高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練二十八 6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練二十八數(shù)列的概念與簡單表示法(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n,則a4的值為 ()A.4 B.6 C.8 D.10【解析】選C.a4=S4-S3=20-12=8.【變式備選】數(shù)列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一個通項(xiàng)公式an等于 ()A. B.cosC.cosπ D.cosπ【解析】選D.令n=1,2,3,…,逐一驗(yàn)證四個選項(xiàng).2.已知數(shù)列,,,,,…,則5是它的 ()A.第19項(xiàng) B.第20項(xiàng)C.第21項(xiàng) D.第22項(xiàng)【解析】選C.數(shù)列,,,,,…中的各項(xiàng)可變形為,,,,,…,所以通項(xiàng)公式為an==,令=5,得n=21.3.(2018·南昌模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),則的值是 ()A. B. C. D.【解析】選C.由已知得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2+(-1)3,a3=,所以a4=+(-1)4,a4=3,所以3a5=3+(-1)5,所以a5=,所以=×=.4.設(shè)曲線f(x)=xn+1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則x1·x2·x3·x4·…·x2019等于 ()A. B. C. D.【解析】選B.由f(x)=xn+1得f′(x)=(n+1)xn,切線方程為y-1=(n+1)(x-1),令y=0得xn=,故x1·x2·x3·x4·…·x2019=××…×=.5.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,對任意m,n∈N*,都有QUOTE=am·an.若a6=64,則a9等于 ()A.256 B.510 C.512 D.1024【解析】選C.在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中,對任意m,n∈N*,都有QUOTE=am·an.所以a6=a3·a3=64,a3=8.所以a9=a6·a3=64×8=512.6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1an=2n(n∈N*),則a10= ()A.64 B.32 C.16 D.8【解析】選B.因?yàn)閍n+1an=2n,所以an+2an+1=2n+1,兩式相除得=2.又a1a2=2,a1=1,所以a2=2,···=24,即a10=25=32.【一題多解】解答本題還可以用如下的方法解決:選B.由題意得數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以a10=2×24=32.7.在數(shù)列{an}中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(n∈N*)的個位數(shù),則a2018=()A.8 B.6 C.4 D.2【解析】選D.由題易得a3=4,a4=8,a5=2,a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,所以數(shù)列{an}中的項(xiàng)從第3項(xiàng)開始呈周期性出現(xiàn),周期為6,故a2018=QUOTE=a8=2.二、填空題(每小題5分,共15分)8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2-2n+1,則其通項(xiàng)公式為________.

【解析】當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,當(dāng)n=1時,a1=S1=3×12-2×1+1=2,不滿足上式.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=答案:an=【誤區(qū)警示】解答本題易出現(xiàn)以下兩種錯誤:一是沒有驗(yàn)證n=1的情況,二是運(yùn)算錯誤.9.現(xiàn)定義an=5n+,其中n∈,則an取最小值時,n的值為________.

【解析】令5n=t>0,考慮函數(shù)y=t+,易知其在(0,1]上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且當(dāng)t=1時,y的值最小,再考慮函數(shù)t=5x,當(dāng)0<x≤1時,t∈(1,5],則可知an=5n+在(0,1]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)n=時,an取得最小值.答案:10.(2018·冀州期中)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an=n(an+1-an)(n∈N*),則a3=________,an=________.

【解析】由an=n(an+1-an),可得=,則an=···…··a1=×××…××1=n(n≥2),所以a3=3.因?yàn)閍1=1滿足an=n,所以an=n.答案:3n【變式備選】(2018·唐山模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=,若a4=32,則a1=________.

【解析】因?yàn)镾n=,a4=32,所以-=32,所以a1=.答案:(20分鐘40分)1.(5分)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則S2017的值為 ()A.2017n-m B.n-2017mC.m D.n【解析】選C.根據(jù)題意計(jì)算可得a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,…,因此數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列,且a1+a2+…+a6=0,所以S2017==a1=m.2.(5分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,{Sn+nan}為常數(shù)列,則an=()A. B.C. D.【解析】選B.由題意知,Sn+nan=2,當(dāng)n≥2時,Sn-1+(n-1)an-1=2,所以(n+1)an=(n-1)an-1,從而···…·=··…·,則an=,當(dāng)n=1時上式成立,所以an=.【變式備選】已知數(shù)列滿足an=logn+1(n+2)(n∈N*),定義:使乘積a1·a2·a3…ak為正整數(shù)的k叫做“期盼數(shù)”,則在區(qū)間內(nèi)所有的“期盼數(shù)”的和為 ()A.2036 B.4076C.4072 D.2026【解析】選D.因?yàn)閍n=logn+1(n+2),所以a1·a2·a3…ak=··…=log2(k+2),又因?yàn)閍1·a2·a3…ak為正整數(shù),所以k+2必須是2的n次冪,即k=2n-2,又k∈[1,2011],所以1≤2n-2≤2011,所以解得2≤n≤10,則在區(qū)間[1,2011]內(nèi)所有的“期盼數(shù)”的和為:(22-2)+(23-2)+(24-2)+…+(210-2)=-2×9=2026.3.(5分)數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+an=2n+1,寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式________.

【解析】因?yàn)閍1+a2+a3+…+an=2n+1,所以a1+a2+a3+…+an+an+1=2(n+1)+1,兩式相減得an+1=2,即an=2n+1,n≥2,又a1=3,所以a1=6,因此an=答案:an=4.(12分)(2019·銀川模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-2-x,數(shù)列{an}滿足f(log2an)=-2n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)證明:數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=2x-,f(log2an)=-2n,所以an-=-2n,所以+2nan-1=0,解得an=-n±,因?yàn)閍n>0,所以an=-n,n∈N*.(2)==<1,因?yàn)閍n>0,所以an+1<an,所以數(shù)列{an}是遞減數(shù)列.5.(13分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)和Sn=an. (1)求a2,a3.(2)求{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3.由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=(a1+a2)=6.(2)由題設(shè)知a1=1.當(dāng)n≥2時,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.于是a1=1,a2=a1,a3=a2,…,an-1=an-2,an=an-1.將以上n個等式兩端分別相乘,整理得an=.顯然,當(dāng)n=1時也滿足上式.綜上可知,{an}的通項(xiàng)公式an=.【變式備選】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*.(1)求a1的值.(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1,因?yàn)門1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.(2)n≥2時,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1.因?yàn)楫?dāng)n=1時,a1=S1=1也滿足上式,所以Sn=2