高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練二十二 4.5 三角恒等變換 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練二十二三角恒等變換(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2018·成都模擬)計(jì)算:sin20°cos10°-cos160°·sin10°= ()A. B.- C.- D.【解析】選D.原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=.2.已知sin=,則sin2θ= ()A.- B.- C. D.【解析】選A.因?yàn)閟in=,所以(sinθ+cosθ)=,兩邊平方得(1+sin2θ)=,解得sin2θ=-.3.已知銳角θ滿足sin=,則cos的值為()A.- B.C. D.-【解析】選D.由sin=,得1-2sin2=1-=,即cos=,由θ為銳角且cos=>0,所以θ+為銳角,所以sin>0,cos=cos=-sin=-=-.4.已知sin=,那么cos2α+sin2α= ()A. B.- C.- D.【解析】選A.因?yàn)閏os2α+sin2α=2sin,故cos2α+sin2α=2sin=2cos=2-4sin2=.5.(2019·莆田模擬)已知sinα=,sin(β-α)=-,α,β均為銳角,則角β等于 ()A. B. C. D.【解析】選C.因?yàn)閟inα=,sin(β-α)=-,結(jié)合α,β均為銳角,可以求得cosα=,cos(β-α)=,所以sinβ=sin[α+(β-α)]=sinαcos(β-α)+cosαsin(β-α)=×+×==,所以β=.二、填空題(每小題5分,共15分)6.2sin2-1=________.

【解析】由題得2sin2-1=2×-1=-.答案:-7.設(shè)sin2α=-sinα,α∈,則tan(π-2α)=________.

【解析】因?yàn)閟in2α=-sinα,α∈,所以cosα=-,α=,因此tan(π-2α)=tan=tan=-.答案:-8.(2018·全國卷Ⅱ)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,則sin(α+β)=________.

【解析】由sinα+cosβ=1與cosα+sinβ=0分別平方相加得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1,即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,所以sin(α+β)=-.答案:-三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數(shù)f(x)=sincos-sin2. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)求f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值.【解析】(1)f(x)=sincos-sin2=sinx-·=sinx+cosx-=sin-.由2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.(2)因?yàn)?π≤x≤0,所以-≤x+≤,當(dāng)x+=-,x=-時(shí),f(x)min=-1-.10.(2018·南京模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α,β的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,始邊為x軸的正半軸,終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為P,Q.已知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為. (1)求cos2α的值.(2)求2α-β的值.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,P在單位圓上,α為銳角,所以cosα=,所以cos2α=2cos2α-1=.(2)因?yàn)辄c(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為,所以sinβ=.又因?yàn)棣聻殇J角,所以cosβ=.因?yàn)閏osα=,且α為銳角,所以sinα=,因此sin2α=2sinαcosα=,所以sin(2α-β)=×-×=.因?yàn)棣翞殇J角,所以0<2α<π.又cos2α>0,所以0<2α<,又β為銳角,所以-<2α-β<,所以2α-β=.(20分鐘40分)1.(5分)若sin(α+β)=,sin(α-β)=,則等于 ()A.5 B.-1 C.6 D.【解析】選A.因?yàn)閟in(α+β)=,所以sinαcosβ+cosαsinβ=.①因?yàn)閟in(α-β)=,所以sinαcosβ-cosαsinβ=.②①+②得sinαcosβ=.②-①得cosαsinβ=.==5.2.(5分)(2018·大連模擬)已知cos4α-sin4α=且α∈,則cos=________.

【解析】因?yàn)閏os4α-sin4α=(cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)=cos2α-sin2α=cos2α=,又因?yàn)棣痢?所以2α∈(0,π),故sin2α==,所以原式=cos2αcos-sin2αsin=×-×=-.答案:-3.(5分)已知sincos+cossin=,x∈,則tan2x=________.

【解析】sincos+cossin=sin=-cosx=,故cosx=-,因?yàn)閤∈,故sinx=-,故tanx=,故tan2x=-.答案:-4.(12分)已知α,β均為銳角,且sinα=,tan(α-β)=-. (1)求sin(α-β)的值.(2)求cosβ的值.【解析】(1)因?yàn)棣?β∈,從而-<α-β<.又因?yàn)閠an(α-β)=-<0,所以-<α-β<0.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,解得sin(α-β)=-.(2)由(1)可得,cos(α-β)=.因?yàn)棣翞殇J角,sinα=,所以cosα=.所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.5.(13分)(2019·寧波模擬)已知函數(shù)f(x)=4cosx·sin-1. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若滿足f(B)=0,a=2,且D是BC的中點(diǎn),P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),求CP+PD的最小值.【解析】(1)f(x)=4cosx-1=sin2x-cos2x-2=2sin-2,由-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,得kπ-<x<kπ+,k∈Z,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z.(2)由f