2023北京東城高二（下）期末數(shù)學試卷含答案

2023北京東城高二(下)期末

數(shù)學

2023.7

本試卷共6頁，滿分100分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共36分)

一、選擇題共12小題，每小題3分，共36分。在每個小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。

1.已知集合4={%,<1},S={-1,0,1,2},那么AB=

A.{-L0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0}

2.從集合{1,2,3,4,5}中選取兩個不同的元素，組成平面直角坐標系中點的坐標，則可確定的點的個數(shù)為

A.10B.15C.20D.25

21

3.已知。=Ige,b=QC=ln—(e=2.71828L),那么

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b

4.如圖，曲線)；=/。)在點(2,2)處的切線為直線八直線,經(jīng)過原點O,則\..

八2)+八2)=\

A.1B.2C.3D.4V/'X

5.在(x—2嚴的展開式中，。f的系數(shù)為7|2\

A.-64/B.64cMC.-16C,；D.16/

6.如圖(1)、(2)、(3)分別為不同樣本數(shù)據(jù)的散點圖，其對應的樣本相關系數(shù)分別是？々與，那么

彳,々,與之間的關系為

x

°\OX-\o----------------------------------x

(1)⑵(3)

A.r3<r2<rxB.&<弓<彳C.r3<rx<r2D.彳〈與<馬

7.已知等比數(shù)列{2}的首項和公比相等，那么數(shù)列{2}中與%為一定相等的項是

A.a5B.%C.a9D.aw

8.已知x=l是函數(shù)/(x)=(x-l)2(x-a)的極小值點，那么。的取值范圍是

A.(―,1)B.(L+8)C.(-oo,l]D,[1,+<?)

9.在函數(shù)y=xlnx,y=cosx,y=2x,y=x-lnx中，導函數(shù)值不可能取到1的是

A.y=xlnxB._y=cosxC.y=2'D.y=x-]nx

10.已知有7件產(chǎn)品，其中4件正品，3件次品，每次從中隨機取出1件產(chǎn)品，抽出的產(chǎn)品不再放回，那

么在第一次取得次品的條件下，第二次取得正品的概率為

11.聲壓級（SPL）是指以對數(shù)尺衡量有效聲壓相對于一個基準值的大小，其單位為dB（分貝）.人類產(chǎn)

生聽覺的最低聲壓為20口Pa（微帕），通常以此作為聲壓的基準值.聲壓級的計算公式為：sPL=20xig￡，

%

其中P是測量的有效聲壓值，耳寸聲壓的基準值，P，L20pPa.由公式可知，當聲壓P=20xPa時，

SPL=OdB.若測得某住宅小區(qū)白天的SPL值為50dB,夜間的SPL值為30dB,貝U該小區(qū)白天與夜間的

有效聲壓比為

A.—B.10C.—D.20

32

12.已知函數(shù)/（x）=〃e"--X2（GER）,

①當aKO時，/（無）在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減；

②當0＜。＜!時，/（%）有兩個極值點；

e

③當時，/（%）有最大值.

e

那么上面說法正確的個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

第二部分（非選擇題共64分）

二、填空題共6小題，每小題3分，共18分。

13.已知數(shù)列｛%｝的首項%=1,且4=2a,i（〃eN,"＞l）,那么%=；數(shù)列己”｝的通項公式

為4=------

14.若函數(shù)/。）=吆12_〃a+1）的定義域為R,則實數(shù)加的取值范圍是.

15.設函數(shù)/（%）=犬+旦（。為常數(shù)），若/（%）在（0,+?）單調(diào)遞增，寫出一個可能的。值______.

16.幸福感是個體的一種主觀情感體驗，生活中的多種因素都會影響人的幸福感受.為研究男生與女生的

幸福感是否有差異，一位老師在某大學進行了隨機抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù):

幸福不幸?？傆?/p>

男生638128766

女生37246418

總計10101741184

4U4號/M21184x(638x46—128x372)2“八”

由此計算得13至IJ-=-----------------------—x7.022,己知產(chǎn)(力226.635)=0.01,

1010x174x766x418

尸以>7.879)=0.005.

根據(jù)小概率值a=0.01的/獨立性檢驗，(填“可以”或“不能”)認為男生與女生的幸福感有

差異；根據(jù)小概率值1=0.005的/獨立性檢驗，(填“可以”或“不能”)認為男生與女生的幸福感

有差異.

17.盲盒，是一種新興的商品.商家將同系列不同款式的商品裝在外觀一樣的包裝盒中，使得消費者購買時

不知道自己買到的是哪一款商品.現(xiàn)有一商家設計了同一系列的A、B、C三款玩偶，以盲盒形式售賣，已

知A、B、C三款玩偶的生產(chǎn)數(shù)量比例為6：3：1.以頻率估計概率，計算某位消費者隨機一次性購買4個

盲盒，打開后包含了所有三款玩偶的概率為.

18.設/(x)=sinx+/nx(加eR),給出下列四個結(jié)論：

①不論加為何值，曲線》=/(%)總存在兩條互相平行的切線；

②不論m為何值，曲線y=/(x)總存在兩條互相垂直的切線；

③不論加為何值，總存在無窮數(shù)列{a〃},使曲線》=/(%)在x=a〃(〃=l,2,3,)處的切線互相平行；

④不論加為何值，總存在無窮數(shù)列{%},使曲線y=/(x)在x=a"("=l,2,3,)處的切線為同一條直

線.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共5小題，共46分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

19.(本小題8分)

某學校舉行男子乒乓球團體賽，決賽比賽規(guī)則采用積分制，兩支決賽的隊伍依次進行三場比賽，其中

前兩場為男子單打比賽，第三場為男子雙打的比賽，每位出場隊員在決賽中只能參加一場比賽.某進入決賽

的球隊共有五名隊員，現(xiàn)在需要提交該球隊決賽的出場陣容，即三場比賽的出場的隊員名單.

(I)一共有多少種不同的出場陣容？

(II)若隊員A因為技術原因不能參加男子雙打比賽，則一共有多少種不同的出場陣容？

20.(本小題10分)

已知y=/(%)是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，當xe［-3,0］時，/(x)=)+

(I)求產(chǎn)/求在(0,3］上的解析式;

(II)當時，不等式/一白恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

21.(本小題10分)

近年來，為改善城市環(huán)境，實現(xiàn)節(jié)能減排，許多城市出臺政策大力提倡新能源汽車的使用.根據(jù)中國汽

車流通協(xié)會的發(fā)布會報告，將2023年1月、2月新能源乘用車市場銷量排名前十的城市及其銷量統(tǒng)計如下

表：

2023年1月2023年2月

排名城市銷量排名城市銷量

1上海123701上海17707

2深圳121322杭州15001

3成都87553深圳13873

4杭州87184廣州12496

5鄭州86735鄭州11934

6廣州86236成都11411

7重慶73247重慶8712

8西安68518北京8701

9天津66499蘇州8608

10蘇州663810西安7680

表1表2

(I)從1月、2月這兩個月中隨機選出一個月，再從選出這個月中新能源乘用車市場銷量排名前十的城

市中隨機抽取一個城市，求該城市新能源汽車銷量大于10000的概率；

(II)從表1、表2的11個城市中隨機抽取2個不同的城市，設這兩個城市中2月排名比1月上升的城市

的個數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

22.(本小題10分)

已知函數(shù)/(x)=(?i-x)e*,meR.

(I)若加=2,求/(x)在區(qū)間［T⑵上的最大值和最小值；

(II)設g(x)=x/(x),求證：g(x)恰有2個極值點;

(III)若微不等式上/?%+2恒成立，求左的最小值.

23.(本小題8分)

已知數(shù)列｛%,｝滿足囚=1,an=2an_r+l(n>1,n^N).

(I)求出，％，%的值；

(II)求數(shù)列｛4｝的通項公式明；

(III)若數(shù)列｛2｝滿足々=1,d=6,3+2d_|(〃>1,〃€?/).對任意的正整數(shù)“，是否都存在正整數(shù)

m,使得用“="？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由.

(考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)

參考答案

一、選擇題共12小題，每小題3分，共36分。

1.A2.C3.D4.C5.D6.B

7.D8.A9.D10.B11.B12.C

二、填空題共6小題，每小題3分，共18分。

13.4,20T14.（-2,2）15.0（答案不唯一，.WO即可）

16.可以；不能17.0.216

18.①③④（全部選對的得滿分，部分選對的得部分分，有錯誤選項得0分.）

注：兩空給分2；1

三、解答題共5小題，共46分。

19.（本小題8分）

解：（I）出場陣容可以分兩步確定：

第1步，從5名運動員中選擇2人，分別參加前兩場男單比賽，共有&種；

第2步，從剩下的3名運動員中選出兩人參加男雙比賽，共有《種，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的出場陣容數(shù)量為N=&xC；=60.---------4分

（II）隊員A不能參加男子雙打比賽，有兩類方案：

第1類方案是隊員A不參加任務比賽，即除了隊員A之外的4人參加本次比賽，只需從4人中選出兩人，

分別取參加前兩場單打比賽，共有種；

第2類方案是隊員A參加單打比賽，可以分3個步驟完成：

第1步，確定隊員A參加的是哪一場單打比賽，共2種；

第2步，從剩下4名隊員中選擇一名參加另一場單打比賽，共4種；

第3步，從剩下的3名隊員中，選出兩人參加男雙比賽，共有《種，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，隊員A參加單打比賽的不同的出場陣容有2x4xC；種；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，隊員A不參加男子雙打比賽的不同的出場陣容數(shù)量為N=A：+2x4xC；=36.

一一8分

20.（本小題10分）

（I）因為＞=/（尤）是定義在［-3,3］上的奇函數(shù)，xe［-3,0］時,

/（尤）=—+—（＜2eR），

9%4八）

所以/（°）=&+：=0,解得a=T，

所以xe（—3,0］時，/（x）=1—g,

當)￡(0,3]時,-xe[-3,0),

所以/(-X)=-——-=9l-4\

J9A4-*

又/a)=m-9，,

即y=〃x)在(0,3]上的解析式為/(X)=1—9工；----------5分

(II)因為％￡[_1,一彳]時，/(X),

294

“m111m1

所以f(x)-^7-77T-T7-^7-T7TT?

3*4*T9*4%3%4*T

整理得加之[g]+3]2],

/1V

令g(無)=-+3--，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得,

)

所以g(x)也是減函數(shù),

所以g(x)

所以m>7,

故實數(shù)機的取值范圍是[7,+8).------------------10分

21.(本小題10分)

解：(I)設“抽到的城市該月新能源汽車銷量大于10000”為事件A,“選取表1”為事件3,“選取表2”為事

件C,則

P(A)=P(A5AC)=P(B)P(A\B)+P(C)P(A|C)=|X]|+1X^=|.-----------------4分

(II)兩個月共有11個城市上榜，其中2月排名比1月上升的城市有杭州，廣州，北京，蘇州，故X可取

0,1,2.

C2?1

p(X=0)=與一

C：55

c1C128

P(X=l)='y^=

C?55

立=色

P(X=2)=

所以，X的分布列為

X012

P21286

555555

故隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=Ox—+1X—+2XA=1-------------10分

55555511

22.（本小題10分）

解：(I)/(x)=(2—x)",f'(x)=(l-x)ex

-1(-U)1(1,2)2

+0—

3極大值/⑵=。

f(x)/(-D=-JI、

e/⑴=e

/(X)max=/⑴=e,/(X)mm=于⑵=0----------4分

(II)g(x)=xf{x)=(mx-x2)ex,

g\x)=(THX-X2+m-2x)ex=-(x2-(m-2)x-m)ex

A=(m—2)2+4m=m2+4>0

所以方程好-(根-2)%-根=0有兩個不同的根，設為和々(石<%).則有

綜上，g(x)

X(-00,玉)再（5，々）x（巧,+8）

恰有2個2極值點.

g'(x)—0十0—-----7

/

分g(x)極小值極大值

(III)/>0

.?.Vxe[-2,1],不等式左上出恒成立.

ex

設以上妥，/叱上產(chǎn)=年

X-2(-2,-1)-1(-1,1)12

h\x)+0—

極大值