2020高三數(shù)學(xué)教學(xué)案第六章不等式

b

第一課時(shí)不等式的性質(zhì)

c-b

考綱摘錄7）若a<6<0,則X8）若則/0,

abab

工^握實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及大小順序之間的關(guān)系；

b<0

2、理解不等式的性質(zhì)定理及其推論的證明；

3、能正確使用不等式的性質(zhì)，進(jìn)行兩個(gè)代數(shù)式大小的比較，以2、若-i<a<6<0,則有

及判定某些不等式是否成立。

（）

A.-<-<Z?2<B.L（于<〃

知識(shí)概要baba

C.<^<52D._L<1</<勿

知識(shí)點(diǎn)：L實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)abab

3、（1）若3</77<6,m<n<2m,貝!]m+n取值范圍是

2、不等式的性質(zhì)

基本方法：比較兩個(gè)代數(shù)值（或式）的大小：作差比較法與

（2）若角a、夕滿足-1<a<夕<5,則2a-/取值范圍是

作商比較法.

4、若/（x）=x\g（x）=x2-x+l且、<1,則/（X）與g（x）的大小關(guān)系是

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：不等式的性質(zhì)和比較法的應(yīng)用.

難點(diǎn)：不等式性質(zhì)及推論的證明.

例題講解

基礎(chǔ)名東習(xí)例1、已知三個(gè)不等式:ab>0,bc-ad>0,>0（其中8、b、

ab

1、設(shè)a、b、ceR,判斷下列各命題的真假

ca均為實(shí)數(shù)）用其中兩個(gè)不等式作為條件，余下的一個(gè)不等式作

1）若^>6,則<5￡2>6￡22）若^^>6i，則^>6

為結(jié)論組成一個(gè)命題，確定可組成的正確命題.

3）若a<b<0,則于〉4）若a<6<0,則上<上

ab

5）若a<6<0,則a|>\b\6）若c>a>6>0,則，一

例2、⑴若x<)，<0,試比較，+V)(x_y)與(Y_/)(”的大小

(2)設(shè)3>0,b>0且8WZ?,試比較。。?〃與a"?〃的大小。

課后作業(yè)

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

例3、在等比數(shù)列⑸和等差數(shù)列｛仇｝中，團(tuán)=包>0,而女>0,且

aitai,試比較力與限、、生與女的大小.L已知?jiǎng)t下列不等式中：①a+6<a6②|a|>|6|③

ab

8<6④>2,正確的不等式個(gè)數(shù)是______個(gè).

2、已知8、b是實(shí)數(shù)，貝ua>6>0是/>從的條件.

3、已知a、bwR,則a+6<1+ab是/+從<1的

條件.

4、命題"a>boL<；’成立的充要條件是_____________.

ab

5、已知a、6w(0,+8),設(shè)A=；+],B=E，則A、B的大

例4、設(shè)代0=/+以,且l</(-i)<2,2</(1)<4,求/(-2)的取值

la2ba+b

范圍。小關(guān)系是_____________.

6、若a>l,M=&TT-石,N=&-G，則M與N大小關(guān)系

是

7、已知a>2,b>2,比較a+b與ab的大小.

9、已知0<x<1,0<a<1,試比較與gg-］的大小。

8、比較1+農(nóng)與，2一(1一號(hào)的大小.

aVa

10、(選做題)設(shè)。,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，證明函數(shù)

/(x)=log：+k)g;在

(1，為上是增函數(shù).

a

高三數(shù)學(xué)教學(xué)案第上女八'早不―7—等Ayr式P

班級(jí)學(xué)號(hào)

_________姓名________

第二課時(shí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（一）

考綱摘錄

掌握兩個(gè)（不要求擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的

幾何平均數(shù)這個(gè)定理并會(huì)用定理證明簡(jiǎn)單的不等式.

知識(shí)概要

1、均值不等式及成立的條件；

2、均值不等式的變式；

3、理解四個(gè)"平均數(shù)"的大小關(guān)系.

重點(diǎn)難點(diǎn)

均值不等式定理及利用均值不等式證明簡(jiǎn)單不等式.

基礎(chǔ)練習(xí)

1、若0<a<l,0<b<l且aw6,則下列代數(shù)式中最大的是

A.a2+b2B.a+bC.2abD.2y[ab

2、已知M=(L-i)G-i)p_i),a+b,其中a、b、ce

abc

R,,則M的取值范圍是

()

A.0,()B.：，1)C.[1,8)D.[8,+oo)

2、已知a、b、ceR*,求證：

3、已知實(shí)數(shù)a、b、ce(0,l),且仇3c互不相等，設(shè)加=log號(hào),

(1)a4+b"+c-4>a2b2+b2c2+c2a2>abd(a+b+c)

〃=；log產(chǎn),p=g(104"+10&"),則相、"、p的大小關(guān)系是

(2)yla2+b2+ylb2+c2+ylc2+a2>/2(a+b+c)

4、已知8、b、ceR，，且8+b+ci,求證j+?+

abc

例題講解

例1、設(shè)a、6WR：a+b=l,試給出含有a、。兩個(gè)元素的不等式,

并加以證明.

例3、設(shè)數(shù)列｛8n｝是等差數(shù)列，并且ai>1，公差d>0，求證：flml

3、數(shù)列｛an｝通項(xiàng)公式a=，則數(shù)列｛an｝中最大項(xiàng)是第________

是遞減數(shù)列.n~+90

項(xiàng).

4、設(shè)abeR,a+b=3,貝!J2"+2〃的最小.

5、已知a、bwR,且a+b=2,a/b，則1,ab,日產(chǎn)由小到大

的順序是______________.

6、下列不等式

①x+』22(2)1,r+—|>2

xx

③若0<a<l<b,貝!]io&>io&；<-2

④若0<8<1<匕，則<2

其中正確的是_____________.

課后作業(yè)

7、若0<a<6,且a+b=l,試確定g,a,b,/+從的大小.

班級(jí)學(xué)號(hào)姓名

1、已知1<L<],那么(log/)?_____1.(填或">")

ab

2、已知a>6>0,全集I=R,M={》|b<x<等},N={R族<x

<a},

貝UMAc/=.

8、已知a、b、c￡R+,且a+b+c\,求證：10、（選做題）已知a、6是正數(shù)，求證：

①/+/+C?2；②4〃+6。+〃CWg①若石+1>4b,則對(duì)于任何大于1的正數(shù)x,恒有以+*>b

x-l

成立；

②若對(duì)任何大于1的正數(shù)X,恒有以+告>b成立，則石+1>

X-1

4b.

9、已知方程a/+bx+c=0有一根占>0,求證：方程cf+/>x+a=O必

有一根X?,使占+占22.

高三數(shù)學(xué)教學(xué)案第六章不等式

班級(jí)學(xué)號(hào)①若X>0時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最________值

_________姓名___________________________/

第三課時(shí)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)（二）②若（0,"時(shí)，當(dāng)八=時(shí)，函數(shù)有最________值

考綱摘錄

掌握用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)的定理求③若x￡[4,+8）時(shí)，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最

函數(shù)的最值和解決不等式應(yīng)用題.

;

知識(shí)概要3、已知x之|?，貝!J/（x）=x；4x：5有

22x-4

1、如果abe如，中=P（定值），當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值2VP

（）

（簡(jiǎn)記為：積定和有最小值）

A.最大值JB.最小值JC.最大值1

44

2、如果&住R，，x+y=S（定值）當(dāng)3y時(shí)，孫有最大值分2（簡(jiǎn)

4D.最小值1

記為：和定積有最大值.

4、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的無(wú)蓋水池，水池容積是4800m3,

深3m如果池底每1m2的造價(jià)是150元，池壁每1m2的造價(jià)是

重點(diǎn)難點(diǎn)

120元，問(wèn)如何設(shè)計(jì)使水池總造價(jià)最低？

重點(diǎn):運(yùn)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定

理求函數(shù)的最值，特別注意條件："一正、二定、三等".

難點(diǎn)：運(yùn)用均值定理解決應(yīng)用題時(shí)數(shù)學(xué)模型的建立。

例題講解

基礎(chǔ)練習(xí)

例1、①若正數(shù)X、滿足x+2y=l,求的最小值

1、已知仁+ig，=1,則的最小值是_____________.%y

Xy

②若x、）'￡R+,且2x+8y-孫=0,求x+.v的最小值.

2、已知函數(shù)f（x）=2+9x

X

100萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)是虧損還是盈利?(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬(wàn)元時(shí),

企業(yè)年利潤(rùn)最大？

例2、試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式

x4+(a-1)JC2+120恒成立.

課后作業(yè)

班級(jí)學(xué)號(hào)

_________姓名________

例3、某生產(chǎn)飲料的企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在

1、函數(shù),f(x)=x+L(x￡R且在0)的值域是___________.

一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量Q(萬(wàn)件)與廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系為X

Q闿僅20)；已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的固定投入為3萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件

=2、已知〃Z=4+『y(4>2)(X<0)則〃7與〃的大小關(guān)系

產(chǎn)品另需再投入32萬(wàn)元,若每件售價(jià)為"年平均每件成本的150%"

.

與"年平均每件所占廣告費(fèi)的50%"之和，當(dāng)年產(chǎn)銷量相等.(1)試將

3、已知2+±=2(x>0,y>0),則刈的最小值是___________.

年利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年廣告費(fèi)x萬(wàn)元的函數(shù)，并判斷當(dāng)年廣告費(fèi)投入

4、已知八y是正數(shù)且L2=l,則x+y的最小值是__________.

5、若正數(shù)4、滿足必=4+人+3,則ab的取值范圍是__________.

6、周長(zhǎng)為定值L的直角三角形的面積最大值是__________.

7、已知〃、/，為正數(shù)，且=求小聯(lián)方的最大值以及達(dá)到最

大值時(shí)的“、/，值.

9、求函數(shù)y=sin?-5sina+7的值域。

3-sina

8、某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別是人

y（單位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架圍成的總面

積是8cm2.問(wèn)八p分別為多少時(shí)用料最??？

10、（選做題）（1）已知a>b>0,求/+7rz的最小值。

b（a-b）

（2）求函數(shù)y=舞幺（AeR）的最小值。

，？+4

高三數(shù)學(xué)教學(xué)案第六章不等式

班級(jí)學(xué)號(hào)

_________姓名________

第四課時(shí)不等式的證明（一）

考綱摘錄

掌握用匕H交法、綜合法證明簡(jiǎn)單的不等式.

知識(shí)概要

1、比較法：①作差法②作商法

2、綜合法：利用已證明過(guò)的不等式或不等式性質(zhì)，從已知條件

出發(fā)逐步推出所要證明的不等式成立，也就是"由因?qū)Ч??

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用比較法、綜合法證明簡(jiǎn)單的不等式.

難點(diǎn)：匕匕較法證明中作差（商）后代數(shù)式變形技巧.

綜合法證明不等式時(shí)不等式性質(zhì)、重要不等式的聯(lián)想運(yùn)用.

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、設(shè)”6>。,,">0,〃>。,則2卷,處二產(chǎn)由小到大的順序是

aba+mb+in

2、設(shè)0<x<1,則a=瓜,b=1+x,c==中最大的一個(gè)是.

例2、已知a、b、C是正數(shù)，且a、b、C成等比數(shù)列，求證：

3、設(shè)實(shí)數(shù)知占,……，x”的算術(shù)平均數(shù)是1，任意實(shí)數(shù)”］，記

a2+b2+c2>(a-h+c)2.

22

P=(X|-x)2+(x2-x)+...+(x?-x),

122

q=(xt-a)+(x2-a)+........+(x“-a),則p與q的大小關(guān)系是________

4、已知數(shù)列"｝是遞增數(shù)列，對(duì)任意自然數(shù)"，"eN.,/=〃2+%

恒成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是___________.

例3、已知d>0,6>0,求證：

例題選洲

例L(1)已知a、b是正數(shù)，且4Kb,求證：/+/>a%+加.

(2)已知8、〃是正數(shù),m1nwN*i且,求證：a'"+h'">例4、設(shè)a>0,b>0,a+b=l,

求證：①'+:+々28②(“+1)2+3+^2g

b"+a"?b"""'.ababab2

3、設(shè)“>0,b>0,是常數(shù)，則當(dāng)x>耐，函數(shù)/(x)=*+aXx+份的

X

最小值是_________.

4、若a>0力>。,且2a+b=1,則S=2〃^-4/_〃的最大值為

5、設(shè)。,仇。wR*且〃+b+c=1,貝！之______________.

abc

6、已知a<b<c,求證：a2b+b2c+c2a<ab2+be2+ca2

課后練習(xí)

班級(jí)學(xué)號(hào)

_________姓名

1、設(shè)”也C,都是正數(shù)，P=4ab+4cd,Q=y!tna-\-nc?J—+'■，貝(J7、已知求證：痣今＞鬻

P與Q的大小關(guān)系是_________.

2、若々＞0且awl,P=log/"+",Q=log"7,則尸、。的大小關(guān)系是

2i22

8、(1)x>0,y>0,求證：1+10、（選做題）（1）設(shè)%b、c均是正數(shù)，求證：-+也+J2a+"c

xyx+ybca

(2)已知a>b>c,求證：—（2）設(shè)七，士,...,x?wR+,

a-bb-ca-c

2222

求證：+上-++\用+/+巧++Xn

9、設(shè)/(x)=|lgA|,〃、人是滿足/(a)=fS)=2/(^^)的實(shí)數(shù)其中

0<a<b,

■三數(shù)學(xué)教學(xué)闔第六章不等式

求證：(1)a<l<b；(2)2<4b-b2<3.

班級(jí)學(xué)號(hào)

_________姓名________

第五課時(shí)不等式的證明(二)A.ad=beB.ad<be

C.ad>beD.ad與反大小不定

考綱摘錄4、若人yeR，且|x|<l,則|y|<l是0<xy<l的條件.

例題選調(diào)

掌握用分析法證明簡(jiǎn)單的不等式；了解用反證法證明簡(jiǎn)單的不等

式。例L已知0>b>c,且q+b+c=0,求證：后-好〈拒.

a

知識(shí)概要

1、分析法：從求證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使不等式成立的充分

條件直至所需的條件被確認(rèn)成立，從而斷定待證不等式成立，也就

是“執(zhí)果索因".

例2、設(shè)。>(),求證：a+--^a2+-^<2-72.

2、反證法：據(jù)"正難則反"原則，解決結(jié)論是"至少有一個(gè)"、

"至多有一個(gè)"、"都大于"等類型的問(wèn)題。其證明的一般步驟是：

反設(shè)結(jié)論T邏輯推理T導(dǎo)出矛盾T肯定結(jié)論.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：用分析法證明簡(jiǎn)單的不等式.

難點(diǎn)：反證法證明簡(jiǎn)單不等式過(guò)程中矛盾的導(dǎo)出.

基礎(chǔ)訓(xùn)練

1、毒-后與方-石的大小關(guān)系是_____________.

2、設(shè)b、C不全為。，且a+b+c=0,則

()

A.ab+be+ac>0B.<?2>abb2>aca2>bc

彳列3、0<4/<—fer<ci-bt:b<----(kEN,k,>\).

4+1

C.absbe、ac均為負(fù)數(shù)D.abc<0k

3、設(shè)正數(shù)%6、C滿足a+d=b+c且|。一"|<|力一。|,貝!]()

課后練習(xí)

班級(jí)學(xué)號(hào)

姓名

例4、用反證法證明：1'設(shè)">b>0,則下列各式中成立的是

(1)若0<。、b、c<2，求證：a(2-b)、伙2-c)、c(2-a)不可能都)

2a+b_a

A.B,2a+b>巴

大于1.a+2bba+2bb

然與f大小不定D.20+，a

已知a+b+c>0,"+歷+ca>0,abc>0,求證:a>0,b>0,c>0.

(2)C.a+2bba+2bb

2、設(shè)()<〃<Z?<1,下列不等式中正確的是

)

A.(1-a)*>(l-4)”B.(l+a)a>(1+。)〃

b

C.(l-a/>(l-?)2D.(i-?r

、設(shè)〃是三個(gè)互異正數(shù)〃、b、中的最大數(shù)，且，則

3cba

a+db+c(填">"或

4、設(shè)“、b、CeR*,則三個(gè)數(shù)〃+1,b+Lc+L的值至少有一

bca2.

個(gè)不2(填或

5、設(shè)|〃|<1,\b\<l,則|a+b|+|a*與2的大小關(guān)系是

6、已知a>0,/?>0,2c>a+b.求證Ic-yjc2-ab<a<c+ylc2-ab.

9、(1)已知同<1,⑸<1,求證：|上半1<1?

a-b

\-abA

(2)求實(shí)數(shù)4的取值范圍，使不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)〃、

a^-b>1

〃恒成立，其中

7、若o<x<，,求證：_/<_L.

yx+1y

8、已知<>0,y>0，且x+y>2,則匕工上匕中至少有一個(gè)小于

第六課時(shí)不等式的證明（三）

考綱摘錄

了解用放縮法、換元法、判別式法等方法證明簡(jiǎn)單的不等式.

10、（選做題）是否存在常數(shù)C,使得不等式丁L+T<c<

2x+yx+2y

—V+4對(duì)任意正數(shù)X、y恒成立?試證明你的結(jié)論。知識(shí)概要

x+2y2x+y

放縮法：利用不等式的傳遞性，對(duì)不等式進(jìn)行放大或縮小，主要

放縮的方法有:增項(xiàng)、減項(xiàng)、利用分式的性質(zhì)、利用不等式的性質(zhì)、

利用函數(shù)的性質(zhì)等。

換元法：主要是三角換元法與增量換元法，注意換元后新變量的

取值范圍.

判別式法:根據(jù)已知或構(gòu)造出的一元二次方程、一元二次不等式、

一元二次函數(shù)的根、解集、函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)

滿足的不等式，從而推出欲證的不等式的方法.

基礎(chǔ)訓(xùn)綠

1、設(shè)x>0,y>0,力=產(chǎn)匕+，則A與B的大小關(guān)系是

1+x+y1+x1+y

高三數(shù)學(xué)教學(xué)案第六章不等式

班級(jí)______號(hào)