第七章(1) 一階電路

零輸入響應重點掌握：第七章（1）一階電路零狀態(tài)響應三要素法返回目錄目錄6-1動態(tài)電路概述6-2電路的初始條件6-3一階電路的零輸入響應6-4一階電路的零狀態(tài)響應

6-6

階躍函數(shù)和沖激函數(shù)6-7一階電路的階躍響應和沖激響應6-5一階電路的全響應K未動作前i=0,uC

=0i=0,uC=Us一.動態(tài)電路i+–uCUsRC6-1動態(tài)電路概述穩(wěn)態(tài)分析K+–uCUsRCi

t=0K接通電源后很長時間K+–uCUsRCi初始狀態(tài)過渡狀態(tài)新穩(wěn)態(tài)t1USuct0?a.動態(tài)電路：含有動態(tài)元件的電路，當電路狀態(tài)發(fā)生改變時需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)態(tài)。上述變化過程習慣上稱為電路的過渡過程。ib.動態(tài)電路與電阻電路的比較：動態(tài)電路換路后產(chǎn)生過渡過程，描述電路的方程為微分方程。電阻電路換路后狀態(tài)改變瞬間完成，描述電路的方程為代數(shù)方程。K+–uCUsRCi+-usR1R2R3二.過渡過程產(chǎn)生的原因1.電路內(nèi)部含有儲能元件L、C能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成2.電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化支路接入或斷開，參數(shù)變化換路三.穩(wěn)態(tài)分析和動態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)換路發(fā)生很長時間后重新達到穩(wěn)態(tài)換路剛發(fā)生后的整個變化過程微分方程的特解動態(tài)微分方程的一般解恒定或周期性激勵任意激勵四.一階電路換路后，描述電路的方程是一階微分方程。五.動態(tài)電路的分析方法1、根據(jù)KVL、KCL及元件的VCR

建立電路方程，該方程為以時間為自變量的線性常微分方程。2、求出微分方程的解，從而得到所求變量。一.t=0+與t=0-

的概念換路在t=0時刻進行0-

換路前一瞬間

0+

換路后一瞬間6-2電路的初始條件電路中的u，i及其各階導數(shù)在t=0+時的值。0-0+0tf(t)初始條件：二.換路定律q

=CuCt=0+時刻當i()為有限值時iucC+-q

(0+)=q

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)電荷守恒結(jié)論換路瞬間，若電容的電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。1.當u為有限值時

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)磁鏈守恒結(jié)論換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。2.iuL+-L

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)qc(0+)=qc

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)換路定律：換路定律成立的條件注意:換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。三.電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效電路(1)由0-電路求uC(0-)或iL(0-)+-10V+uC-10k40kuC(0-)=8V(3)由0+等效電路求

iC(0+)iC(0--)=0iC(0+)例1+-10ViiC+uC-k10k40k求

iC(0+)

iL(0+)=iL(0-)=2A例2t=0時閉合開關k,求uL(0+)。iL+uL-L10VK1

4

由0+電路求uL(0+)：+uL-10V1

4

2A先求由換路定律:求初始值的步驟:1.由換路前電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)）求出uC(0-)和iL(0-)。2.由換路定律得uC(0+)和iL(0+)。3.畫0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.若uC(0+)或iL(0+)不為零，電容（電感）用電壓源（電流源）替代。電壓源（電流源）取0+時刻值，其方向同原假定的電容電壓、電感電流方向。電容（電感）相當于開路（短路）。a.若uC(0+)或iL(0+)為零，電容（電感）用短路（開路）替代。iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=–RIS求iC(0+),uL(0+)0+電路uL+–iCRISRIS+–例3K(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC+–uLiLC+–uCRISiC0-電路1.求uC(0-)和iL(0-)iL(0-)=ISuC(0-)=RIS2.求uC(0+)和iL(0+)3.求iC(0+)和uL(0+)

6-3一階電路的零輸入響應零輸入響應：激勵(獨立電源)為零，僅由儲能元件初始儲能作用于電路產(chǎn)生的響應。一、RC放電電路已知uC

(0-)=U0iK(t=0)+–uRC+–uCR

uR=Ri一階微分方程iK(t=0)+–uRC+–uCR特征根設特征方程RCp+1=0得則uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0令

=RC

,稱

為一階電路的時間常數(shù)。tU0uC0I0ti0電壓、電流以同一指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于RC乘積。iK(t=0)+–uRC+–uCR時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大過渡過程時間的長

小

過渡過程時間的短電壓初值一定：R

大（C不變）i=u/R放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C

大（R不變）W=0.5Cu2

儲能大固有頻率U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上認為,經(jīng)過3

-5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。某點切距的長度t2-t1=

tuc0

t1t2t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

能量關系：C不斷釋放能量被R吸收,直到全部消耗完畢.設uC(0+)=U0電容放出能量電阻吸收（消耗）能量uCR+-C二.RL電路的零輸入響應特征方程Lp+R=0特征根p=由初始值i(0+)=I0定積分常數(shù)AA=i(0+)=I0i

(0-)=i

(0+)=iK(t=0)USL+–uLRR1令

=L/R,稱為一階RL電路時間常數(shù)I0一定：L大起始能量大

R小放電過程消耗能量小放電慢

大-RI0uLtI0ti0iL

(0+)=iL(0-)

1AuV

(0+)=-10000V

造成V損壞。例iLK(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10Vt=0時,打開開關K，求uv。現(xiàn)象：電壓表壞了電壓表量程：50V分析小結(jié)：4.一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。1.一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路

=RC

,RL電路

=L/R3.同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。時間常數(shù)

的簡便計算：

=L/R等=L/(R1//

R2)例1例2R等C

=R等C+-R1R2LR1R2L零狀態(tài)響應：儲能元件初始能量為零，電路在輸入激勵作用下產(chǎn)生的響應。列方程：iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0

6-4一階電路的零狀態(tài)響應

非齊次線性常微分方程解答形式為：齊次方程的通解非齊次方程的特解一.

RC電路的零狀態(tài)響應強制分量與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解，此時強制分量稱為穩(wěn)態(tài)分量。變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定齊次方程的通解：特解（強制分量）=US：通解（自由分量，暫態(tài)分量）iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0全解uC

(0+)=A+US=0

A=–US由起始條件uC

(0+)=0定積分常數(shù)A=USiK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0強制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))-USuC"uC'USti0tuc0能量關系電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。電容儲存：電源提供能量：電阻消耗RC+-US二.RL電路的零狀態(tài)響應iL(0-)=0求:電感電流iL(t)已知tuLUStiL00iLK(t=0)US+–uRL+–uLR

6-5一階電路的全響應全響應：非零初始狀態(tài)的電路受到激勵時電路中產(chǎn)生的響應一.一階電路的全響應及其兩種分解方式iK(t=0)US+–uRC+–uCR穩(wěn)態(tài)解uC'=US解答為

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齊次方程

=RC暫態(tài)解1、全響應uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

–US由起始值定A強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0(1).

全響應=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)2、全響應的兩種分解方式iK(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iK(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiK(t=0)+–uRR(2).

全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應等效+-ucuC

(0-)=U0iC+-U0uciC零狀態(tài)響應零輸入響應tuc0US零狀態(tài)響應全響應零輸入響應U0(3).兩種分解方式的比較零狀態(tài)響應零輸入響應物理概念清楚便于疊加計算

全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應全響應=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)穩(wěn)態(tài)解暫態(tài)解(t≥0)二.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階微分方程：令t=0+其解答一般形式為：1A2

例11

3F+-uC已知：

t=0時合開關求換路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.6670例2i10V1Hk1(t=0)k2(t=0.2s)3

2

已知：電感無初始儲能

t=0時合k1,t=0.2s時合k2

求兩次換路后的電感電流i(t)。解：0<t<0.2st>0.2s(0<t

0.2)(t

0.2)it(s)0.25(A)1.262例3換路前：iL(0-)=

-IS=

-2A求換路后的戴維寧電路SUs+-(t=0)iLRLiIsab10V4H2W2A??Uoc+-(t≥0+)iLReqLab=10-2×2=6VUoc=Us-RisReq

=R=2W求iL的三個要素：iL(0+)=iL(0-)=-2AiL(∞)=

Uoc

/

Req=6/2=3(A)t=L/Req=4/2=2(s)f(t)=f(∞)+[f(0+)-f(∞)]e-ttiL(t)3-232iL(t)=3-5e-0.5tAi(t)=IS+iL(t)=5-5e-0.5tA例4：電路如圖，求uL。SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1HUoc=4i1+2i1Req==10WUi解：iL(0-)=

-

4A=

iL(0+)SiL+-2AuL4W2W4W12-+8Vi1+-2i10.1H(t≥0)求換路后的戴維寧電路=12VReqUi=(4+4)i1+2i1i1uL(0+)

=Uoc-Req

iL(0+)=12-10×(-4)=52ViLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H也可以先求iL：uL=LdtdiLuL(∞)=0t=ReqL==

0.01s100.1得

uL=52e-100t

V例4：電路如圖，求uL。解：iL(0-)=-4A=

iL(0+)代入三要素公式f(t)=

f(∞)+[f(0+)-f(∞)]-ttet=0.01siL(0-)=-4A=

iL(0+)iL(∞)=Uoc/Req=1.2AiL

=1.2-5.2e-100tA再由求出uL。Uoc=4i1+2i1Req=Ui求換路后的戴維寧電路=12VuL(0+)

=Uoc-Req

iL(0+)=52V=10WiLUoc+-(t≥0+)ReqL+-uL0.1H例5：圖示電路原本處于穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時開關S閉合，求換路后的電流i(t)

。iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25FiL(0-)=0，uC(0-)=10V，換路后變?yōu)閮蓚€獨立的單回路iL(0-)+-uC(0-)iU=10V+-R1=2WSL=1HR2=5WC=0.25F+-uCiLiC解：電容電路的三要素為iC(0+)=

uC(0+)／R1

=5At1

=R1C

=0.5s,iC(∞)=0電感電路的三要素為iL(0+)=

iL(0-)=0t2

=L／R2

=0.2s,iL(∞)=

U／R2

=10／5=2Ai(t)=iL(t)+

iC(t)

求出iC(t)、iL(t)后(t≥0)例5：t=0時S1從位置1撥向位置2，經(jīng)0.12s后S2打開，求uC(t)并繪波形圖。U1+-R210mFS250VR1=20kWCS121U2-+30kW10V+-uC解：先求初始值uC(0-)