數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件 第7章7.3

7.3積分

實(shí)際問題中，許多問題可以歸結(jié)為定積分的求解.一元函數(shù)定積分的數(shù)學(xué)表示為：

其中f(x)稱為被積函數(shù)，a和b分別稱為積分下限和積分上限.

根據(jù)微積分基本定理（Newton-Leibniz公式）：若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

，則有

這個(gè)公式表明導(dǎo)數(shù)與積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，它也提供了求積分的解析方法：為了求f(x)的定積分，需要找到一個(gè)函數(shù)F(x)，使F(x)的導(dǎo)數(shù)正好是f(x)，我們稱F(x)是f(x)的原函數(shù)或不定積分.

不定積分的求法有學(xué)多數(shù)學(xué)技巧，常用的有換元積分和分部積分法.在MATLAB中，利用int函數(shù)求解析解，調(diào)用格式如下：R=int(s,v)

%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中指定的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分.表達(dá)式R只是表達(dá)式函數(shù)s的一個(gè)原函數(shù),后面沒有帶任意常數(shù)C；

R=int(s)

%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中確定的符號(hào)變量計(jì)算計(jì)算不定積分；

R=int(s,a,b)

%符號(hào)表達(dá)式s的定積分，a,b分別為積分的下、上限；

R=int(s,x,a,b)%符號(hào)表達(dá)式s關(guān)于變量x的定積分，a,b分別為積分的下、上限.

利用int函數(shù)求解不定積分時(shí)，不會(huì)自動(dòng)添加任意常數(shù)C，需要手動(dòng)添加.例7.10計(jì)算不定積分.解>>clear;symsx;>>int(x^2*sin(x))ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)可知

，其中C為任意常數(shù).如果用微分命令diff驗(yàn)證積分正確性，MATLAB代碼為：>>clear;symsx;>>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))ans=x^2*sin(x)例7.11計(jì)算定積分.解>>symsx>>y=exp(x);>>int(y,0,1)ans=exp(1)-1可知.例7.12現(xiàn)通過測(cè)試者記住西班牙語單詞數(shù)目，來進(jìn)行一場(chǎng)記憶實(shí)驗(yàn).M(t)表示在t分鐘內(nèi)記住的西班牙語單詞數(shù)目.在這場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)者的記憶速率為

.如果已知M(0)=0，求M(t)及測(cè)試者在8分鐘內(nèi)記住多少單詞？解由

可知利用MATLAB求解不定積分：>>symst>>y=0.2*t-0.003*t^3;>>M=int(y)M=-(t^2*(3*t^2-400))/4000可知

=

，其中C是任意常數(shù).>>t0=0;>>M0=0;>>C=M0-subs(M,t,t0)C=0>>M8=subs(M