專題強化一：橢圓的幾何性質(zhì)與直線與橢圓位置關(guān)系題型歸納 -高二數(shù)學精講與精練高分突破（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁專題強化一：橢圓的幾何性質(zhì)與直線與橢圓位置關(guān)系題型歸納【題型歸納】題型一：橢圓的定義1．（2023·江蘇·高二專題）若點滿足方程，則動點M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點距離公式的幾何意義，結(jié)合橢圓的定義即可得解.【詳解】因為動點滿足關(guān)系式，所以該等式表示點到兩個定點，的距離的和為12，而，即動點M的軌跡是以，為焦點的橢圓，且，即，又，，所以動點M的軌跡方程為.故選：C.2．（2022秋·江蘇南京·高二?？奸_學考試）已知圓C的方程為，，A為圓C上任意一點，若點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，則點P的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓定義確定點軌跡是橢圓，然后求出，可得其方程．【詳解】因為點P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點，所以，所以，而，所以點軌跡是以為焦點，長軸長是4的橢圓．設(shè)其方程為，，，，則，所以點軌跡方程是．故選：C．3．（2021·高二單元測試）已知定圓，，定點，動圓滿足與外切且與內(nèi)切，則的最大值為A． B． C． D．【答案】A【分析】將動圓的軌跡方程表示出來：,利用橢圓的性質(zhì)將距離轉(zhuǎn)化,最后利用距離關(guān)系得到最值.【詳解】定圓，，動圓滿足與外切且與內(nèi)切設(shè)動圓半徑為，則表示橢圓，軌跡方程為：故答案選A【點睛】本題考查了軌跡方程，橢圓的性質(zhì)，利用橢圓性質(zhì)變換長度關(guān)系是解題的關(guān)鍵.題型二：橢圓的標準方程問題4．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）阿基米德（公元前287年公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，設(shè)出橢圓的標準方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案．【詳解】解：由題意，設(shè)橢圓的方程為，因為橢圓的離心率為，面積為，所以，解得，所以橢圓的方程為，故選：B.5．（2021秋·江蘇揚州·高二南師大二附中?？计谥校┌⒒椎率枪畔ＥD著名的數(shù)學家?物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知在平面直角坐標系中，橢圓的面積為，兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的標準方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由橢圓的面積為和兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到關(guān)于的方程組，從而可得答案.【詳解】橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，且橢圓的面積為，所以，又因為兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，所以得，解得，所以橢圓的標準方程是.故選：A6．（2022·江蘇·高二期末）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，短軸長為2，為坐標原點，點在上且（為橢圓的半焦距），直線與交于另一個點，若，則的標準方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知可得三角形是以點P為直角頂點的三角形，設(shè)出，根據(jù)橢圓的定義求出m，再根據(jù)三角形為等腰直角三角形即可求解.【詳解】由題意知，所以點，，在以為圓心，為直徑的圓上，連接，則.設(shè)，由于，所以，，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以，所以，則.又，所以為等腰直角三角形，可得.由題意知，又，所以，所以的標準方程為，故選：A.題型三：橢圓的幾何性質(zhì)問題7．（2022秋·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且與橢圓有相等的焦距，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的漸近線方程、橢圓的半焦距，再列式求出作答.【詳解】由橢圓得其半焦距為，依題意，，雙曲線的漸近線方程為，于是，即，由，解得，所以雙曲線C的方程為.故選：A8．（2022秋·江蘇揚州·高二揚州市第一中學?？计谥校┌⒒椎率枪畔ＥD著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.已知橢圓（）的右焦點為，過F作直線l交橢圓于A、B兩點，若弦中點坐標為，則橢圓的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用作差法構(gòu)建斜率、中點坐標相關(guān)方程，再結(jié)合即可求解出a、b，進而求出面積.【詳解】設(shè)，，則有，兩式作差得：，即，弦中點坐標為，則，又∵，∴，∴，又∵，∴可解得，，故橢圓的面積為.故選：C9．（2019秋·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州實驗中學?？计谥校┮阎獧E圓：的左右焦點為，，離心率為，過的直線與橢圓相交于、兩點，若周長為，則該橢圓的短軸長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用橢圓定義：周長為，可解得a,又橢圓的離心率為，可解得c，結(jié)合，即得解.【詳解】由橢圓定義：故周長為又橢圓的離心率為，故短軸長故選：B題型四：橢圓的離心率問題10．（2023秋·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知橢圓C：上有一點A，它關(guān)于原點的對稱點為B，點F為橢圓的右焦點，且，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左焦點為，則由已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得四邊形為矩形，得，然后在中，表示出，再利用橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點為，因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，所以，在中，，根據(jù)橢圓定義可知：，所以，所以，，所以，所以離心率為故選：B．11．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二統(tǒng)考期中）已知為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及通徑，可得，，再根據(jù)已知列式，結(jié)合橢圓的關(guān)系，求出離心率即可.【詳解】為橢圓C：的右焦點，P為C上的動點，由橢圓的性質(zhì)，可得.過F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.12．（2023春·江蘇鹽城·高二?？计谥校┲本€經(jīng)過橢圓的左焦點，交橢圓于，兩點，交軸于點，若，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直線與坐標軸的交點，得到，，則，由，得點坐標，點A又在橢圓上，由定義求得，可求橢圓的離心率.【詳解】對直線，令，解得，令，解得，故，，則，設(shè)，則，而，則，解得，則，點A又在橢圓上，左焦點，右焦點，由，則，橢圓的離心率.故選：C題型五：直線與橢圓的位置關(guān)系13．（2022秋·江蘇蘇州·高二統(tǒng)考期末）橢圓上的點P到直線x+2y-9=0的最短距離為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】與已知直線平行，與橢圓相切的直線有二條，一條距離最短，一條距離最長，利用相切，求出直線的常數(shù)項，再計算平行線間的距離即可.【詳解】設(shè)與已知直線平行，與橢圓相切的直線為，則所以所以橢圓上點P到直線的最短距離為故選：A14．（2020秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知直線y＝kx+1與焦點在x軸上的橢圓1（b＞0）總有公共點，則b的取值范圍是（

）A．[1，4） B．（1，+∞） C．[1，+∞） D．[1，2）【答案】A【解析】由題意直線恒過定點，要使直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則只需要點在橢圓上或橢圓內(nèi)，代入可求．【詳解】由題意直線恒過定點要使直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，則只需要點在橢圓上或橢圓內(nèi)，則且．故選：．【點睛】本題主要考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，常見的判斷方法是聯(lián)立直線方程與曲線方程，但此類方法一般計算量比較大，而本題的這種解決靈活的應(yīng)用了直線恒過定點的性質(zhì)，但解題時容易漏洞焦點在軸上的條件的考慮，誤認為只有．15．（2020秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）過點的直線與橢圓交于兩點，若則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立．由，可得，將其與韋達定理聯(lián)立，即可解出直線的斜率．【詳解】解：設(shè)直線的方程為：．聯(lián)立，化為：，，．，即，即．聯(lián)立，解得．，∴直線的向斜率．故選：C．題型六：直線的弦長問題16．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚中市第二高級中學?？计谀┮阎獧E圓，的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與交于，兩點，的周長是13，則．【答案】6【分析】由題意可知為等邊三角形，為線段的垂直平分線，利用定義轉(zhuǎn)化的周長為4a，即可求出a，b，c，設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達定理，根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】如圖，連接，因為的離心率為，所以，即，所以，因為，所以為等邊三角形，又，所以直線為線段的垂直平分線，所以，，則的周長為，，而，所以直線的方程為，代入橢圓的方程，得，設(shè)，，則，所以，故答案為：6.17．（2021秋·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期末）已知中心在坐標原點的橢圓E的右焦點與拋物線的焦點重合，橢圓E與拋物線C的準線交于A、B兩點.若，則橢圓E的短軸長為.【答案】【分析】先求解出拋物線的焦點，則橢圓的右焦點可知，再設(shè)出橢圓的方程并將方程中變形為的表示形式，根據(jù)求解出的值，則橢圓的短軸的大小可求.【詳解】因為拋物線的焦點為，所以橢圓的右焦點為，設(shè)橢圓方程，所以，所以橢圓方程為，又拋物線的準線方程為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是通過拋物線的焦點化簡橢圓的方程并結(jié)合弦的長度進行相關(guān)計算，從而完成短軸長度的求解.18．（2022秋·江蘇南京·高二?？计谀┰O(shè)橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．(1)求橢圓C的方程；(2)直線l：與橢圓C交于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與y軸交點，求（O為坐標原點）面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率和通徑求出，即可得出答案；（2）設(shè)，MN的中點為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得，，從而可求得線段MN的垂直平分線方程，再將點代入可得的關(guān)系，再結(jié)合可得的范圍，再結(jié)合弦長公式及三角形的面積公式化簡整理即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)，由離心率知，，所以，易知，過F且與x軸垂直的直線方程為，代入橢圓方程中，得，解得，由題意，得，得，由，，解得，所以橢圓C的方程為；（2）由，消去y得①，由，得②，設(shè)，MN的中點為，由韋達定理，得，，則，，∴線段MN的垂直平分線方程為：，將P點的坐標代入上式中，得，化簡得：，代入②式中，有，得，，設(shè)原點O到直線MN的距離為d，則，∴，當時，有最大值，此時，由知，，∴面積的最大值為．題型七：橢圓的中點弦問題19．（2022·江蘇·高二期末）已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】橢圓的中點弦問題，點差法構(gòu)造弦中點坐標與的關(guān)系，計算離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.20．（2022秋·江蘇宿遷·高二?？计谥校E圓與直線相交的弦被M點平分，則M點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理即可求出中點坐標.【詳解】聯(lián)立方程，得，，中點M的坐標為；故選：D.題型八：橢圓中的范圍最值問題21．（2021秋·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓：過點，長軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線與橢圓交于，兩點，當為線段中點時，求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）橢圓基本量計算.（2）點差法求斜率即可.【詳解】（1）因為橢圓的長軸長為，所以，得，又橢圓過點，所以，得.

所以橢圓的標準方程為:.（2）直線的斜率不存在時，過點，直線的方程為：此時線段中點為，不合題意.

所以直線的斜率必存在，設(shè)其為，，，因為為的中點，則，所以，將、坐標代入橢圓的標準方程為得，，兩式相減得：，整理得：，所以，，所以.所以直線的方程為，即.因為點在橢圓內(nèi)部，所以直線必與橢圓相交于兩點，此直線即為所求.22．（2022秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）若點，分別在橢圓和直線上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知，利用點到直線的距離公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，即可求解【詳解】由橢圓方程可設(shè)，則到直線的距離為，當時，，所以的最小值為，故選：A23．（2021春·江蘇南京·高二金陵中學?？计谀┰O(shè)橢圓，已知點，點為曲線上的點，若的最大值為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點，可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，對實數(shù)的取值進行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)點，則，可得，，因為的最大值為，則關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值為.因為，則二次函數(shù)的圖象開口向下.①當時，即當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，合乎題意；②當時，即當時，函數(shù)，解得（舍去）.綜上所述，.故選：A.24．（2020秋·江蘇揚州·高二校考期中）已知?分別是橢圓的左?右焦點，過的直線交橢圓于?兩點，，，且軸.若點是圓上的一個動點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，代入橢圓得，繼而得出，設(shè)，即可表示出，進而求出范圍.【詳解】由題意可知，將代入橢圓方程得，解得，所以橢圓方程為，所以橢圓的焦點為，由在圓上，設(shè)，所以，所以的取值范圍為.故選：A.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的長度關(guān)系，屬于中檔題.題型九：橢圓中的定點定值問題25．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學校考期末）已知橢圓的左頂點為.橢圓的離心率為并且與直線相切.(1)求橢圓的方程；(2)斜率存在且不為0的直線交橢圓于，兩點（異于點），且.則直線是否恒過定點，如果過定點求出該定點坐標，若不過定點請說明理由.【答案】(1)(2)直線恒過定點.【分析】（1）由離心率的值可得的關(guān)系，將直線與橢圓聯(lián)立，由判別式為可得的值，進而求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程與橢圓聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，由向量模的關(guān)系，可得，即，求出數(shù)量積的表達式，將兩根之和及兩根之積代入，可得直線恒過的定點.【詳解】（1）由題意可得，可得，所以橢圓的方程為：，即，聯(lián)立，整理可得：，由題意可得，解得，，所以橢圓的方程為：；

（2）因為，可得，即，由（1）可得，由題意設(shè)直線的方程為：，，，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，所以，整理可得：，解得或（舍），即時，不論為何值都符合，所以直線的方程為，則直線恒過定點.

26．（2023春·江蘇南京·高二南京航空航天大學附屬高級中學校考期中）設(shè)橢圓：，的左、右焦點分別為，.下頂點為，已知橢圓的短軸長為.且離心率.(1)求橢圓的的方程；(2)若直線與橢圓交于異于點的、兩點.且直線與的斜率之和等于2，證明：直線經(jīng)過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)短軸長得到，根據(jù)離心率得到，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)直線方程，聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)斜率之和為得到，代入直線方程得到定點.【詳解】（1）由題意可得，，又離心率，可得，故橢圓的方程為：；（2），當直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，聯(lián)立，整理可得：，，即，且，，則，整理可得：，即，整理可得：，整理可得：，解得或，因為直線不過點，所以，當時，則直線l的方程為，顯然直線恒等定點；當直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，，將直線l的方程代入橢圓的方程可得，可得，設(shè)，，則，可得，所以直線的方程為，顯然直線也過定點，綜上所述：可證得直線恒過定點；【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，利用韋達定理可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.27．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？计谥校┮阎獧E圓的右焦點為，離心率，點到左頂點的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)若是橢圓的上下兩頂點，是橢圓上異于關(guān)于軸對稱的兩點，直線與軸分別交于點.試判斷以為直徑的圓是否過定點，如經(jīng)過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)圓恒過定點.【分析】（1）由已知條件列方程組求出，可得橢圓的方程；（2）設(shè)，則，表示出直線的方程和直線的方程，令，得到和的中點的坐標，表示出圓的方程，取特殊的點代入方程，可得圓恒過的定點.【詳解】（1）由題意知，解得，，則橢圓的方程為.（2），，設(shè)，則，，，直線的方程為：，直線的方程為，令，則，設(shè)的中點為，則的坐標為，即：，，，則，半徑為：圓的方程為：①令，則，代入①得：②令，則，代入①得：，由①②得：，代入①得：，化簡得，即，上式恒成立，圓恒過定點.題型十：橢圓中的定值線和向量問題28．（2021秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓：的離心率為，長軸長為4．(1)求橢圓的方程；(2)為橢圓的左右頂點，為橢圓的上頂點，設(shè)M是橢圓上一點，且不與頂點重合，若直線與直線交于點，直線與直線交于點．求證：為等腰三角形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）首先證明，然后設(shè)直線方程為，然后解出，，然后證明點在的垂直平分線上即可.【詳解】（1）由題解得所以橢圓的方程為．（2）證明：由（1）知，，設(shè)，則，，設(shè)直線方程為（且），直線方程為，由解得點．由于，于是直線的方程為，直線的方程為．由，解得點．于是，所以軸．設(shè)中點為，則點的縱坐標為．故中點在定直線上．從上邊可以看出點在的垂直平分線上，所以，所以為等腰三角形．29．（2022秋·江蘇揚州·高二?？计谥校┰O(shè)橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，短軸長為.(1)求橢圓的標準方程；(2)斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于A，B兩點，已知點，求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)由離心率，短軸長得到關(guān)于，，的關(guān)系式，解出，，，得到橢圓的標準方程；(2)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，設(shè)，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，代入計算結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，，又，所以，所以橢圓的標準方程為：（2）因為直線的斜率為，且過右焦點，所以直線的方程為.聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中.設(shè)，，則，.因為，30．（2020秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C：(a＞b＞0)的短軸長為2，橢圓C上的動點到左焦點的距離的最大值為．過點P(0，2)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，且不與原點重合．（1）求橢圓C的方程；（2）若y軸上的一點Q滿足QA＝QB，求證：線段QM的中點在定直線上；（3）求的取值范圍．【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）由題可得和，由此即可求出方程；（2）設(shè)直線方程為y＝kx＋2，聯(lián)立直線與橢圓，由此求出的縱坐標，滿足即可判斷；（3）令，可得，由判別式可得，利用韋達定理得出，即可求出.【詳解】（1）由于橢圓C的短軸長為2，所以b＝1，因為橢圓C上的動點到左焦點的距離的最大值為，所以a＋c＝＋1，又因為b2＝a2－c2，所以a－c＝－1，所以a＝，c＝1．所以橢圓C的方程為；（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx＋2，代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，所以，所以直線QM的方程為．令x=0，得，則yQ＝－yM，即，所以QM的中點在定直線x軸上．（3）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，，由（2）中知，由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得，即k2>，又，所以，令，則，由k2>，得，即，解之得且λ≠1，即的取值范圍為．【專題強化】一、單選題31．（2023秋·陜西咸陽·高二?？计谥校┤绻匠瘫硎窘裹c在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)焦點在x軸上的橢圓滿足的條件列式求解即可.【詳解】由表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：B32．（2023秋·河北邢臺·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，P為C上異于A，B的一點，直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點，則的最小值為（

）A． B．7 C． D．6【答案】D【分析】計算直線PA和直線PB的斜率之積為常數(shù)，據(jù)此分別用同一參數(shù)表示直線方程，求出坐標，得到，利用均值不等式求最值.【詳解】設(shè)，則，由橢圓方程可知，故頂點，，則直線PA和直線PB的斜率之積，設(shè)直線PA的方程為，則與的交點，直線PB的方程為，則與的交點，所以，當且僅當時等號成立．故選：D33．（2023秋·重慶萬州·高二重慶市萬州第二高級中學校考期中）已知A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上不存在點P使，則橢圓離心率e的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，化簡得到方程，得到方程的另一個根為，結(jié)合題意，得到，列出不等式，即可求得離心率e的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，且，則以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，且，整理得，即，其中且，其中是方程的一個根，設(shè)另一個根為，則，若橢圓上不存在點P使，則，即，因為，解得，即橢圓離心率e的取值范圍為，故選：A.34．（2023秋·江蘇南京·高二南京市第九中學校考階段練習）已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為，離心率為.過且垂直于的直線與交于兩點，，則的周長是（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】由離心率為，得到a，b，c之間的關(guān)系，做出簡圖，分析可得直線的方程為：，且直線垂直平分，所以的周長等于的周長，等于，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式求出c，a的值.【詳解】因為橢圓的離心率為，所以，，

如圖，，所以為正三角形，又因為直線過且垂直于，所以，直線的方程為，設(shè)點坐標，點坐標，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，顯然,則，，所以，解得，,由圖，直線垂直平分，所以的周長等于的周長，.故選：D.35．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？茧A段練習）斜率為的直線與橢圓：交于，兩點，線段的中點為，則的范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】由點在橢圓內(nèi)有求m范圍，設(shè)直線方程聯(lián)立橢圓整理為一元二次方程形式，則必有，，結(jié)合韋達定理有，即可求的范圍.【詳解】由題設(shè)，在橢圓內(nèi)，則，設(shè)直線代入橢圓，

整理得且，則，由圖知：直線斜率不可能為0，所以，故或.故選：C36．（2023秋·江蘇無錫·高二無錫市第一中學?？茧A段練習）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因為，所以，當且僅當時，取到最大值.故選：D.37．（2023·江蘇·高二專題練習）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，若是該橢圓上的一個動點，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】設(shè)點，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點，則，且，則，所以，，，所以，，所以當時，取最小值，故選：D二、多選題38．（2023秋·重慶南岸·高二重慶市第十一中學校?？计谥校┰O(shè)橢圓的左右焦點為，P是C上的動點，則（

）A． B．離心率C．短軸長為2，長軸長為4 D．不可能是鈍角【答案】AD【分析】利用橢圓的定義及性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】橢圓，，，A正確；離心率，B錯誤；短軸長為，長軸長為，C錯誤；當點P在橢圓短軸端點處時，最大，此時，得，故不可能是鈍角，D正確.故選：AD.39．（2023秋·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谥校E圓的左、右焦點分別為，，過的直線l與C交于P，Q兩點，且點Q在第四象限，若，則（

）A．為等腰直角三角形 B．C的離心率等于C．的面積等于 D．直線l的斜率為【答案】ABC【分析】由線段比例關(guān)系以及橢圓定義可知，且滿足，即可得A正確；易知可得C正確；在等腰直角三角形中，可知直線的斜率為，計算可得的離心率等于.【詳解】對于選項A：因為，不妨設(shè)，又因為，可得；利用橢圓定義可知，所以；即，所以點即為橢圓的上頂點或下頂點，如下圖所示：

由，可知滿足，所以，故A正確；對于選項B：在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，故B正確；對于選項C：因為為等腰直角三角形，且，因此的面積為，故C正確；此時可得直線的斜率，故D錯誤；故選：ABC.40．（2023秋·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知曲線表示橢圓，下列說法正確的是（

）A．m的取值范圍為 B．若該橢圓的焦點在y軸上，則C．若，則該橢圓的焦距為4 D．若橢圓的離心率為，則【答案】BC【分析】由方程表示橢圓可得判斷A，再根據(jù)其它各項描述及橢圓的性質(zhì)判斷正誤即可.【詳解】由題意，A錯；橢圓的焦點在y軸上，則，即，B對；若，則，故，該橢圓的焦距為4，C對；若橢圓的離心率為，則或，可得或，D錯.故選：BC41．（2023秋·吉林四平·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，點是橢圓C上異于左、右頂點的一點，則下列說法正確的是（

）A．的周長為 B．的面積的最大值為2C．若，則的最小值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】選項A，由定義可得；選項B，，數(shù)形結(jié)合當點到的距離最大，即高最大時面積最大；選項C，設(shè)點表達，利用橢圓方程消元求函數(shù)最值即可；選項D，利用的斜率意義，轉(zhuǎn)化為直線與橢圓有公共點求斜率范圍，從而求得最小值.【詳解】選項A，由橢圓方程可知，，所以的周長，故A正確；選項B，因為點是橢圓C上異于左、右頂點的一點，所以，所以的面積，當，即時，即點位于短軸端點時，的面積最大，最大為2，故B正確；選項C，由，點，且，因為，當時，取最小值，且最小值為，故C錯誤；選項D，的幾何意義為與點兩點連線的斜率，設(shè)為，由得，，解得，如圖，當直線與橢圓C相切時，，所以的最小值為.故D正確.故選：ABD.

三、填空題42．（2023秋·重慶九龍坡·高二重慶實驗外國語學校?？计谥校┮阎獧E圓的左、右焦點分別為，，點M在橢圓C上，且，（為原點），則.【答案】【分析】由題意可知，求得，和的值，設(shè)，，根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得，則點M為橢圓的上頂點或下頂點，可求的值.【詳解】由橢圓方程可知，，，，則，，，設(shè)，，有，中，由余弦定理，有，即，得，有，由，解得：，則點M為橢圓的上頂點或下頂點，有.故答案為：43．（2023秋·重慶北碚·高二西南大學附中?？计谥校┮阎裹c在y軸上的橢圓的離心率，A是橢圓的右頂點，P是橢圓上任意一點，則的最大值是.【答案】【分析】根據(jù)離心率求得橢圓的方程為，設(shè)，則，由，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由焦點在y軸上的橢圓的離心率，可得，解得，所以橢圓的方程為，則，設(shè)，則，因為，當時，可得取得最大值，最大值為，所以的最大值為.故答案為：.44．（2023秋·吉林長春·高二長春市第二中學?？茧A段練習）已知，為橢圓的兩個焦點，、為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，以及直角三角形的特征可判斷四邊形為矩形，然后求解即可；【詳解】因為，為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，

所以,所以四邊形為矩形，設(shè)，，則，，所以，解得：，即四邊形面積為4．故答案為：4.45．（2023秋·河南許昌·高二許昌市建安區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）已知橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上一點，是以為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是．【答案】【分析】利用余弦定理將角度的范圍轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓離心率的不等式即可.【詳解】因為是以為底邊的等腰三角形，所以，所以，，，在中，由余弦定理得：，故，即，即，不等式，即，解得(舍去)或不等式，即所以.故答案為：四、解答題46．（2023秋·江西贛州·高二校考階段練習）已知橢圓的兩焦點為，，為橢圓上一點，且.(1)求此橢圓的方程；(2)若點在第二象限，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，根據(jù)橢圓定義得到，然后求即可得到橢圓方程；（2）設(shè)點的坐標為，根據(jù)數(shù)量積的公式列方程，然后解方程得到，最后利用三