［0,段-］上單調遞減，

:,f(x)=asiar+cosx在［0,g_］上單調遞減，

.V(x)min=f(-^-)=4=-2,符合題意，

故答案為：-2.

10?【分析】根據(jù)二倍角公式得到sinacosa=」sin2a,結合正弦函數(shù)的值域可判斷①正誤；

2

根據(jù)兩角和與差的正弦公式可得到sina+cosa=J，sin(a+匹)結合正弦函數(shù)的可判斷

4

②正誤；

根據(jù)誘導公式得到y(tǒng)=sin(也;-2x)=sin(=一")=cos2x,再由余弦函數(shù)的奇偶

性可判斷③正誤；

將xf代入到y(tǒng)=sin(2x0^)得到如(2xA+IZL)-sin爸=-1,根據(jù)正弦

函數(shù)的對稱性可判斷④正誤.

利用反例判斷⑤的正誤，即可.

【解答】解：對于①，由sina?cosa=l,得sin2a=2,矛盾；①錯誤.

對于②，由sina+cosa=-^，得&sin(a+-^-)矛盾；②錯誤.

對于③，y=sin(-^---2x)=sin(=COS2X,是偶函數(shù)；③正確.

對于④，將人工代入至二sin(2x4^)得到qn(2x2L+I2L)=sin亞=-1,

x8丫「842

x4是函數(shù)y=sin(2x隹匚)的圖象的一條對稱軸方程.④正確.

對于⑤，不妨取0=60°,a=390°,a>B但是sina<sin0..?.⑤不正確.

故③④正確

故答案為：③④.

II.【分析】根據(jù)函數(shù)/?(x)=x-4/nx在(1,+8)有零點，設為乂)，得到xo=4/nxo,

=猶4,根據(jù)函數(shù)/?(外的單調性求出燦的范圍，根據(jù)/(即)=-(a+4)Inxo^O,得到

關于a的不等式，解出即可.

【解答】解：x-V-a/nx>x+1,即且--R〃x2x+1,

4

x

x

令/(亢)=-^—-alive-x-L(x>l),

x4

函數(shù)/z(x)=x-4/nx在(1,+°°)有零點，設為xo,

則/?(尢())=xo-4/nx()=0,貝ijxo=4/nxo,則/=夏4,

x0

h'(x)=1-

XX

令H(x)>0,解得：x>4,令/?'(x)<0,解得：1<X<4,

故/i(x)在(1,4)遞減，在(4,+8)遞增，

而力(1)=1,h(4)=4-4/H4<0,故1VXO<4,

x4

e0XO

故『(xo)=------alnxo-xo-1=-------alnxo-4/ztxo-1=-(a+4)bvco2O,

x0x0

V/nxo>O,.??a+4W0,故aW-4,

故〃的取值范圍是(-8,-4],

故答案為：(-8,-4].

12.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質以及基本不等式的性質求出代數(shù)式的取值范圍即可.

【解答】解：二次函數(shù)/(X)—iw？-2x+n(/??,/1GR),

若函數(shù)/(k)的值域為[0,+8),

貝lj△=4-4/?77?=0,解得：nm=1,且m>0,

又/(I)-2+〃W2,n=—f

m

則77?+工<4,

m

n2+lm2+l

1

2~

=_L+_rni_

,11-2

l-+^y1+m

m

6

_m+l

m2(1+m2)

42

-m-m+l

而由m+」_W4,m>0,

m

得2Wm2+_l_W14,

m

故"P+J-l的取值范圍是[1,13],

m

22

即q—的取值范圍是n，13],

n2+1+1

故答案為：[I,13].

二、選擇題(本大題共4題，滿分20分)

13?【分析】結合扇形面積公式及弧長公式可求/,〃然后結合扇形圓心角公式可求.

'l+2r=4

【解答】解：設扇形半徑一，弧長/，則1,

ylr=2

解得r=l，1—2,

所以圓心角為工=2.

r

故選：A.

14.【分析】求出/(1)和/(-1),求出它們的和；由于cWZ,判斷出/(I)4/(-1)為

偶數(shù).

【解答】解：/(I)=asinl+什&D

/(-1)=-asin1-b+c@

①+②得：

/(1)4/(7)=2c

Vcez

:.f(1)+/,(-1)是偶數(shù)

故選：D.

15?【分析】畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的奇偶性，以及二次函數(shù)的對稱性，不難推出結論.

【解答】解：當〃<0時，作出兩個函數(shù)的圖象，

若y=f(x)的圖象與y=g(x)圖象有且僅有兩個不同的公共點，

必然是如圖的情況，

因為函數(shù)f(x)=」是奇函數(shù)，所以A與A'關于原點對稱，

X

顯然X2>-Xl>0,即X)4-X2>0,

-yi>>2,即yi+y2V0,

同理，當。>0時，有當。>0時，xi+x2<0,y\+y2>0

xxgG)

=2-2fh(x)??R

IxI+1

是奇函數(shù)，在R上單調遞增，h(x)是偶函數(shù)，在(-8,0)單調增，在(0,+°°)單

調減，且%(x)>0,根據(jù)這些信息即可判斷.

【解答】解：令/(x)=g(x)+h(x),g(x)=2X-2h(x)=-_——,x€R?

IxI+1

g(x)是奇函數(shù)，在R上單調遞增，h(x)是偶函數(shù)，在(-8,0)單調增，在(0,+

8)單調減，且〃(X)>0,/(〃)+f(Z?)2-7(6),

即g(a)+h即)2-g即)-h即),

即g(a)+h(a)2g(-Z?)。(/?)],

①當a+h^O時，a》-b,故g(a)(-b),又h(x)>0,故/?(a)>-h(b),

此時/(a)+fCb)20,

可得pi是q的充分條件；

②當q-序20時，則有：

a>0,

(/)當a21時，a^\/~a，貝U-bWa,故g(a)2g(-Z?)；

止匕時，h(a)>0,-h(6)<0,

:.h(a)>-h(b),

：.f(a)+f⑹20成立；

(ii)當a=0時，6=0,f(0)+f(0)=6—0成立，即/(a)+fCb)20成立；

(Hi),:g(x)在R上單調遞增，/z(x)在(-8,o)單調遞增，

.*./(x)—g(x)+h(x)在(-8,o)單調遞增，

"：f(-1)=0,：.f(x)>0在(-1,0)上恒成立；

又'."NO時，g(x)20,h(x)>0,

：.f(x)>0在［0,+8)上恒成立，

：.f(x)>0在(-1,+8)恒成立，

故當0<a<l時，a<y/~a<\,-1<-<1,

：.f(a)>0,f(b)>0,

：.f(a)+f(b)20成立.

綜上所述，4-序》0時，均有/(a)+f(/?)20成立，

:.p2是q的充分條件.

故選：D.

三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)

17.【分析】(1)由產>0可求得/(x)的定義域4,由8=(a,a+1),且BUA,列式計

算可求得答案；

(2)可證得f(x)+fC-x)=0,從而可得結論成立.

【解答】解：(1)由上曳>0得-1<XV1,

l-x

，函數(shù)f(x)區(qū)的定義域A=(-1,1)；

l-x

又8=（〃，〃+1）,且3GA,

1.fa>-l,解得-iWaWO,即“日-1,0］；

la+l<1

(2)證明：二/'(x)+f(-x)=/g上曳+/g上三=/g(上曳?±N)=/g1=0,

l-x1+x1-x1+x

'.f(-X)=-f(x),/(-X)壬/1(x),

???函數(shù))，=/(x)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù).

18.【分析】(1)①連接0C,設NBOC=。，矩形ABCZ)的面積為S,則S=AB?BC=2。比

BC=900sin29,由三角函數(shù)的知識，得出S的最大值以及對應BC的值.

②連接0C，設BC=x,矩形ABCD的面積為S；則S=AB>BC=2xyJi()()_=2

VX2(400-X2)1由基本不等式可得S的最大值以及對應的x的取值；

(2)根據(jù)(1)問的解答，即可得出怎樣截取才能使截得的矩形ABC。的面積最大及最

大值.

【解答】解：如圖所示，

(1)①連接0C,設/BOC=0,矩形A8C￡>的面積為S,則BC=20sin。，OB=20cosO

(其中0<0<生)；

2

：.S=AB'BC=20B'BC=400sin2d,且當sin20=l,即S=2L時,S取最大值為400,此

4

時BC=10近;

所以，取BC=10\歷時，矩形A8CZ)的面積最大，最大值為400a#

②連接0C,設BC=x,矩形ABCD的面積為5；則AB=24曲。-x2(其中0<x<20),

5=2x^400-x2=242(400-乂2)WJ?+(400-/)=400,當且僅當/=400-

即x=10我時，S取最大值400；

所以，取BC=10&5J時，矩形ABCD的面積最大，最大值為400c病.

(2)由(1)知，取NBOC=三時，得到C點，從而截得的矩形ABCQ,此時截得的矩

4

形ABCD的面積最大，最大值為400c/n2.

19.【分析】(1)cosh(x)—2,即炭+/'=4,化簡得(e^)2-4^+1=0,即可求解,

(2)sinhCx+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y),將雙曲正弦與雙曲余弦函數(shù)

分別代入左右兩邊驗證，即可證明，

t-t

(3)分析可知且二_+1有解，利用函數(shù)的單調性可求得實數(shù)。的取值范圍.

2

【解答】解：(1)cosh(x)—2,

即：-+-=4,

整理得(/)2-4必+1=0,

解得：x=ln(2±A/3).

(2)sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y),

x-ty-x-y

理由：左邊=sinh(x+y)=￡--------,

2

x_-xy-yx,-xy-y

右邊=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)=-^-e——X_?---?—+------——Xe~~e—

2222

x+y,x-y廣x-x-y->x-ly,尸xx-y-x-yx-ty-x-y

=e+巳-巳-exe+巳一巳一巳=巳一E,

~242-

左邊等于右邊，于是sinh(x+y)=sinh(x)cosh(y)+cosh(x)sinh(y)成立.

t-X-x

(3)因為7E[0,ln2],則lWe'<2,則。=sinh(/)+cosh(x)=e~e~+e+e—,

22

t—x-x,

所以-e-e=e+exF=I,當且僅當x=0時取等號，

22V

tT

貝|J心e-e+]有解，

2

tT

因為函數(shù)〉=落y=-均為[0,/〃2]上的增函數(shù)，故函數(shù)g(f)=.且一二2—+1在[0,歷2]

2

上為增函數(shù)，

所以(t)min—g(0)=1,

故實數(shù)a的取值范圍為[1,+8).

20?【分析】(1)判斷)，=/(x)的單調性即可求解；

(2)由偶函數(shù)求得“=2,根據(jù))，=/(x)的最大值判斷a,人范圍，即可求解；

(3)討論0<%<1與當Mo.a]=AM[a.2a]時，判斷正數(shù)4的取值個數(shù)，即可求解.

【解答】解：(1)對任意xi,X2G[1,2],且xi〈x2時，

由f⑶)-f(X2)=x14-^—(x2-f-^-)=(X:X2)(1--—)>0，

x1x2X1x2

對任意XI,X2G[2,4],且XI<X2時，

+-_

由f(xi)-f(x2)=x[--(x2^)=(x1-x2)(1------)<0

x1x2X1x2

所以f(x)=x4在[1，2]上單調遞減，在[2,4]上單調遞增;

X

又f(1)=1+Y=5,f(4)=4+^-=5,

所以M[\,4]=5；

(2)由于y=/(x)是偶函數(shù)，所以f=f

66

mil/兀7T、/TU7T、.7T7T、.TT7T、

則asin(彘-?*^-)+cos(-g--^-)=asin(~g--^-)+cos)

解得4=2；

則f(x)=2sin(x^^TT~)+cos7T=V3cosx,

因為M=^->

m[a，b]2

所以?-+2k?！禷<b43二+2k兀，k€Z?

oo

故b-a的最大值為里L.

3

(3)①當0VZV1時，由于M[0,a]=kM[a,2力則M[0,方],所以0<@<弓_,

M兀

若0<a<7""時，有Mo,a]=sinmM[a,勿=sin2a=2sinacosm

所以sina=2ksinacosa,Wcosa=-^-;

2k

若。＜k＜]■時，有cosw^E[1,+8),此時。無解；

乙乙K

?』＜k＜零■時，有cosa=^7t(三齊，1＞此時。有一解;

乙乙乙K乙

若華《＜1時有cosa=上變爭,此時a無解；

,

若g~《a〈三時，有I?2產ina,I[a,2a]=sin-y=l

所以sina=k,

因為sina€，1)，

若0＜卜(尚時