專題5.5 簡單的軸對稱圖形-等腰三角形（知識講解）-2020-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項講練（湘教版）

專題5.5簡單的軸對稱圖形-等腰三角形（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過對折等腰三角形紙片,發(fā)現(xiàn)并理解等腰三角形性質(zhì)會用等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì)解決問題.3.掌握并運用等腰三角形關(guān)聯(lián)的幾個幾何模型【要點梳理】要點一、等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖1所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．特別說明：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.要點二、等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”)性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1在同一個三角形中，把邊的問題轉(zhuǎn)化為角的問題，證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2“三線合一”是解決角、線段相等的重要知識點，是用來證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系重要依據(jù)。3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．通過此內(nèi)容可以更好理解對稱軸是軸對稱圖形對應(yīng)點連線的垂直平分線。要點三、等腰三角形的判定判定1、如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.判定2、如果一個三角形的一個頂角的外角等于另一個內(nèi)角2倍，則這個三角形為等腰三角形。圖3要點詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.【典型例題】類型一、等腰三角形中有關(guān)度數(shù)的計算題1．（2020·湖北武漢市·八年級期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是平分線，若BD＝BC，則∠A的度數(shù)為_____．【答案】36°【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠C＝∠BDC，由角平分線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD，得出∠C＝∠BDC＝2∠A，由三角形內(nèi)角和定理則可求出答案．解：∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠C＝∠BDC＝2∠A，又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A+2∠C＝180°，把∠C＝2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A＝180°，解得∠A＝36°．故答案為：36°．【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·山東聊城市·八年級期中）如圖，△ABC≌△A'B'C，點B'在邊AB上，線段A'B'與AC交于點D，若∠A＝40°，∠B＝60°，則∠A'CB的度數(shù)為_____．【答案】140°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A′CB′＝80°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理求出∠BCB′＝60°，根據(jù)角的和差關(guān)系計算即可結(jié)果．解：∵△ABC≌△A′B′C，∴∠A′＝∠A＝40°，∠A′B′C＝∠B＝60°，CB＝CB′，∴∠A′CB′＝80°，∴∠BB′C＝∠B＝60°，∴∠BCB′＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A′CB＝∠A′CB′+∠BCB′＝140°．故答案為：140°．【總結(jié)升華】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．類型二、等腰三角形中的分類討論2．（2020·隆昌市知行中學(xué)八年級月考）已知在中，，其中一內(nèi)角為，則其底角的角度為___【答案】50°或65°【分析】根據(jù)題意，為等腰三角形，其中一內(nèi)角為，則分兩種情況考慮，頂角為或底角為即可得出最終結(jié)果．【詳解】如圖1所示，，，則其底角的角度為50°；

如圖2所示，，，，則其底角的角度為65°．

故答案為：50°或65°．【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．．舉一反三：【變式】（2020·興化市樂吾實驗學(xué)校八年級月考）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則其頂角的度數(shù)為_________．【答案】50°或130°【分析】分類討論當(dāng)三角形是等腰銳角三角形和等腰鈍角三角形兩種情況，畫出圖形并結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，即可求出頂角的大?。驹斀狻浚?）當(dāng)三角形是銳角三角形時，如下圖．根據(jù)題意可知，∵三角形內(nèi)角和是，∴在中，（2）當(dāng)三角形是銳角三角形時，如下圖．根據(jù)題意可知,同理，在中，∵是的外角，∴故答案為或【總結(jié)升華】本題考察了等腰三角形性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運用，分類討論該等腰三角形是等腰銳角三角形或等腰鈍角三角形是本題的關(guān)鍵．3．（2020·莆田礪志學(xué)校八年級月考）如果一個等腰三角形的周長為17，一邊長為5，那么腰長為_____．【答案】5或6【分析】此題分為兩種情況：5cm是等腰三角形的底邊或5cm是等腰三角形的腰．然后進一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進行分析能否構(gòu)成三角形．解：當(dāng)5是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（17-5）÷2=6，能夠組成三角形；

當(dāng)5是等腰三角形的腰時，則其底邊是17-5×2=7，能夠組成三角形．

所以，該等腰三角形的腰長為：5或6．故答案為：5或6．【總結(jié)升華】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】（2020·江蘇鹽城市·八年級期中）等腰三角形一邊長為8，另一邊長為3，則此三角形的周長為______．【答案】19解：可以分兩種情況：（1）腰為3，底為8，則三角形三邊為3，3，8，∵3+3<8，∴此種情況三角形不存在；（2）腰為8，底為3，則三角形三邊為8，8，3，∵3+8>8，∴此種情況三角形存在，且周長為8+8+3=19，故答案為19．【總結(jié)升華】本題考查等腰三角形的應(yīng)用，對于等腰三角形的邊，注意區(qū)分是腰還是底且根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷三角形是否存在是不可或缺的步驟．【變式】（2020·無錫市玉祁初級中學(xué)八年級月考）如圖，在中，，，是線段上的動點（不含端點、），若線段的長是正整數(shù)，則點的個數(shù)共有______個．【答案】3【分析】首先過A作AE⊥BC，當(dāng)D與E重合時，AD最短，首先利用等腰三角形的性質(zhì)可得BE=EC，進而可得BE的長，利用勾股定理計算出AE長，然后可得AD的取值范圍，進而可得答案．解：過A作AE⊥BC，

∵AB=AC，

∴EC=BE=BC=4，

∴AE==3，

∵D是線段BC上的動點（不含端點B、C）．

∴3≤AD＜5，

∴AD=3或4，

∵線段AD長為正整數(shù)，

∴AD的可以有三條，長為4，3，4，

∴點D的個數(shù)共有3個，

故答案為：3．【總結(jié)升華】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是正確利用勾股定理計算出AD的最小值，然后求出AD的取值范圍．類型三、等腰三角形性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用4、已知：如圖，△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于D，CF交AD于點F，連接BF并延長交AC于點E，∠BAD＝∠FCD．求證：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．【思路點撥】此題由等腰三角形的判定知AD＝DC，易證△ABD≌△CFD，要證BE⊥AC，只需證∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.證明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠FDB＝90°.∵，∴∴AD＝CD∵，∴△ABD≌△CFD(2)∵△ABD≌△CFD∴BD＝FD.∵∠FDB＝90°，∴.∵，∴.∴BE⊥AC．【總結(jié)升華】本題主要考查全等三角形判定定理及性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵在于熟練的綜合運用相關(guān)的性質(zhì)定理，通過求證△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．舉一反三：【變式】（2020·大冶市實驗中學(xué)八年級月考）如圖，已知點A、C分別在∠GBE的邊BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分線與AD交于點D，連接CD．（1）求證：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．（2）猜想∠BDC與∠BAC之間有何數(shù)量關(guān)系？并對你的猜想加以證明．【思路點撥】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠DBC，由角平分線的定義得到∠ABD=∠DBC，等量代換得到∠ABD=∠ADB，根據(jù)等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代換得到AC=A