2017-2018學(xué)年重慶市某中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

2017-2018學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知函數(shù)/（*）=：丁+加2+1在x=2處取彳用及值，貝）

A.-1B.1C.-D.--

44

2.（5分）若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.15B.20C.30D.60

3.（5分）命題"Vxe（-8,0），均有e，>x+l”的否定形式是（）

A.VXG（-OO,0）,均有x+1B,3XG（-OO,0），使得X+1

C.Vxe[-co,0）,均有/>x+lD.3^e[-oo,0），使得/>%+l

4.（5分）〈"是"Ll"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶是普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，秦九韶在其所著的

《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示

的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一例,則輸出的S的值為（）

A.4B.-5C.14D.-23

6.（5分）已知函數(shù)“X）的導(dǎo)函數(shù)八幻=加+法+。的圖象如圖，則/（x）的圖象可能是（

)

7.（5分）設(shè)加、〃是兩條不同的直線,a￡是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（

)

A.若m_La,m/In,n!!P，貝[]aJLB.-LJ3,mUa,mVp，貝

C.若機zmua，則a_L〃D.若a上月，〃zua,nu（3，則機_L〃

8.（5分）已知函數(shù)/3）=以-/心在區(qū)間（1,+oo）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是（）

A.。>1B.a.AC.a<\D.1

9.（5分）如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是S=720,則判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件是（)

A.z?7B.z>7C./；,9D./>9

22

10.（5分）已知點P為橢圓三+匕=1上的一點，點A,8分別為橢圓的右頂點和上頂點，

43

直線以與y交于點“，直線。8與x軸交于點N，則||的值為（）

A.4B.4GC.-D.—

33

11.（5分）已知點P在正方體ABCD-44c4的線段的上,則cosNAPC最小值為（

）

12.（5分）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為匕，且，目兩

條曲線在第一象限的交點為P,若△P耳心是以PF、為底邊的等腰三角形.橢圓與雙曲線的離

心率分別為-e2,則e、出的取值范圍是（）

A.（0,§）B.（0,—）C.（—,4-oo）D.）

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

2

13.（5分）若雙曲線二—丁=1（加>0）的離心率為2,則機=.

14.（5分）已知拋物線丁=16x，焦點為尸,A（8,2）為平面上的一定點，P為拋物線上的

一動點，則|PA|+1PF|的最小值為.

15.（5分）三棱錐P-A8C中，必_L平面ABC,AC±BC,AC=BC=\,PA=6,貝！1

該三棱錐外接球的表面積為一.

16.（5分）已知函數(shù)/（幻=52-（2a+l）x,g（x）=e*-x-l,若對于任意的％e（0,+<?）,

X2&R,不等式/（X|）?g（￡）恒成立，則實數(shù)”的取值范圍為_.

三、解答題（本大題共6小題，第一個大題10分，其他題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟，并寫在答題卷相應(yīng)的位置上.）

17.（10分）如圖，四棱錐尸-A8c。的底面是正方形，尸￡），底面A8C。，點E在棱PB上.

（1）求證：平面AEC1平面PDB；

（2）當(dāng)尸。=夜43,且E為P8的中點時，求AE與平面所成的角的大小.

B

18.(12分)已知焦點為F的拋物線C:￡=2py(p>0)過點M(2j"),且|MF|=2.

(1)求p,m；

(2)過點M作拋物線C的切線/,交)，軸于點N,求的面積.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=g加2_26一3加1+/?在入'=1處切線為4x+y-2=0.

(1)求a,b；

(2)求/(x)在xe[l,7]上的值域.

20.(12分)在多面體ABCDE尸中，四邊形A8c。是正方形，EF//AB,DE=EF=\,

DC=BF=2,ZEAD=30°.

(I)求證：M_L平面CD"；

(n)在線段8。上確定一點G，使得平面現(xiàn))與平面/FG所成的角為30。.

22

21.(12分)已知橢圓C:，+S=l(a>6>0)的上下兩個焦點分別為6,F2，過點石與y

軸垂直的直線交橢圓C于M、N兩點，\MNF1的面積為上,橢圓C的離心率為今

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(n)已知。為坐標(biāo)原點，直線/:)，=履+〃，與y軸交于點P(P不與原點。重合)，與橢圓C

交于A,8兩個不同的點，使得麗=3萬，求機的取值范圍.

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e"J履-2左(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，kwR)

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個零點看,々時.證明：x,+x2>-2.

2017-2018學(xué)年重慶市巴蜀中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理

科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知函數(shù)/（x）=gd+*?+1在x=2處取彳瓠值，貝1|8=（）

A.-1B.1C.-D.--

44

【解答】解：函數(shù)=+法2+1,可得r（x）=V+2版,

???/（X）在x=2處取得極值，

:.f（2）=4+46=0,

解得：方=-1；

故選：A.

2.（5分）若某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（）

俯視圖

A.15B.20C.30D.60

【解答】解：由三視圖可知該幾何體是一個直三棱柱：底面是一個直角邊長分別為3,4的

直角三角形，高為5.

二咚雌44G=萬*3x4X5=30.

故選：C.

3.(5分)命題"Vxe(-8,0),均有，>x+l”的否定形式是()

A.Vxe(F,0)，均有e*,,x+1B.3xe(^?,0),使彳導(dǎo)e*”x+l

C.Vxe[-oo,0),均有e">x+lD.3xe[-oo,0),使得e*>x+l

【解答】解：命題"Wxe（F,O），均有">x+l”的否定形式是：*e（-8,0），使得e*,,x+l.

故選:$B$.

4.（5分）“<一是“二1"的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解:由"x1<x"解得0<x<l,

由"L1"解得0<%,1,

X

故"f<x"是"L.i"的充分不必要條件，

X

故選：A.

5.（5分）我國南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶是普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，秦九韶在其所著的

《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.如圖所示

的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一例，則輸出的S的值為（)

A.4B.-5C.14D.-23

【解答】解：模擬程序的運行，可得

5=1,/=1

滿足條件i,,4，執(zhí)行循環(huán)體，5=-1,/=2

滿足條件i,,4,執(zhí)行循環(huán)體，5=4,i=3

滿足條件i?4,執(zhí)行循環(huán)體，S=-5,i=4

滿足條件i,,4，執(zhí)行循環(huán)體，S=14,i=5

不滿足條件A,4,退出循環(huán)，輸出S的值為14.

故選：C.

6.(5分)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)/(幻=加+法+,的圖象如圖，則/(x)的圖象可能是(

)

【解答】解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系：從左到右分成三部分，

第一部分導(dǎo)數(shù)小于零，第二部分導(dǎo)數(shù)大于零，第三部分導(dǎo)數(shù)小于零，

則相應(yīng)的，第一部分原函數(shù)為減函數(shù)，第二部分原函數(shù)為增函數(shù)，第三部分原函數(shù)為減函數(shù);

滿足題意只有。.

故選：D.

7.（5分）設(shè)〃?、〃是兩條不同的直線,a、B是兩個不同的平面，下列命題中錯誤的是（

)

A.若機_La,m/tn,n///?，貝[]aJ■尸B.若a_L6,m<^a,mVp,/a

C.若修！.￡,znua,則a_L〃D.若a_L〃，mua,〃<="，貝!|機_1及

【解答】解：若機_La,mlIn,nl113,

則由平面與平面垂直的判定定理得a，故A正確；

若a_L￡,m<ta,m±/3,則由直線與平面平行的判定定理得機//a,故8正確；

若mJ.0,〃?uc,則由平面與平面垂直的判定定理得a_L/?，故C正確；

若al_￡,“zua,，則相與〃相交、平行或異面，故。錯誤.

故選：D.

8.（5分）已知函數(shù)/（為=取-/以在區(qū)間（l,+oo）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.a>1B.a..JC.a<\D.1

【解答】解：?.?函數(shù)y=ar-阮v在（1,3內(nèi)單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)x>l時，y=a-L.O恒成立，

X

艮口Q..:-fCl-?1

Xf

即。的取值范圍為U,-K?）,

故選：B.

9.(5分)如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果是S=720,則判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件是()

通

1=10,5=1

i=M

S=Sxj

(^1

A./?7B./>7C./；,9D./>9

【解答】解：第一次運行，i=10,滿足條件，5=10x1=10,/=9

第二次運行，/=9，滿足條件，5=10x9=90,i=8,

第三次運行，/=8，滿足條件，5=90x8=720,z=7,

此時不滿足條件，輸出S=720,

故條件應(yīng)為,8,9,10滿足，，=7不滿足，

故條件為：i>7,

故選：B.

10?（5分）已知點P為橢圓/。I上的一點，點A,8分別為橢圓的右頂點和上頂點,

直線以與了交于點M,直線P8與x軸交于點N，則|AN|口的值為（）

D考

A.4B.4石

【解答】解：如圖所示：設(shè)P的坐標(biāo)為（2cos。,石sin。），

由4(2,0),8(0,6),

則直線”的方程為三去外（一）,

令x=0時，則丫=盧嗎

1-COS。

即M(0,盧嗎),

1-cos。

11

則直線8P的方程為y-有=6："二Gx,

2cos夕

f\mi2COS0

令)'=Q,則"E

即N者吟,0),

1-sin

一……2cos〃,cJ-sing—cos。

「ANH2--------=2-------------

1一sin。1-sin^

尸""叫；：：鬻:黑=4月,

故選：B.

11.（5分）已知點P在正方體ABCD-ARC〃的線段BD,±,則cosNAPC最小值為（

1111

ABcD

一3-2-9-9-

【解答】解：連結(jié)AP,以。為原點，D4為x軸，CC為y軸，力〃為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCO-A與G。的棱長為1,

則〃(0,0,1),fi(l,1,0),D(0,0,0),

A(1,0,0),C(0,1,0),設(shè)尸(a,b,c),

D^P=W\B,(O1,

：.(a,b.c-i)=(A,A,0).P(A,2.1-2),

PA=(1-A,-2,A-1),PC=(-A,1-2,A-l).

cosZAPC=cos<PA,PC>=-------------

1PAI」PC|

_-2+22-A+A2+22-2/l+l

322-4A+2

322-4A+2-l,1

=--------------------=1-------------------

3A2-4/l+2322-42+2

2

???(O1,.-.322-4A+2e[-,2],

3

則COSZAPCG]」,2].

22

cosNAPC最小值為-1.

2

12.（5分）已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為耳，入，且兩

條曲線在第一象限的交點為P,若△PK入是以PF、為底邊的等腰三角形,橢圓與雙曲線的離

心率分別為4,%、則q包的取值范圍是（）

?！?/p>

【解答】解：設(shè)橢圓和雙曲線的半焦距為C,上片|=〃？，|PEI=〃，(m>〃)，

由于A尸耳工是以PF、為底邊的等腰三角形.

由橢圓的定義可得，"+〃=2G,

由雙曲線的定義可得〃?-〃=24，

可得〃=4-4=2C,可得'-'=2，即烏=13-,

e1e21+2e2

2

由離心率公式可得qe,=—/，

1+2々

、八1~r/白戶一2f+l11111

/=1+2弓t>3f—---------—(rH----2)>_x(3—2H—)=一)

t4t4t433

.?w%的取值范圍為q,+8).

故選：c.

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.(5分)若雙曲線二-y=l(m>0)的離心率為2,則〃?=_g.

nr3

【解答】解：雙曲線f-丁=1(〃2>0)的。=〃?，6=1,

c=\j\+tn,貝!Je=￡=)+憶=2,解得，m=§.

atn3

故答案為：乎.

14.（5分）已知拋物線y2=16尤，焦點為F,48,2）為平面上的一定點，P為拋物線上的

—點，則|PA|+1PFI的最小值為12.

【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=-4,焦點為尸（4,0）,

過A向準(zhǔn)線作垂線，垂足為B,

:\PA\+\PF\..\AB\=X2.

故答案為：12.

15.（5分）三棱錐P-A8C中，9J_平面ABC,ACJ.BC,AC=BC=\,PA=6,則

該三棱錐外接球的表面積為_57—.

【解答】解：小，平面ABC,ACLBC,

...BCl^PAC,m是三棱錐尸-A8C的外接球直徑；

?.?RtAPBA中,AB=y/2,PA=g,

PB=45,可得外接球半徑R=^PB=^,

.?.外接球的表面積s=4TTR2=5n.

故答案為5乃.

16.(5分)已知函數(shù)-(2〃+l)x,g(x)=e*-x-l,若對于任意的玉G(0,-KO),

X2GR,不等式/(占),,g*?)恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為__.

【解答】解：由g(x)=e"-x-1,則g，(x)=e1,

令g'(x)>0,解得x>。；令g'(x)<0,解得x<0.

二g(x)在(-oo,0)是減函數(shù)，在(0,+oo)是增函數(shù),

即g(x)最小值=g(°)=。-

對于任意的玉e(0,+oo),x,e/?,不等式f(x,)?g(%)恒成立,則有f(x,)?g(0)即可.

即不等式fW?0對于任意的xe(0,+oo)恒成立,

(1)當(dāng)“=。時，/(%)=-%,對于任意的xe(0,+o0),f(x)?。恒成立，

a=0符合題意；

(2)當(dāng)a<0時，fM=ax2-(2a+l)x的圖象是開口向下的拋物線，且/(0)=0,

要使不等式/(X),,0對于任意的xe(0,+8)恒成立，

則對稱軸》=網(wǎng)里,,0,即2a+l..O,a...--,

2a2

得—二"a<0；

2

(3)當(dāng)。>0時，f(x)=族-(2a+1)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為

2。+1八

x=----->0,

2a

而/(此=。,

...當(dāng)里時，〃X)>0，不合題意.

a

綜上，〃的取值范圍為[-1,0].

2

故答案為：[―,0].

三、解答題(本大題共6小題，第一個大題10分，其他題每題12分，共70分.解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟，并寫在答題卷相應(yīng)的位置上.)

17.(10分)如圖，四棱錐尸-ABCO的底面是正方形，PZU底面A8C。，點E在棱PB上.

(1)求證：平面AEC1平面PDB；

(2)當(dāng)PD=42AB，且E為P8的中點時，求AE與平面H汨所成的角的大小.

E

【解答】（I）證明：?.?四邊形ABC。是正方形，，AC，BO,

?.?PD_L底面A8CD,

PDA.AC,AC1平面PDB,

二.平面AECJ,平面P/四.

（口）解：設(shè)，連接。E,

由（I）知4<:1平面也出于。，

，NAEO為與平面PZ犯所的角,

-0,E分別為的中點，

:.OE//PD,OE=-PD,

2

又底面ABC。，

OE±JR?ABCD,OEYAO,

在RtAAOE中，OE=^PD=^AB=AO,

ZAEO=45°,即AE與平面叨3所成的角的大小為45。.

E

18.(12分)已知焦點為尸的拋物線C:f=2py(p>0)過點M(2,M，且尸|=2.

(1)求p,m；

(2)過點M作拋物線C的切線/,交y軸于點N,求△MFN的面積.

【解答】解：(1)拋物線C:x2=2py的焦點F(0苧，準(zhǔn)線方程為y=-^.

由題意可得4=2pn?!2=m+—

2

彳導(dǎo)機=1,p=2；

(2)由卜==得y，=',所以切線的斜率為1,

42

切線方程為y=x-l,得N(O,-1),

由M(2,l),F(O,1),

所以AMFN的面積是」x2x2=2.

2

19.(12分)已知函數(shù)jf(x)ugox,-20￥-3譏￥+。在方=1處切線為4x+>-2=0.

(1)求。，〃；

(2)求/(x)在xe[l,7]上的值域.

【解答】解：(1)；函數(shù)/'(犬)=」加-2or-3/nr+b在x=1處切線為4x+y-2=0.

2

3

/.fr(x)=ax-2a——,x>0,

x

直線4x+y-2=0斜率為T,

由/(1)=a-2a-3=-4,解得a=l,

由/(1)='a-2a+6=—2,解彳導(dǎo)方=一」.

22

(-j\ri\c3(x—3)(x+1)

(2)f\(x)=x-2——=----------,

xx

由((x)>0，得0<x<3,由尸(幻<0，得x>3,

vxe[l,7],"(x)的減區(qū)間是(1,3),減區(qū)間是(3,7],

X/(1)=-2,/(7)=10-3/?7>-2,/(3)=-2-3/?3,

"(x)在xe[l,7]上的值域是[-2-3加3,10-3/〃7].

20.(12分)在多面體ABCDEF中，四邊形A8CO是正方形，EF//AB,DE=EF=1,

DC=BF=2,ZEAD=30°.

(I)求證：AEl^CDEF；

(H)在線段如上確定一點G,使得平面皿)與平面以G所成的角為30°.

【解答】證明：(I)?.?四邊形A8CO是正方形，，AO=OC=2.

在中,———=———,即——-——=―1—,得sinNAEO=l,

sinZAEDsinZEADsinZAEDsin30°

:.ZAED=90°,即,在梯形45所中，過E點作EF//BF,交45于點P.

?：EFHAB，:.EP=BF=2,PB=EF^\,：.AP=AB=PB^\,

在RtAADE中，AE=y[3,AE2+AP2=4,EP2=4,

AE-+AP2=EP2,:.AEYAB,:.AELEF.

5L-.-EF^\DE=E,.-.AE±￥?CDEF.

解：(口)由(I)得AE，OC,ADA.DC,

，OCJ_平面AED,又DCu平面A8CD,

平面ABCD1平面AED,

如圖，過。點作平面ABC。的垂線?！ǎ?/p>

以點。為坐標(biāo)原點，/M,DC,。”所在直線分別為x軸，)，軸，z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系，

則。(0,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),,A(2,0,0),

3A/3-

AF=(--,1,：),DB=(2,2,0),

設(shè)成=2麗=(2/l,24，0),2e[0,1],貝！j而=(2/1—2,2A,0).

設(shè)平面FAG的一個法向量斤=(x,y,z),

_3G

5!!I-/MF=-2X+-V+TZ=O，令X=-&,=(-73/1,73(2-1),2-52).

?D4G=(2A-2)X+2Ay=0

平面皿＞的一個法向量而=(0,1,0).

由已知得8s3。。=旦叫=J|6('一3=B,

加I1萬IJ3.2+3(1-4)2+(2_5M2

化簡得9A2—6%+1=0,解得2=—.

3

???當(dāng)點G滿足的=：麗時,平面的與平面尸AG所成角的大小為3?！?

AB

X

21.（12分）已知橢圓C=l（a>6>0）的上下兩個焦點分別為耳，用，過點耳與y

軸垂直的直線交橢圓C于M、N兩點,\MNF2的面積為石，橢圓C的離心率為與

（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（口）已知。為坐標(biāo)原點，直線/：y=依+〃?與），軸交于點P（P不與原點。重合），與橢圓C

交于A,B兩個不同的點，使得AP=3P8,求"7的取值范圍.

2b2

【解答】解：（I）根據(jù)已知橢圓C的焦距為2c，當(dāng)y=c時，|仰|=|玉-々1=V

由題意AMNF,的面積為—|凡月||MN|=c||=上=6,

2a

由已知得￡=g,.?方=1,.?."=4,

a2

2

，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V+卜.一（4分）

(n)設(shè)A(石，yj,

B(X2,y2),

由])得(左2+4)f+2)血+機2-4=0,

[4x+y-4=0

-2kmnr-4

玉+%=XiX2=----（6分）

公+4'V74,

由已知得A=4m%2-4Gt2+4)Q/-4)>0,BPk2-m2+4>0,

2

由AP=3PB，得=3X2,即玉=-3x；,3(%+x2)+4xtx2=0