專(zhuān)題八：拋物線(xiàn)上的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題探究（原卷版1）

專(zhuān)題八：拋物線(xiàn)上的特殊平行四邊形存在性問(wèn)題探究方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛解答存在性問(wèn)題的一般思路是先假設(shè)問(wèn)題存在，然后推理得出結(jié)論，進(jìn)而判斷結(jié)論是否成立．遇到有兩個(gè)定點(diǎn)確定特殊平行四邊形的問(wèn)題時(shí)，常常要運(yùn)用分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想，分別畫(huà)出符合要求的圖形，找到所有的答案，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏．注意結(jié)合矩形、菱形正方形的特殊性質(zhì)，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知識(shí)的運(yùn)用.1.矩形存在性常用解題思路：構(gòu)造一線(xiàn)三直角（借助相似或三角函數(shù)求解）；利用矩形對(duì)角線(xiàn)相等（直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半）借助勾股定理求解等.2.菱形存在性常用解題思路：利用菱形四條邊相等，對(duì)角線(xiàn)互相垂直，借助勾股定理等求解.3.正方形存在性常用解題思路：兼具矩形和菱形二者.典例精講典例精講類(lèi)型一：菱形的存在性問(wèn)題例1：（2021鄂爾多斯中考改編）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+2x﹣8與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M在y軸上，點(diǎn)N在直線(xiàn)AC上，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得以C、M、N、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題過(guò)關(guān)1、（2021通遼中考改編）（12分）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于A（3，0），B（﹣1，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2、（2021婁底中考改編）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求的值；（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)Q．是否存在m，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出m的值．3、（2021湘潭中考）如圖，一次函數(shù)y＝x﹣圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B，二次函數(shù)y＝x2+bx+c圖象過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）點(diǎn)B關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C，點(diǎn)P是對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得以B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4、（2021恩施中考改編）（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，D（﹣4，5）兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）F為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，Q為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)Q，F(xiàn)，E，B為頂點(diǎn)的四邊形是以BE為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；5、（2020重慶中考A卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中，．（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）將該拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)，平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型二：矩形的存在性問(wèn)題例2：（2021齊齊哈爾中考改編）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以點(diǎn)B、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．專(zhuān)題過(guò)關(guān)1、（2021定西中考改編）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A（0，﹣2），B（4，0）兩點(diǎn)，直線(xiàn)BC：y＝﹣2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，垂足為G，DG分別交直線(xiàn)BC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c的表達(dá)式；（2）H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；2、（2021達(dá)州中考改編）（11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3、（2021淄博中考改編）（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝（m＞0）與x軸交于A（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）若OC＝2OA，求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)直線(xiàn)y＝x+b與拋物線(xiàn)交于B，G兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn)E（在拋物線(xiàn)上），點(diǎn)F（在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上），使得以B，G，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形成為矩形？若存在，求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．（第24題圖）4、（2021菏澤中考）（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4交x軸于A（﹣1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接PB，過(guò)點(diǎn)C作CQ∥BP交x軸于點(diǎn)Q，連接PQ，求△PBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4向右平移經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，0）時(shí)，得到新拋物線(xiàn)y＝a1x2+b1x+c1，點(diǎn)E在新拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F，使得以A、P、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考：若點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2），則線(xiàn)段P1P2的中點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（，）．5、（2020無(wú)錫中考）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)交二次函數(shù)的圖像于點(diǎn)，，點(diǎn)在該二次函數(shù)的圖像上，設(shè)過(guò)點(diǎn)（其中）且平行于軸的直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，以線(xiàn)段、為鄰邊作矩形．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8．①用含的代數(shù)式表示的坐標(biāo)；②點(diǎn)能否落在該二次函數(shù)的圖像上？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)恰好落在該二次函數(shù)的圖像上，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．/6、（2020撫順中考改編）如圖，拋物線(xiàn)（）過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接，．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖②，在（2）的條件下，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交軸于點(diǎn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，連接，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與的重疊部分為，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．類(lèi)型三：正方形的存在性問(wèn)題例3：（2021撫順中考）直線(xiàn)y＝﹣x+3與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交AB于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥x軸于點(diǎn)G．當(dāng)DE＝FG時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，在（2）的條件下，直線(xiàn)CD與AB相交于點(diǎn)M，點(diǎn)H在拋物線(xiàn)上，過(guò)H作HK∥y軸，交直線(xiàn)CD于點(diǎn)K．P是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)M，H，K，P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．專(zhuān)題過(guò)關(guān)1、（2021長(zhǎng)春中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，4）在拋物線(xiàn)y＝ax2上，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)B，點(diǎn)C、D在線(xiàn)段AB上，分別過(guò)點(diǎn)C、D作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于E、F兩點(diǎn)．當(dāng)四邊形CDFE為正方形時(shí)，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為．2、（2020吉林中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，