概率論第一章習(xí)題解答

1.寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)〔以百分制記分〕；一個(gè)口袋中有5個(gè)外形相同的球，編號(hào)分別為1、2、3、4、5，從中同時(shí)取出3個(gè)球；某人射擊一個(gè)目標(biāo)，假設(shè)擊中目標(biāo)，射擊就停止，記錄射擊的次數(shù)；在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo).解：1〕設(shè)小班共有個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生的成績(jī)?yōu)榈降恼麛?shù)，分別記為，那么全班平均分為，于是樣本空間為=2〕所有的組合數(shù)共有種，3〕至少射擊一次，4〕單位圓中的坐標(biāo)滿足，2.，，，求，，和.解〔因?yàn)椤场惨驗(yàn)椋敲础?.設(shè)有10件產(chǎn)品，其中6件正品，4件次品，從中任取3件，求以下事件的概率：只有一件次品；最多1件次品；至少1件次品.解1〕設(shè)表示只有一件次品，.2)設(shè)為最多1件次品，那么表示所取到的產(chǎn)品中或者沒有次品，或者只有一件次品，.3〕設(shè)C表示至少1件次品，它的對(duì)立事件為沒有一件次品，4.盒子里有10個(gè)球，分別標(biāo)有從1到10的標(biāo)號(hào)，任選3球，記錄其號(hào)碼.〔1〕求最小號(hào)碼為5的概率.〔2〕求最大號(hào)碼為5的概率.解1〕假設(shè)最小號(hào)碼為5，那么其余的2個(gè)球必從6，7，8，9，10號(hào)這5個(gè)球中取得。那么它的概率為.2)假設(shè)最大號(hào)碼為5，那么其余的2個(gè)球必從1，2，3，4號(hào)這4個(gè)球中取得。那么它的概率為.5.有a個(gè)白球，b個(gè)黑球，從中一個(gè)一個(gè)不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一種顏色為止.求最后是白球留在口袋中概率.解設(shè)最后留在口袋中的全是白球這一事件為A，另設(shè)想把球繼續(xù)依次取完，設(shè)取到最后的一個(gè)球是白球這一事件為B，可以驗(yàn)證A=B，顯然.6.一間學(xué)生寢室中住有6位同學(xué)，求以下事件的概率：1〕6個(gè)人中至少有1人生日在10月份；2〕6個(gè)人中有4人的生日在10月份；3〕6個(gè)人中有4人的生日在同一月份.〔假定每個(gè)人生日在同各個(gè)月份的可能性相同〕解1〕設(shè)6個(gè)人中至少有1人生日在10月份這一事件為A；它的逆事件為沒有一個(gè)人生日在10月份，生日不在10月份的概率為，那么2〕設(shè)6個(gè)人中有4人的生日在10月份這一事件為B，那么.3)設(shè)6個(gè)人中有4人的生日在同一月份這一事件為C.那么7.甲乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5，現(xiàn)目標(biāo)被擊中，問由甲射中的概率為多少？解設(shè)A和B分別表示甲和乙射中。C表示目標(biāo)被射中，那么.8.某商店出售的電燈泡由甲、乙兩廠生產(chǎn)，其中甲廠的產(chǎn)品占60%，乙廠的產(chǎn)品占40%.甲廠產(chǎn)品的次品率為4%，乙廠產(chǎn)品的次品率5%.一位顧客隨機(jī)地取出一個(gè)電燈泡，求它是合格品的概率.解設(shè)A和B分別表示電燈泡由甲廠和乙廠生產(chǎn)，C表示產(chǎn)品為合格。那么9.男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今從男女為數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率多少？解設(shè)挑選到的人為男性和女性分別為A和B。另設(shè)某人是色盲患者為C。由條件，，；那么10.甲、乙、丙三人獨(dú)立地向一敵機(jī)射擊，設(shè)甲、乙、丙命中率分別為0.4，0.5，0.7，又設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次而墜毀的概率分別為0.2，0.6，1.現(xiàn)三人向敵機(jī)各射擊一次，求敵機(jī)墜毀的概率.解設(shè)敵機(jī)被擊中1次，2次，3次的事件分別為A，B，C.敵機(jī)墜毀的事件為Ｄ。那么11.三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4.問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少？解三人譯出密碼分別記為A，B，C。那么即為所求事件〔三人中至少有一人能將此密碼譯出〕。它的對(duì)立事件為。又因?yàn)楦魅俗g出密碼是相互獨(dú)立的，那么12.甲袋中裝有只白球、只紅球；乙袋中裝有只白球、只紅球.今從甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊∫恢磺?，問取到白球的概率是多少？解設(shè)從甲袋中取出白球記為A，從乙取出白球記為B。13.做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次成功的概率為，求在成功次之前已經(jīng)失敗了次的概率.解根據(jù)題意，試驗(yàn)在第n+m次是成功的〔記為A〕，前n+m-1次中有m次是失敗的〔記為B〕。而前n+m-1次中有m次失敗是一個(gè)二項(xiàng)分布B〔n+m-1,1-p〕,所求概率為14.甲給乙打，但忘記了號(hào)碼的最后1位數(shù)字，因而對(duì)最后1位數(shù)字就隨機(jī)地?fù)芴?hào)，假設(shè)撥完整個(gè)號(hào)碼算完成1次撥號(hào)，并假設(shè)乙的不占線.〔1〕求到第次才撥通乙的的概率；〔2〕求不超過次而撥通乙的的概率.〔設(shè)〕解1〕該問題相當(dāng)于在0~9這十個(gè)數(shù)字中不放回抽樣，第k次正好抽到所需的數(shù)字這一個(gè)問題。根據(jù)抽簽與次序無關(guān)的結(jié)果，第k次抽到的概率為1/10。2〕第二個(gè)問題相當(dāng)于一次性地抓了k個(gè)數(shù)字，所需數(shù)字正好在所抓的數(shù)字中這樣一個(gè)問題。由于每個(gè)數(shù)字都是等可能被抽到，所需數(shù)字落在所抓數(shù)字中的概率與所抓的數(shù)目k成正比。設(shè)表示所需數(shù)字在所抓的k個(gè)數(shù)字中，，其中C為常數(shù)。〔或〕可得出C=1/10。所以15.將3個(gè)小球隨機(jī)地放入4個(gè)盒子中，求盒子中球的最多個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率.解3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)盒子共有種放法。盒子中最多個(gè)數(shù)為1，相當(dāng)于4個(gè)盒子中分別有1，1，1，0個(gè)球，這種情形的放法共有種〔選一個(gè)空盒有4種選法，剩下的每盒有一個(gè)球相當(dāng)于全排列〕。故盒子中最多個(gè)數(shù)為3，相當(dāng)于4個(gè)盒子中有一個(gè)盒子中有3個(gè)球，其它3個(gè)盒子沒有球。它的放法共有種〔選一個(gè)盒子，放入3個(gè)球〕。故盒子中求的最多個(gè)數(shù)為2相當(dāng)于排除以上2種情況而剩下來的情形。16.設(shè)有一傳輸信道，假設(shè)將三字母A,B,C分別輸入信道,輸出為原字母的概率為,輸出為其它字母的概率為,現(xiàn)將3個(gè)字母串AAAA,BBBB,CCCC分別輸入信道,輸入的分別為p1,p2,p3,且p1+p2+p3=1,輸出字母串為ABCA,問輸入為AAAA的概率是多少?解17.證明:假設(shè),那么事件與相互獨(dú)立.證明：，，所以即即18.某地區(qū)約有5%的人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒,求該地區(qū)某校一個(gè)班的50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的概率.解設(shè)為學(xué)生攜帶有乙肝病毒，.不攜帶有乙肝病毒為，，50名學(xué)生中至少有一人體內(nèi)攜帶有乙肝病毒的對(duì)立事件是50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒，P〔50名學(xué)生都不攜帶有乙肝病毒〕=。所以P〔50名學(xué)