2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡集團(tuán)“覺園杯”七年級（下）創(chuàng)新選拔培數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2022-2023學(xué)年湖南省長沙市天心區(qū)長郡集團(tuán)“覺園杯”七年級（下）創(chuàng)新選拔培數(shù)學(xué)試卷一、填空題（每題8分，共120分）1．（8分）八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0～7共8個基本數(shù)字，八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，八進(jìn)制數(shù)3747換算成二進(jìn)制數(shù)是．2．（8分）設(shè)＝，其中a、b、c、d都是正整數(shù)，則a+b+c+d＝．3．（8分）已知x1，x2，…，xn中xi（i＝1，2，…，n）的數(shù)值只能取﹣2，0，1中的一個，且滿足x1+x2+…+xn＝﹣17，++…+＝43，則（++…+）2的值為．4．（8分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，扇形ABE半徑AE＝6，扇形CBF的半徑CB＝4，則陰影部分的面積為．5．（8分）[]+[]+…+[]+[]的值為．{其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)}6．（8分）已知非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．7．（8分）已知凸四邊形ABCD中，AC，BD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，EF交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．若△DAG，△ABG，△BCG的面積分別為2，5，4，則△CDH的面積為．8．（8分）方程：的解為．9．（8分）32023除以26的余數(shù)是．10．（8分）把2023表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示方法有種．11．（8分）圖中的三角形都是等邊三角形，甲三角形的邊長是24.7，乙三角形的邊長是26．則丙三角形的邊長是．12．（8分）如圖，AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝AE，AF⊥DE，則＝．13．（8分）已知正整數(shù)n，使得對任意正整數(shù)x、y，z，都有n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），則n的最大值為．（a|b表示a整除b）14．（8分）若270n是100×99×98×…×3×2×1的因數(shù)，則n最大可以?。?5．（8分）已知y＝x3+ax2+bx+c，當(dāng)x＝5時，y＝10；x＝6時，y＝12；x＝7時，y＝14．則當(dāng)x＝4時，y的值為．二、解答題（每題16分，共80分）16．（16分）解方程：．17．（16分）18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種多面體模型，解答下列問題（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體44長方體8612正八面體812正十二面體201230你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是．（2）如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，求正五邊形、正六邊形的個數(shù)．18．（16分）一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零的四位正整數(shù)，若其千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于8，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和也等于8，則稱這個四位正整數(shù)為“樂群數(shù)”．例如：1276．∵1+7＝8，2+6＝8，∴1+7＝2+6＝8，∴1276是“樂群數(shù)”．又如：3254，∵3+5＝8，2+4＝6≠8，∴3254不是“樂群數(shù)”．（1）請判斷：1473“樂群數(shù)”，6523“樂群數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）已知一個“樂群數(shù)”的千位比百位數(shù)字小3，把它的千位和百位數(shù)字分別與十位和個位數(shù)字對調(diào)，對調(diào)后得到的新數(shù)比原數(shù)大3762，求這個“樂群數(shù)”；（3）是否存在千位數(shù)字比百位數(shù)字小，且被7除余3的“樂群數(shù)”？若存在，請求出滿足條件的“樂群數(shù)”；若不存在，請說明理由．19．（16分）如圖，凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線BD和AD交于點(diǎn)F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分別為△CFD和△ABE的面積，求S△CFD：S△ABE的值．（16分）設(shè)a，b，c滿足a+b+c＝1，ab+bc+ca＝﹣5，abc＝1，求（a2﹣4ab+b2）（b2﹣4bc+c2）（c2﹣4ca+a2）的值．參考答案與試題解析一、填空題（每題8分，共120分）1．（8分）八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0～7共8個基本數(shù)字，八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，八進(jìn)制數(shù)3747換算成二進(jìn)制數(shù)是2023．【解答】解：∵（3747）8﹣（3745）8＝2，∴2021+2＝2023．故答案為：2023．2．（8分）設(shè)＝，其中a、b、c、d都是正整數(shù)，則a+b+c+d＝10．【解答】解：∵a，b，c，d均為正整數(shù)，∴，，都是真分?jǐn)?shù)，∴a+＝＝1+，∴a＝1，b+＝＝6+，∴b＝6，c+＝＝1+，∴c＝1，d＝2，∴a+b+c+d＝1+6+1+2＝10．故答案為：10．3．（8分）已知x1，x2，…，xn中xi（i＝1，2，…，n）的數(shù)值只能取﹣2，0，1中的一個，且滿足x1+x2+…+xn＝﹣17，++…+＝43，則（++…+）2的值為5929．【解答】解：∵當(dāng)xi＝1或0時，xi＝＝，∴xi＝﹣2的個數(shù)為：（43+17）÷（4+2）＝10，∴++…+＝﹣17+10×{﹣8﹣（﹣2）}＝﹣77，∴（++…+）2＝5929．故答案為：5929．4．（8分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，扇形ABE半徑AE＝6，扇形CBF的半徑CB＝4，則陰影部分的面積為13π﹣24．【解答】解：×6×6×π﹣（4×6﹣×4×4×π）＝9π﹣（24﹣4π）＝13π﹣24．答：陰影部分的面積為13π﹣24．故答案為：13π﹣24．5．（8分）[]+[]+…+[]+[]的值為588．{其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)}【解答】解：由題意可知：﹣1＜[]＜①，﹣1＜[]＜②，①+②，得﹣2＜[]+[]＜，則得27＜[]+[]＜29，∴[]+[]＝28，同理可得：[]+[]＝28，……，則原式＝28×21＝588，故答案為：588．6．（8分）已知非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．【解答】解：∵，∴a﹣1＝＝，∴b＝2a+1，c＝8﹣3a，∵a≥0，b≥0，c≥0，∴0≤a≤，∴S＝a+2b+3c＝a+2（2a+1）+3（8﹣3a）＝26﹣4a，∴≤S≤26，當(dāng)S＝時，a＝，b＝，c＝0，符合題意；當(dāng)S＝26時，a＝0，b＝1，c＝8，符合題意；∴m＝26，n＝，∴＝．故答案為：．7．（8分）已知凸四邊形ABCD中，AC，BD中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，EF交AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．若△DAG，△ABG，△BCG的面積分別為2，5，4，則△CDH的面積為5．【解答】解：連接DH，CH，∴S△DHF＝S△BHF，S△BFG＝S△DFG，∴S△HBG＝S△HDG，同理S△AHG＝S△CHG，∴S△CDH＝S△DHG+S△CHG＝S△BHG+S△AHD＝S△ABG＝5，故答案為：5．8．（8分）方程：的解為x＝2024．【解答】解：原方程轉(zhuǎn)化為，，即，∴x＝2024故答案為：x＝2024．9．（8分）32023除以26的余數(shù)是3．【解答】解：3÷26＝0……3，9÷26＝0……9，27÷26＝1……1，81÷26＝3……3，……∴3n除以26的余數(shù)按照3，9，1，3，9，1……的規(guī)律進(jìn)行變化，∵2023÷3＝674……1，∴32023除以26的余數(shù)是3．故答案為：3．10．（8分）把2023表示成兩個整數(shù)的平方差的形式，則不同的表示方法有12種．【解答】解：設(shè)2023＝a2﹣b2，∴（a+b）（a﹣b）＝2023，∵2023＝1×2023＝7×289＝17×119，∴a+b＝2023，a﹣b＝1或a+b＝289，a﹣b＝7或a+b＝119，a﹣b＝17，分別求出對應(yīng)的a、b共三組，每組a、b可以取負(fù)數(shù)，∴共有4×3＝12種表示方法．故答案為：12．11．（8分）圖中的三角形都是等邊三角形，甲三角形的邊長是24.7，乙三角形的邊長是26．則丙三角形的邊長是15.6．【解答】解：將邊長相同的三角形編號，設(shè)丙的邊長為x，∴a的邊長為：24.7﹣x，c的邊長為：26﹣x，∴b的邊長為：x﹣（24.7﹣x）＝2x﹣24.7，∴e的邊長為：26﹣x﹣（2x﹣24.7）＝50.7﹣3x，∴d的邊長為：2x﹣24.7﹣（50.7﹣3x）＝5x﹣75.4，∴f的邊長為：24.7﹣x+5x﹣75.4＝4x﹣50.7，∴g的邊長為：4x﹣50.7+5x﹣75.4＝9x﹣126.1，∴9x﹣126.1+4x﹣50.7＝26，解得：x＝15.6．故答案為：15.6．12．（8分）如圖，AB＝AC＝5，BC＝6，BD＝AE，AF⊥DE，則＝．【解答】解：過A作AG∥DE，AG＝DE，連接BG，DG，過A作AH⊥BC于H，過G作GP⊥AH于P，∴四邊形AEDG是平行四邊形，∴∠DAE＝∠ADG，AE＝DG，又∵AE＝BD，∴BD＝DG，∴∠ABG＝∠ADG＝∠BAC，∵AB＝AC，∴AH是∠BAC的平分線，∴∠ABG＝∠BAH，∴BG∥AH，又∵PG⊥AH，BH⊥AH，∴PG∥BH，∴四邊形PGBH為矩形，∴PG＝BH，∵DE⊥AF，AG∥DE，∴AF⊥AG，∴∠AGP+∠FAH＝90°，∵∠AGP+∠GAP＝90°，∴∠AGP＝∠FAH，∴△AGP∽△FAH，∴AF：AG＝AH：PG，∵PG＝BH，AG＝DE，∴＝，∵AB＝AC，∴AH為△ABC的中線，∴BH＝BC＝3，∴AH＝＝4，∴＝．故答案為：．13．（8分）已知正整數(shù)n，使得對任意正整數(shù)x、y，z，都有n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），則n的最大值為12．（a|b表示a整除b）【解答】解：當(dāng)x＝1，y＝2，z＝3時，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝120＝12×10，當(dāng)x＝2，y＝3，z＝4時，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝420＝12×35，當(dāng)x＝3，y＝5，z＝4時，（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）＝﹣1008＝12×（﹣84），∵n|（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2），∴n為（x2﹣y2）（y2﹣z2）（z2﹣x2）的最大公因數(shù)，綜上所述，n的最大值為12，故答案為：12．14．（8分）若270n是100×99×98×…×3×2×1的因數(shù)，則n最大可以取16．【解答】解：∵270＝2×33×5，∴270n＝2n×33n×5n，∵100÷2＝50，100÷4＝25，100÷8＝12……4，100÷16＝6……4，100÷32＝3……4，100÷64＝1……36，∴100×99×98×…×3×2×1有因數(shù)2的個數(shù)為：50+25+12+6+3+1＝97，∵100÷3＝33……1，100÷9＝11……1，100÷27＝3……19，100÷81＝1……19，∴100×99×98×…×3×2×1有因數(shù)3的個數(shù)為：33+11+3+1＝48，∵100÷5＝20，100÷25＝4，∴100×99×98×…×3×2×1有因數(shù)5的個數(shù)為：20+4＝24，∴，∴n≤16，∴n最大可以取16．故答案為：16．15．（8分）已知y＝x3+ax2+bx+c，當(dāng)x＝5時，y＝10；x＝6時，y＝12；x＝7時，y＝14．則當(dāng)x＝4時，y的值為2．【解答】解：根據(jù)x，y的取值，聯(lián)立方程：，解得：，∴原函數(shù)為：y＝x3﹣18x2+109x﹣210，當(dāng)x＝4時，y＝64﹣18×16+4×109﹣210＝2．故答案為：2．二、解答題（每題16分，共80分）16．（16分）解方程：．【解答】解：∵a2＝1﹣ab，b2＝3﹣ab，∴a2+ab＝1，b2+ab＝3，兩式作比：＝，∴b＝3a，∴a2+3a2＝1，∴a＝±，∴方程的解為：或．17．（16分）18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式，請你觀察下列幾種多面體模型，解答下列問題（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：多面體頂點(diǎn)數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體201230你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是V+F﹣E＝2．（2）如圖，有一種足球是由數(shù)塊黑白相間的牛皮縫制而成，黑皮為正五邊形，白皮為正六邊形，且邊長都相等，求正五邊形、正六邊形的個數(shù)．【解答】解：（1）由圖中可以數(shù)出，四面體的棱數(shù)為6，正八面體的頂點(diǎn)數(shù)為6，通過表格可以推出，V+F﹣E＝2，故答案為6，6，V+F﹣E＝2，（2）設(shè)黑皮有x個，白皮有y個，則這個足球的面數(shù)為：x+y，棱數(shù)為：，頂點(diǎn)數(shù)為：，由歐拉公式可得：+x+y﹣＝2，解得：x＝12，∵1個黑皮與5個白皮相鄰，1個白皮與3個黑皮相鄰，∴白皮個數(shù)為12×5÷3＝20（個），故正五邊形有12個，正六邊形有20個．18．（16分）一個各個數(shù)位上的數(shù)字均不為零的四位正整數(shù)，若其千位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于8，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和也等于8，則稱這個四位正整數(shù)為“樂群數(shù)”．例如：1276．∵1+7＝8，2+6＝8，∴1+7＝2+6＝8，∴1276是“樂群數(shù)”．又如：3254，∵3+5＝8，2+4＝6≠8，∴3254不是“樂群數(shù)”．（1）請判斷：1473不是“樂群數(shù)”，6523是“樂群數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）已知一個“樂群數(shù)”的千位比百位數(shù)字小3，把它的千位和百位數(shù)字分別與十位和個位數(shù)字對調(diào)，對調(diào)后得到的新數(shù)比原數(shù)大3762，求這個“樂群數(shù)”；（3）是否存在千位數(shù)字比百位數(shù)字小，且被7除余3的“樂群數(shù)”？若存在，請求出滿足條件的“樂群數(shù)”；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵1+7＝8，4+3＝7≠8，∴1473不是“樂群數(shù)”，∵6+2＝5+3＝8，∴6523是“樂群數(shù)”，故答案為：不是，是；（2）設(shè)這個“樂群數(shù)”的千位數(shù)字為x，則百位數(shù)字為x+3，十位數(shù)字位8﹣x，個位數(shù)字位8﹣（x+3）＝5﹣x，根據(jù)題意得：1000x+100（x+3）+10（8﹣x）+5﹣x+3762＝1000（8﹣x）+100（5﹣x）+10x+x+3，解得x＝2，∴這個“樂群數(shù)”為2563；（3）存在千位數(shù)字比百位數(shù)字小，且被7除余3的“樂群數(shù)”，理由如下：設(shè)這個“樂群數(shù)“為M，它的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，且a＜b，∴M的十位數(shù)字是8﹣a，個位數(shù)字是8﹣b，∴M＝1000a+100b+10（8﹣a）+8﹣b＝990a+99b+88，∵M(jìn)被7除余3，∴M﹣3能被7整除，∵M(jìn)﹣3＝990a+99b+85，∴＝＝＝14（10a+b）+12+，∴10a+b+1能被7整除，∵a＜b，∴當(dāng)a＝1，b＝3；a＝2，b＝7；a＝3，b＝4時，滿足題意，∴M為1375或2761或3454．19．（16分）如圖，凸五邊形ABCDE的對角線CE分別與對角線BD和AD交于點(diǎn)F和G，已知BF：FD＝5：4，AG：GD＝1：1，CF：FG：GE＝2：2：3，S△CFD和S△ABE分別為△CFD和△ABE的面積，求S△CFD：S△ABE的值．【解答】解：連接BG，設(shè)△CDF的面積為4，∵BF：DF＝5：4，∴S△BCF＝5，∵CF：FG：GE＝2：2：3，∴S△GDF