2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第九章概率與統(tǒng)計(jì)專題突破17數(shù)字特征的性質(zhì)

專題突破17數(shù)字特征的性質(zhì)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一基本性質(zhì)例1（1）【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為a1,b1,c1,d1.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,?,yn，其中yiA.a2=2a1+2024 B.解：由yi=2x根據(jù)中位數(shù)的定義，得b2根據(jù)數(shù)據(jù)方差的性質(zhì)，得c22=2根據(jù)數(shù)據(jù)極差的定義，得d2=2xmax+2024?2x（2）已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的方差為s2=15∑5i=A.4 B.5 C.6 D.7解：由s2=15∑5i=1x故數(shù)據(jù)2x1?1,2x2?1,2x【點(diǎn)撥】①一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn變?yōu)閗x1+b，kx2+b變式1（1）[2021年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，?，yn，其中A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同解：對于A,Ey=Ex+c=E對于B，若第一組中位數(shù)為xi，則第二組中位數(shù)為yi=xi對于C，Dy=Dx+對于D，由極差的定義知，若第一組的極差為xmax?xmin，則第二組的極差為ymax故選CD.（2）若一組數(shù)據(jù)a1,a2,?,a10的平均數(shù)為3，方差為11，則解：由題意，知a1則a1即a12+a考點(diǎn)二變動(dòng)樣本的數(shù)字特征例2（1）已知某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2，則（BA.x=5,s2>3 B.x=5,s2<3解：x=5,s2（2）[2020年全國Ⅲ卷]在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1,p2,p3,p4，且A.p1=p4=0.1,C.p1=p4=0.2,解：由所有選項(xiàng)，知p1=p4，p2=p3，且p1+p2=0.5，則這組數(shù)據(jù)的均值為p1+2p另解：也可直接求出標(biāo)準(zhǔn)差再比較大小.故選B.【點(diǎn)撥】①樣本數(shù)據(jù)（不全相等）中增加一個(gè)平均值后，極差不變，標(biāo)準(zhǔn)差變小，中位數(shù)不確定.②刪掉樣本數(shù)據(jù)（不全相等）中的最小值和最大值后，中位數(shù)不變，平均數(shù)不確定，極差、標(biāo)準(zhǔn)差變小或不變.變式2（1）某校2023年秋季入學(xué)考試中，某班數(shù)學(xué)平均分為125分，方差為s12.分析成績時(shí)發(fā)現(xiàn)有三名同學(xué)的成績錄入有誤，A同學(xué)的實(shí)際成績?yōu)?37分，被錯(cuò)錄為118分；B同學(xué)的實(shí)際成績?yōu)?15分，被錯(cuò)錄為103分；C同學(xué)的實(shí)際成績?yōu)?8分，被錯(cuò)錄為129分.更正后重新統(tǒng)計(jì)，得到方差為s22，則s1A.s12=s22 B.解：設(shè)班級人數(shù)為nn>0.因?yàn)?18且118?1252+故選C.（2）[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，A.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，xB.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，xC.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，xD.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x解：取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，則x2,x3,x4,x5根據(jù)中位數(shù)的定義，將x1,x2,?,x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，易知x2,x3,x4,x5的中位數(shù)與x1,x2,?根據(jù)極差的定義，知x2,x3,x4,x5的極差不大于x1,x2,?,x6的極差，考點(diǎn)三推斷問題例3【多選題】某環(huán)保局對轄區(qū)內(nèi)甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo)，若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：μg/m3A.甲地區(qū)：平均數(shù)為80，方差為40 B.乙地區(qū)：平均數(shù)為50，眾數(shù)為40C.丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為60 D.丁地區(qū)：極差為10，80%解：設(shè)每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為xii=1對于A，由110∑10i=1xi?802=40，得∑10i對于B，若有8天的空氣質(zhì)量指數(shù)為40，有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為150，有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為30，則平均數(shù)為50，眾數(shù)為40，但該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，所以B錯(cuò)誤.對于C，若第1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為110，后面9天的空氣質(zhì)量指數(shù)為50，則中位數(shù)為50，極差為60，但該地區(qū)環(huán)境治理不達(dá)標(biāo)，所以C錯(cuò)誤.對于D，若最大值超過100，根據(jù)極差為10，則最小值超過90，這與80%分位數(shù)為90矛盾，故最大值不超過100，D正確.故選AD【點(diǎn)撥】統(tǒng)計(jì)推斷關(guān)鍵在于利用基本統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行邏輯推理,常用技巧有特值法、極限法等,重在考查數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).變式3四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（A）A.平均數(shù)為2，方差為2.4 B.中位數(shù)為3，方差為1.6C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2解：對于A，若5次結(jié)果中有6，則方差s2>152?62=3.2>2.4，矛盾.所以當(dāng)平均數(shù)為對于B，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為