八年級下學(xué)期人教版數(shù)學(xué)《19. 1. 1變量與函數(shù)》

19.1.1變量與函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：通過探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律來了解常量、變量的意義；學(xué)會用含

一個變量的代數(shù)式表示另一個變量；

學(xué)習(xí)重點：了解常量與變量的意義；

學(xué)習(xí)難點：較復(fù)雜問題中常量與變量的識別。

學(xué)習(xí)過程：

一、自主學(xué)習(xí)：

問題一：汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時.

映了勻速行駛的汽車所行駛的路程—隨行駛時間—的變化過程.

二、合作探究：

問題二：每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，午場售出205張，晚場售出

310張，三場電影的票房收入各多少元？設(shè)一場電影售票x張，票房收入y元.口

1、請同學(xué)們根據(jù)題意填寫下表:

售出票數(shù)（張）早場150午場206晚場310X

收入y（元）

2、在以上這個過程中，變化的量是.不變化的量是.

3、試用含x的式子表示y,y=______,x的取值范圍是：

這個問題反映了票房收入隨售票張數(shù)的變化過程.

問題三：當(dāng)圓的半徑r分別是10cm,20cm,30cm時，圓的面積S分別是多少？

1、請同學(xué)們根據(jù)題意填寫下表：（用含萬的式子表示）

半徑r10cm20cm30cm

面積S

2.在以上這個過程中，變化的量是.不變化的量是

3.試用含S的式子表示r,S=_,i"的取值范圍是一這個問題反映了—隨—的變化過程.

問題四：用10m長的繩子圍成長方形，試改變長方形的長度，觀察長方形的面積怎樣變化.記

錄不同的矩形的長度值，計算相應(yīng)的矩形面積的值，探索它們的變化規(guī)律。設(shè)矩形的長為xm,

面積為Sm2.

1、請同學(xué)們根據(jù)題意填寫下表：

長x(m)4.543.53X

另一邊長（m）

面積s(m2)

2、在以上這個過程中，變化的量是.不變化的量是.

3、試用含x的式子表示s.S=,x的取值范圍是.一

這個問題反映了矩形的隨的變化過程.

小結(jié)：以上這些問題都反映了不同事物的變化過程，其實現(xiàn)實生活中還有好多類似的問題，

在這些變化過程中，有些量的值是按照某種規(guī)律變化的，有些量的數(shù)值是始終不變的。

得出結(jié)論：在一個變化過程中，我們稱數(shù)值室生為多的量為;在一個變化過程中，

我們稱數(shù)值彈經(jīng)于更的量為;

三、鞏固練習(xí)：

例1、一支圓珠筆的單價為2元，設(shè)圓珠筆的數(shù)量為x支，總價為y元。則丫=；在

這個式子中，變量是,常量是。

例2、某種報紙的價格是每份0.4元，買x份報紙的總價為y元。用含x的式子表示y,y

=,常量是,變量是。

四、達(dá)標(biāo)測試：

1.小軍用50元錢去買單價是8元的筆記本，則他剩余的錢Q口（元）與他買這種筆記本的本

數(shù)x之間的關(guān)系是（）

A.Q=8xB.Q=8x-50C.Q=50-8xD.Q=8x+50

2.甲、乙兩地相距s千米，某人行完全程所用的時間t（時）與他的速度v（千米/時）滿

足vt=S,在這個變化過程中，下列判斷中錯誤的是（）

A.S是變量B.t是變量C.v是變量D.S是常量

3.在一個變化過程中，的量是變量，口_______________的量是常量.

4.某種報紙的價格是每份0.4元，買x份報紙的總價為y元，先填寫下表，再用含x的式子表示

5.長方形相鄰兩邊長分別為X、口丫口，面積為30口，口則用含x口的式子表示y口為y=

則這個問題中，常量；是變量.

6.寫出下列問題中的關(guān)系式，并指出其中的變量和常量.

(1)用20cm的鐵絲所圍的長方形的長x(cm)與面積S(cm2)的關(guān)系.

(2)直角三角形中一個銳角a與另一個銳角B之間的關(guān)系.

(3)一盛滿30噸水的水箱，每小時流出0.5噸水，試用流水時間t口(小時)表示水箱中

的剩水量y(噸)

(2)有人發(fā)現(xiàn)，在20?25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)C與溫度t(C)有關(guān)，即C的值約是

t的7倍與35的差.

(3)某城市的市內(nèi)電話的月收費額y(元)包括：月租費22元，撥打電話x分的計時費(按

0.1分收取).

(4)把一個長10cm,寬5cm的矩形的長減少xcm,寬不變，矩形面積y(cm2)隨x的值而

變化

《達(dá)標(biāo)測試》：

I、一個小球由靜止開始在一個斜坡向下滾動，其速度每秒增加2米。

(1)求小球速度v隨時間t變化的關(guān)系式

(2)求第2.5秒時小球的速度-

2.汽車油箱中原有油50L,如果行駛中每小時用油5L,求油箱中油量y(L)隨行駛時間x

(小時)變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍

是o

3、梯形的上底長x,下底長15,高8；

(1)寫出梯形的面積y與上底x的關(guān)系式

(2)當(dāng)x每增加1時，y是如何變化的？

(3)當(dāng)x=0時，y等于多少？此時y的意義是什么？

19.1.1變量與函數(shù)(2)

學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解函數(shù)的概念，能準(zhǔn)確識別出函數(shù)關(guān)系中的自變量和函數(shù)，會用變化的量描述

事物，初步學(xué)會列函數(shù)解析式，會確定自變量的取值范圍。

學(xué)習(xí)重點：函數(shù)的概念及確定自變量的取值范圍。

學(xué)習(xí)難點：認(rèn)識函數(shù)，領(lǐng)會函數(shù)的意義。

學(xué)習(xí)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境：

請你舉出生活中含有兩個變量的變化過程，說明其中的常量和變量。

二、自主學(xué)習(xí)與合作探究：

請看書72——74頁內(nèi)容，完成下列問題：

1、思考書中第72頁的問題，歸納出變量之間的關(guān)系。

2、完成書上第73頁的思考，體會圖形中體現(xiàn)的變量和變量之間的關(guān)系。

3、歸納出函數(shù)的定義，明確函數(shù)定義中必須要滿足的條件。

歸納：一般的，在一個變化過程中，如果有變量x和y,并且對于x的______,y

都有——與其對應(yīng)，那么我們就說*是y是*的__。如果當(dāng)x=a

時，y=b,那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值。

補充小結(jié)：

(1)函數(shù)的定義：

(2)必須是一個變化過程；

(3)兩個變量；其中一個變量每取一個值，另一個變量有且有唯一值對它對應(yīng)。

三、鞏固練習(xí)：

例1：一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)

隨行駛里程x(單位：千米)的增加而減少，平均耗油量為0.1L/千米。

(1)寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)指出自變量x的取值范圍.

(3)汽車行駛200千米時，油箱中還有多少汽油？

拓展提

1、P74—75頁：1,2題

2、判斷下列變量之間是不是函數(shù)關(guān)系：

(1)長方形的寬一定時，其長與面積；(2)等腰三角形的底邊長與面積；

(3)某人的年齡與身高；

3.寫出下列函數(shù)的解析式.

(1)一個長方體盒子高3cm,底面是正方形，這個長方體的體積為y(cm3),底面邊長為

x(cm),寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系的式子.

(2)汽車加油時，加油槍的流量為10L/min.

①如果加油前，油箱里還有5L油，寫出在加油過程中，油箱中的油量y(L)與加油時

間x(min)之間的函數(shù)關(guān)系；

②如果加油時，油箱是空的，寫出在加油過程中，油箱中的油量y(L)與加油時間x(min)

之間的函數(shù)關(guān)系.

（3）某種活期儲蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金，按國家規(guī)定，取款時，應(yīng)繳納利

息部分的20%的利息稅，求這種活期儲蓄扣除利息稅后實得的本息和y（元）與所存月數(shù)x之

間的關(guān)系式.

（4）如圖，每個圖中是由若干個盆花組成的圖案，每條邊（包括兩個頂點）有n盆花，每

個圖案的花盆總數(shù)是S,求S與n之間的關(guān)系式.

《達(dá)標(biāo)測試》：

1、一輛小汽車在高速公路上從靜止到啟動10秒后的速度經(jīng)測量如下表:

時間（秒）012345678910

速度11.

00.31.32.84.97.614.118.424.228.9

（米/秒）0

（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？哪個是自變量？哪個是因變量？

（2）如果用t表示時間，v表示速度，那么隨著t的變化，v的變化趨勢是什么？

（3）當(dāng)t每增加1秒時，v的變化情況相同嗎？在哪1秒鐘內(nèi)，v的增加最大？

（4）若高速公路上小汽車行駛速度的上限為120千米/時，試估計大約還需幾秒這輛小汽車

速度就將達(dá)到這個上限？

2、如圖，是一個形如六邊形的點陣，它的中心是一個點，算第一層；第二層每邊兩個點;

第三層每邊有三個點，依此類推:

（1）填寫下表:

層數(shù)123456......

該層的點數(shù)......

所有層的點數(shù)......

（2）每層點數(shù)是如何隨層數(shù)的變化而變化的？所有層的總點數(shù)是如何隨層數(shù)的變化而變化

的？

（3）此題中的自變量和因變量分別是什么？

（4）寫出第n層所對應(yīng)的點數(shù)，以及n層的六邊形點陣的總點數(shù);

（5）如果某一層的點數(shù)是96,它是第幾層？

（6）有沒有一層，它的點數(shù)是100?為什么？

3、下表是明明商行某商品的銷售情況，該商品原價為560元，隨著不同幅度的降價（單位:

元），日銷量（單位：件）發(fā)生相應(yīng)變化如下表:

降價（元）5101520253035

日銷量（件）780810840870900930960

（1）上表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系？其中那個是自變量，哪個是因變量?

（2）每降價5元，日銷量增加多少件？請你估計降價之前的日銷量是多少？

（3）如果售價為500元時，日銷量為多少？

4、如圖，AA6C底邊BC上的高是6厘米，當(dāng)三角形的頂點C沿底邊所在直線向點B運動

時，三角形的面積發(fā)生了變化.

（1）在這個變化過程中，自變量、因變量各是什么？

（2）如果三角形的底邊長為x（厘米），那么三角形的面積y（厘米2）可以表示為

（3）當(dāng)?shù)走呴L從12厘米變化到3厘米時，三角形的面積從一厘米2變化到一厘米2

19.1.2函數(shù)的圖象------函數(shù)的圖像及其畫法

學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解函數(shù)圖象的意義，會觀察函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)圖象初步分析函數(shù)的對應(yīng)

關(guān)系和變化規(guī)律，經(jīng)歷畫函數(shù)圖象的過程，體會函數(shù)圖象建立數(shù)形聯(lián)系的關(guān)鍵是分別用點的

橫、縱坐標(biāo)表示自變量和對應(yīng)的函數(shù)值。

學(xué)習(xí)重難點：認(rèn)識函數(shù)圖象的意義，會對簡單的函數(shù)列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象。

學(xué)習(xí)過程：

一、創(chuàng)設(shè)問題情境：

有些問題中的函數(shù)關(guān)系很難列式子表示，但是可以用圖來直觀地反映，如心電圖表示心

臟部位的生物電流與時間的關(guān)系。即使能列式表示的函數(shù)關(guān)系，如果也能畫圖表示，那么

使函數(shù)關(guān)系更直觀。

二、自主探究與合作交流：

學(xué)生看P75--P79并思考以下問題：

1、什么是函數(shù)圖像？

2、如何作函數(shù)圖像？具體步驟有哪些？

3、如何判定一個圖像是函數(shù)圖像，你判斷的依據(jù)是什么？

4、有哪些方法表示函數(shù)關(guān)系？各自的優(yōu)缺點是什么？

(自學(xué)檢測)：

例：如圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫7如何隨時間大變化而

變化，你從圖中得到了哪些信息？

(1)這一天中時氣溫最低；

時氣溫最高；

(2)從時到時氣溫呈下降

趨勢，從時到時氣溫呈上

升趨勢，從時到時氣溫又呈下降趨勢;

總結(jié)：

?正確理解函數(shù)圖象與實際問題間的內(nèi)在聯(lián)系

I、函數(shù)的圖象是由一系列的點組成，圖象上每一點的坐標(biāo)(x,y)代表了該函數(shù)關(guān)系的一對

對應(yīng)值。

2、讀懂橫、縱坐標(biāo)分別所代表的實際意義；

3、讀懂兩個量在變化過程中的相互關(guān)系及其變化規(guī)律。

三、鞏固練習(xí)：

例1、下圖反映的過程是小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家.其中x

x/min

根據(jù)圖象回答下列問題:

(1)食堂離小明家多遠(yuǎn)？小明從家到食堂用了多少時間？

(2)小明在食堂吃早餐用了多少時間？

(3)食堂離圖書館多遠(yuǎn)？小明從食堂到圖書館用了多少時間？

(4)小明讀報用了多長時間？

(5)圖書館離小明家多遠(yuǎn)？小明從圖書館回家的平均速度是多少？

2、下列式子中，對于x每一個確定的值，y有唯一的對應(yīng)值，即y是x的函數(shù)，請畫出

這些函數(shù)的圖象.

解：(1)

1、列表：(1)產(chǎn)x+0.5；(2)產(chǎn)g(尤>0).

X

y

2、描點:

3、連線。

(2)判斷下列各點是否在函數(shù)y=X+0.5的圖象上？①(-4,-4.5)；②(4,4.5).

1、列表：

X

y

2、描點：

3、連線。

判斷下列各點是否在函數(shù)y的圖象上？①(2,3);②(4,2)

x

歸納

畫函數(shù)圖象的一般步驟：列表、描點、連線，這種畫函數(shù)圖象的方法稱為描點法.

四、達(dá)標(biāo)測試：

1.若點p在第二象限，且p點到x軸的距離為到y(tǒng)軸的距離為1,則p點的坐標(biāo)是()

A.(—1,-\/3)B.(—V3,1)C.(Vs)—1)D.(1,—V3)

2.下列函數(shù)中，自變量取值范圍選取錯誤的是（)

2y=____

A.y=x中，X取全體實數(shù)B.X-1中，XX。

c.丁=7^1中，z>11）.1y=7^1中，x*T

3、下列各曲線中哪些表示y是x的函數(shù)？（提示：當(dāng)x=a時，x的函數(shù)y只能有一個函數(shù)值）

5.某運動員將高爾夫球擊出，描繪高爾夫球擊出后離原處的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的圖像

可能為（）.

6.飛機起飛后所到達(dá)的高度與時間有關(guān)，描繪這一關(guān)系的圖像可能為（）.

7、假定甲、乙兩人在一次賽跑中，路程S與時間T的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中所示，如圖,

請結(jié)合圖形和數(shù)據(jù)回答問題:

(1)這是一次米賽跑；

(2)甲、乙兩人中先到達(dá)終點的是

(3)乙在這次賽跑中的速度為;

(4)甲到達(dá)終點時，乙離終點還有米。

19.1.2函數(shù)的圖像

一、警句：函數(shù)表示方法三，圖像圖表和解析，

弄清關(guān)系不可怕，自變、函數(shù)來當(dāng)家。T砌

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、會根據(jù)題目中題意或圖表寫出函數(shù)解析式;

2、根據(jù)函數(shù)解析式解決問題。

二、課前展不：

1、函數(shù)有哪幾種表示方法？

2、一輛汽車的油箱中現(xiàn)有汽油50L,如果不再加油，那么油箱中的油量y(單位：L)隨行

駛里程x(單位：km)的增加而減小，平均耗油量為0.1L/km。

(1)寫出表示y與x的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍;

(2)汽車行駛200km時，郵箱中還有多少汽油？

四、檢查預(yù)習(xí)情況

拖拉機開始工作時，郵箱中有油30L,每小時耗油5L。

(1)寫出郵箱中的余油量Q(L)與工作時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求出自變量t的取值范圍；

(3)畫出函數(shù)圖象；

(4)根據(jù)圖像回答拖拉機工作2小時后，郵箱余油是多少？若余油10L,拖拉機工作了

幾小時？

五、小組討論、合作探究:

探究

例：一水庫的水位在最近5小時內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5小時的水位高度。

t/時012345

y/米1010.0510.1010.1510.2010.25

（1）在平面直角坐標(biāo)系中描出表中數(shù)據(jù)對應(yīng)的點，這些點是否在一直線上？

由此你能發(fā)現(xiàn)水位變化有什么規(guī)律嗎？

（2）由記錄表推出這5小時中水位高度y（單位：米）隨時間t（單位：時）

變化的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖像；

（3）據(jù)估計按這種上漲規(guī)律還會持續(xù)上漲2小時，預(yù)測再過2小時水位高度將達(dá)到多少

米？

六、展示匯報、質(zhì)疑答疑：

七、拓展延伸：

1、某種活期儲蓄的月利率是0.06%,存入100元本金，則本息和y（元）隨所存月數(shù)x

變化的函數(shù)解析式為,當(dāng)存期為4個月的時候，本息和為元；

2、正方向邊長為3,若邊長增加x則面積增加y,則y隨x變化的函數(shù)解析式為,

若面積增加了16,則變成增加了；

3、甲車速度為20米/秒，乙車速度為25米/秒，現(xiàn)甲車在乙車前面500米，設(shè)x秒后兩車

之間的距離為y米，則y