2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題69直線方程及其應(yīng)用（解析版）

2021屆跳出題海之高中數(shù)學(xué)必做100題

第69題直線方程及其應(yīng)用

題源探究?黃金母題

三角形的三個頂點是A(4,0),B(6,7),C(0,3).

(1)求邊上的高所在直線的方程；

(2)求BC1邊上的中線所在直線的方程；

(3)求BC1邊的垂直平分線的方程.

【答案】(1)3x+2y—12=0；(2)5x+y—2O=O；【試題來源】人教版A版必修二PIOIT1.

(3)3x+2y—19=0【母題評析】本題是以三角形為載體，利

用點斜式與兩點式求直線的方程，能達(dá)到

7-32

【解析】(1)8c邊所在直線的斜率攵=用=彳.考查學(xué)生基礎(chǔ)知識與數(shù)學(xué)能力的目的.

6-03

【思路方法】求直線方程必須認(rèn)真審查已

因為邊的高與8c垂直，

知條件，如果能確定出直線的斜率與一點

3

所以邊上的高所在直線的斜率為-時，則選用點斜式；如果能確定直線的斜

2

率及在》軸上的截距，則選用斜截式；如

又BC邊上的高所在直線過點44,0),

果能確認(rèn)直線過已知兩點，則選用兩點式;

3如果能確認(rèn)在兩軸上的截距，則選用截距

所以邊上的高所在直線的方程為y=--(x-l),

式.

即3x+2y—12=0.

(2)由已知，得8C邊上的中點E(3,5).

又A(4,0),所以匕°=忙3,即5x+y-20=0.

5-03-4

7-32

(3)由已知，得直線BC的斜率％=

BC邊上的中點E（3,5）,

3

所以BC邊的垂直平分線的方程丁-5=-55-3）,

即3x+2y—19=0.

考場精彩?真題回放

【2020年高考全國I卷理數(shù)】已知。M：x2+y2-2x-2y-2^0,直線/：2x+y+2=0,p為/上的

動點，過點P作。M的切線PAP8,切點為A,B,當(dāng)|PM川最小時，直線A8的方程為

A.2x—y—l=0B.2x+y-l=0

C.2x-_y+l=0D.2x+y+l=0

【命題意圖】本題主要考查直線與圓，圓

【答案】D

與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的幾何性

【解析】圓的方程可化為（x—l）2+（y-l）2=4,點M到質(zhì)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)

學(xué)運算能力。

|2xl+l+2|

直線/的距離為d=l/I=Jr5>2,所以直線/與圓

A/22+12【考試方向】這類試題在考查題型上，既

可以單獨命題在選擇題與填空題中考查，

相離.

也可滲透于直線與圓、直線與圓錐曲線等

依圓的知識可知，四點A,P,B,M四點共圓，且AB,MP,綜合題中，涉及到知識難度中等或中等偏

下.

所以四=4SPAM=4x|x|PA|x|AM|=4|PA|,

【學(xué)科素養(yǎng)】數(shù)學(xué)運算、直觀想象

而附=J|M葉-4,

【難點中心】求直線的方程，主要兩類難

當(dāng)直線MP，/時，,=6,|Q4|.=1,此時點：（1）求直線方程選擇什么形式的方程;

IImin??mm

（2）直線方程存在多解時，可能會由于考

\PM\-\AB\^.慮不周，漏解.

1、11y=-x-\—

；?MP:y_]=z即y=_九+—,由十-22

22212x+y+2=0

x=-l

解得，八.

[y=o

所以以MP為直徑的圓的方程為

(x-l)(x+l)+y(y-l)=O,即/+>2_y_]=o,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線A3的方程.

三.理論基礎(chǔ)?解題原理

考點一直線的傾斜角和斜率

1.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)直線/與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上

方向之間所成的角a叫作直線/的傾斜角.當(dāng)直線/和x軸平行或重合時，直線/的傾斜角為0°.

一條直線的傾斜角a(a#90°)的正切值叫作這條直線的斜率，該直線的斜率Z=tan當(dāng)直線的傾

斜角a=90°時，直線的斜率不存在.

2.范圍：傾斜角a的取值范圍是0°4a<180°.

3.過兩點的直線的斜率公式：過兩點柩為X),￡(孫必)(玉彳泡)的直線的斜率公式為

左=上乂；若x=w，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90。.

9一百

著點二直線方程

1.直線的點斜式方程：過點P(x。,%)，且斜率為左的直線/的方程為y-%=%(x—xo).適用范圍：

適用于與X軸不垂直的直線.

2.斜截式：斜率為攵，在y軸的截距為匕的直線方程為卜=履+人.適用范圍：適用于與x軸不垂直

的直線.

3.兩點式方程：經(jīng)過兩點6a,y）、P,（x2,y2）（%w/，且xH%）兩點的直線/的方程為

上二2L=—L.適用范圍：適用于與坐標(biāo)軸都不垂直的直線.

%-y々一玉

XX

4.截距式方程：橫、縱截距分別為的直線方程為土+:=1,適用范圍：適用于與坐標(biāo)軸都不垂

ab

直和不過原點的的直線.

5.直線的一般式方程：Ax+By+C^G（48不同時為0）.

考點三兩直線位置關(guān)系

兩條直線相交:兩條直線的交點由直線《的方程Ax++G=0與直線/2的方程&X+與〉+。2=0

構(gòu)成方程組+?=°.若方程組有惟一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)；若方程組

AyX+B2y+C2=0

無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.

兩條直線平行：設(shè)兩條不重合的直線4的斜率分別為占、內(nèi)，則4特別地，當(dāng)

直線4、的斜率都不存在時，4與4的關(guān)系為平行.

兩條直線垂直：設(shè)兩條不重合的直線（，/2的斜率分別為勺、K，則40勺/2=一1?特別地當(dāng)

直線4、4中一條的斜率為0,另一條斜率不存在時，4與4的關(guān)系為垂直.

平行線間距離：兩平行直線距離公式：平行直線4：AX+S，+G=O與直線4：

Ax+旦），+。2=0（。產(chǎn)。，）間的距離：d=6一倒一.

VA2+B2

四.題型攻略?深度挖掘

【考試方向】這類試題在考查題型上，通?；疽赃x擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較易，有時以滲

透的形式出現(xiàn)在直線與圓的位置關(guān)系、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合題中.

考向1求直線的傾斜角

直線工§由=+丁+2=。的傾斜角的取值范圍是（）［溫馨提醒］求自線的

傾斜角在高考中多以根

rc\rc兀i「3兀、

A.[0,K)B.f0,—][——,71)?[吟據(jù)條件首先確定直線的

44c

斜率的值或取值范圍，

D.畤仔兀)

然后再根據(jù)正切函數(shù)

y=tana的知識求解.

【答案】B

【解析】（1）設(shè)直線的傾斜角為。，0<0<71,根據(jù)直線的斜率的計算方法，可

得A8的斜率為左=-sina,易得一也<上?立.由傾斜角與斜率的關(guān)系，易

22

JI3

得-iWtanOWl.由正切函數(shù)的圖象，可得。的范圍是[0,7]■鞏》），故選

44

考向2直線的斜率

已知直線/：》—陽+6加=（）上存在點知滿足4（-1,0）,8（1,0）,連線的斜率【溫馨提醒】求直線的

斜率主要有兩種方法：

6M與工皿之積為3,則實數(shù)6的取值范圍是（）

（1）首先求得直線的傾

A.[->/6,>/6]B.y,一骼）（器,+oo）C.（-00,一骼][中,+8）斜角，然后利用斜率公

式々=tan?求解；色）

D.以上都不對利用兩點斜率公式

【答案】Ck=—_—（x,H/）

%一X

計算.

【解析】設(shè)M（x,y）,由左”AWM8=2,得—■?一即>2=3%2-3,聯(lián)

X+1x-1

立匕叫:鬲=0,得&_3優(yōu)+述x+6=0.要使直線/上存在點M

/=3%-3rnm

滿足與兩點A（-1,0）,5（1,0）連線的斜率攵也與⑥8之積為3,則

△=（氈）2—24（」一3）20,即用22,，所以實數(shù)機的取值范圍是

mm~6

,+℃),故選C.

考向3直線斜率處理三點共線問題

已知點4(3,5)、3(4,7)、C(—l,x)三點共線，則實數(shù)x的值是()【溫馨提醒】利用直線

的斜率處理三點共線問

A.-1B.1C.-3D.3

題主要有兩類題型：(1)

【答案】C

判斷已知三點是否共

【解析】根據(jù)三點共線，可以確定原8=須「即=I=解得x=-3,線；(2)已知三點求參

4—3—1—3

數(shù).解答這兩類題型都

故選C.

是利用兩點的斜率公式

計算斜率，根據(jù)斜率相

等判斷或建立方程來解

決.

考向4利用直線的斜率處理直線與線段相交問題

直線以—y+l=O與連結(jié)A(2,3),8(3,2)的線段相交，則。的取值范圍是【技能方法】

此類題型的解答分三步

【答案】1,1

完成：(1)首先確定直

線所過的一個定點；(2)

【解析】直線ax—y+1=0的斜率為a,過定點P(0,1),A,B兩點在直線x=0的

計算定點與已知兩個點

3-12-111

同一側(cè)，k=--^\,=所以；所在直線的斜率；(3)

叢PA2-03-033

根據(jù)題意寫出其斜率的

取值范圍，進(jìn)而確定參

數(shù)的取值范圍.

考向5直線的傾斜角、斜率在圓與圓錐曲線中的滲透

一條光線從點(-2,-3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x+3『+(y—2『=1相切，則反【技能方法】

射光線所在直線的斜率為()

此類題型主要表現(xiàn)為直

線與圓的位置關(guān)系、直

A.—或—B.---或---C.---或---D.---或---線與圓錐曲線的位置關(guān)

35234534

系，解答時通常要設(shè)出

【答案】D

直線的方程，多體現(xiàn)為

【解析】點A(-2,-3)關(guān)于y軸的對稱點為4(2,-3),故可設(shè)反射光線所在直線以斜率l為參數(shù)，將直

的方程為：y+3=々(x—2),化為點—y—2女—3=0,\?反射光線與圓線與圓的方程或圓錐曲

(x+3)2+(＞一2)2=1相切，.?.圓心(-3,2)到直線的距離線的方程聯(lián)立消去一個

未知數(shù)，得到一個二次

=|一312-2"3[=],化為24/+50后+24=0,二2=或-上，故選

^/F7i34方程，此時通常在聯(lián)系

D.韋達(dá)定理建立關(guān)于斜率

k的等式或不等式來解

決.

考向6直線傾斜角、斜率與三角函數(shù)的交匯

已知傾斜角為a的直線/與直線K+2)，-3=0垂直，則cos(殳詈+2a)的值為【技能方法】內(nèi)線的傾

斜角、斜率與三角函數(shù)

的交匯主要體現(xiàn)在直線

的傾斜角與三角函數(shù)的

4

【答案】y“角”間關(guān)系來建立的

關(guān)系，因此解答時通常

【解析】由題意得tans-1=tana=2要根據(jù)斜率確定出傾斜

角的大小或某種三角函

,2015萬八、.八2sinacosa

cos(---------+2a)=sin2a=——彳----------------數(shù)值，然后再結(jié)合三角

2sina+cosa

函數(shù)的知識求解.

2tana_4

1+tan2a5

考向7直線傾斜角、斜率與導(dǎo)數(shù)幾何意義的交匯

設(shè)點P是曲線y=1-JIx+g上的任意一點，P點處切線傾斜角a的取值范圍【技能方法】因為導(dǎo)數(shù)

的幾何意義研究的是曲

()

線的斜率，同時也與直

A.[04）U也㈤BC.[0，）U[空㈤線的斜率發(fā)生了聯(lián)系，

26323

解答時主要是要利用到

715乃

D，（2,~6直線的傾斜角與斜率間

【答案】C的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，特別

2也要注意切線斜率不存

【解析】由y=d一岳+—,得V=3f—62飛，則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

3,在時的情況.

義知切線斜率Z2-6,切線傾斜角a的取值范圍是0,1p

考向8求直線的方程

設(shè)入射光線沿直線y=2x+l射向直線丁=%，則被y=x反射后，反射光線所在【技能方法】求直線方

的直線方程是（）

程的一般方法：（1）直

A.x+2y+3=0B.x-2y+l=0C.3x—2y+l=0接法：直接選用直線方

D.x-2y-l=0程的其中一種形式，寫

出適當(dāng)?shù)闹本€方程；（2）

【答案】D

待定系數(shù)法：先由直線

【解析】反射光線和入射光線關(guān)于直線y=x對稱，所以設(shè)入射光線上的任意兩

滿足的一個條件設(shè)出直

點（（）4）、（1,3）,其關(guān)于直線y=x對稱的兩個點的坐標(biāo)分別為（1,（））、（3,1）,且這

線方程，方程中含有一

兩個點在反射光線上，由直線的兩點式可求出反射光線所在的直線方程為

個待定系數(shù)，再由題目

"V—1x—3

即x—2y—1=0,故選D.中給出的另一條件求出

0-11-3

待定系數(shù)，最后將求得

的系數(shù)代入所設(shè)方程，

即得所求直線方程.簡

而言之：設(shè)方程、求系

數(shù)、代入.

考向9直線中的最值問題

若直線/：土+?=1（。＞0,。＞0）經(jīng)過點（1,2）則直線/在x軸和y軸的截距之和【技能方法】求解直線

ab

的最小值是.

方程中的最值問題主要

【答案】3+20有三種方法：（1）函數(shù)

法，即利用條件選擇一

【解析】?.?直線/：匹+2=1（?！?,6〉0）經(jīng)過點（1,2）,二上+4=1,...

個變量，建立目標(biāo)函數(shù),

ahah

a+b=（a+b）（-+^]=3+-+—>3+2y/2,當(dāng)且僅當(dāng)h=時上式等號再求目標(biāo)函數(shù)的最值即

\abJab可；（2）兒何法，即將

成立....直線在x軸，y軸上的截距之和的最小值為3+2夜.條件和結(jié)論中涉及到的

直線作在同一坐標(biāo)系

中，然后根據(jù)直線的位

置關(guān)系及圍成的幾何圖

形形狀，分析取最值的

條件即可，如利用兩點

之間線段最短等；（3）

將所求轉(zhuǎn)化為相關(guān)量的

和或積的形式，然后結(jié)

合基本不等式求解.

考向10直線方程與導(dǎo)數(shù)的綜合

函數(shù)/(x)=e'cosx處的切線方程為()【技能方法】因為導(dǎo)數(shù)

的幾何意義研究的是曲

A.x+y+l=0B.x+y-\=0C.x—y+l=0

線的斜率，同時也與直

D.x-y-l=0

線的斜率發(fā)生了聯(lián)系，

【答案】C

解答時主要是要利用到

【解析】因為f'(x)=e'(cosx—sinx),所以由尸(0)=1,/(0)=1得切線方程直線的傾斜角與斜率間

為y-l=lx(x—0),即x—y+l=0.的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，特別

也要注意切線斜率不存

在時的情況.

考向11直線方程與圓的交匯

若點P（l,l）為圓.，+/一6%=（）的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為【技能方法】宜線與圓

------------的交匯主要體現(xiàn)為直線

［答案】2x-y-1=0與圓在相交、相切等條

件，求相關(guān)的問題，解

【解析】因為為圓/+丁―6%=0的弦MN的中點，所以圓心坐標(biāo)為

答時主要根據(jù)圓的特殊

3-1

（3,0）,kMN=----=2,MN所在直線方程為y—l=2（x—1）,化簡為性利用圓心到直線的距

2x_y.l=0.離與圓的半徑之間的關(guān)

系通過建立方程或不等

式來處理.

考向12直線方程與圓錐曲線的交匯

已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，準(zhǔn)線方程為X=-1,直線/與拋物線C相交于【技能方法】直線與圓

兩點.若線段AB的中點為（2,1）,則直線1的方程為（）

錐曲線的位置關(guān)系的交

A.y=2x-3B.y=lx-\C.y=x-3D.y=x-1匯問題，主要有兩種處

理策略：（1）方程法：

【答案】A

設(shè)出直線的方程，多體

【解析】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,則］=1,得〃=2,所以拋物線方現(xiàn)為以斜率女為參數(shù)，

將直線與圓的方程或圓

程為丁二叔.設(shè)4&,兇）,3（毛,乂），貝I靖=4%,必2=4號相減得

錐曲線的方程聯(lián)立消去

＞二匹=」一?由線段的中點為（2,1）,得y+%=2,即

一個未知數(shù)，得到一個

玉一々X+%

二次方程，此時通常在

心;^^二區(qū)二一一=2.利用點斜式得直線/的方程為丁一1=2（%一2）,即

百一々X+%聯(lián)系韋達(dá)定理建立關(guān)于

y=2x-3,故選A.斜率上的等式或不等式

來解決；（2）點差法：

將交點坐標(biāo)代入圓錐曲

線方程作差，然后結(jié)合

中點坐標(biāo)公式與斜率公

式進(jìn)行解答.

考向13兩條直線的位置關(guān)系

直線（l-2a）x-2y+3=0與直線3x+y+2a=0垂直，則實數(shù)a的值為【技能方法】判斷斜率

（）存在的兩宜線垂宜是考

5]57慮它們的斜率之積是否

A.一二B.—C.—D?一

2662為一1,對于判斷方程以

【答案】B一般式給出的直線小

【解析】?.?直線（1—2a）x—2y+3=（）與直線3x+y+2a=0垂直，4H

.?/4+4為=3（1-勿）一2=0,故選B.4在巴什。2=0是

否垂直，通常判斷

A4+B#2=0是否成

立.

考向14距離公式的應(yīng)用

已知直線3x+4y-3=0,6x+歿+14=0平行，則它們之間的距離是___________.【技能方法】利用點到

直線的距離公式時，一

【答案】2

定要注意將直線方程化

【解析】因為直線3》+4），-3=0,6》+的，+14=0平行，所以2=2,解得/〃=8,為一般式，同時代點的

4m坐標(biāo)時注意準(zhǔn)確性；而

貝]6x+my+14=0化為3x+4y+7=0,所以兩直線的距離為"zH=2.利用平行線間的距離公

式必須注意兩條直線方

程的系數(shù)要一致.

考向15關(guān)于特殊點與直線的對稱問題

原點。關(guān)于直線x+y=2對稱點P的坐標(biāo)________【技能方法】白線中關(guān)

【答案】（2,2）于特殊點與直線的對稱

主要體現(xiàn)為關(guān)于原點、

b-0,關(guān)于x軸、關(guān)于y軸等

=1

/7—Oa=2n

:，八,解得，,即「(

【解析】設(shè)尸3力）,則，2,2).的對稱，如果對稱軸為

。+0〃+0_b=2

----+----=2i

122非特殊點與直線，解答

時主要用到中點坐標(biāo)公

式與兩條直線垂直條

件，通過建立方程組來

解決.

考向16兩條直線位置關(guān)系的應(yīng)用

已知點P在直線x+3y—2=0上，點Q在直線x+3y+6=0上，線段PQ的中【技能方法】兩條直線

點為M（%，為），且％＜毛+2,則比的取值范圍是（）的位置關(guān)系的應(yīng)用，在

玉,

試題中主要表示為某兩

A.1-^,0）B.（―:。）C.（―；,+8）D.（-co,—；）（0,+8）條直線平行或垂直為條

件，以此為依托設(shè)置與

【答案】D其它知識相關(guān)的問題，

解答時通常從兩條直線

【解析】由題意，得線段P。的中點M（%,%）在與兩直線平行且到兩直線的距

的平行或垂直關(guān)系入

離相等的直線x+3y+2=0上，即/+3%+2=（），即%=-8乜，則

手，探究出新的結(jié)論，

=，因為y?！?+2,所以與＞2,＞或然后利用此結(jié)論解決相

x03x0333Ao3

關(guān)問題.

----＜09則＞0或＜—,故選D.

3/%A3

五.限時訓(xùn)練*提升素養(yǎng)

1.（2020.上海）若直線/過點4（4,1）,則直線的傾斜角取值范圍是（）

吟

A.0日B.

【答案】D

【詳解】

解：設(shè)直線的傾斜角為。，則

因為aw/?,所以即tan64l,

7777

因為9e[0,萬），所以0?。<一或一<<<〃，

42

所以直線的傾斜角取值范圍是0,（

故選：D

2.（2020?吉安）已知直線辦+4）」2=0與直線2x-5y+8=?；ハ啻怪保棺銥椋╨,c）,則a+b+c的值

為（）

A.0B.-4C.24D.-22

【答案】B

【詳解】

由直線以+4丁-2=0與直線2工一5丁+/?=0互相垂直可得-0乂一=一1,解得a=10,

45

所以直線G+4y_2=0即為5x+2y—l=0,

將點（Lc）代入上式可得5+2c—1=0,解得c=—2,

將點（1,一2）代入方程2x-5y+。=0得2-5x（-2）+b=0,解得人=一12,

所以“+5+0=10—12—2=—4.

故選：B.

3.（2020.山西月考）已知實數(shù)x,y滿足3x—4y—6=0,則在2+/一2），+1的最小值為（）

329

A.2B.—C.—D.一

555

【答案】A

【詳解】

Jx2+y2_2y+]=Jx2+（yf2,它表示A（0,1）與直線3x—4y—6=0的動點P（x,y）連線段的長，其

最小值為A到直線3x—4y—6=0的距離.

乂該距離為心院

2,

故選：A.

4.（2020?山西）已知直線（a—2）x+ay—1=0與直線2