第三章傅里葉變換教材

第三章傅里葉變換傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”中傅里葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號都可表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)3.1引言--信號的正交函數(shù)分解一、正交函數(shù)（1）則稱f1(t)與f2(t)在(t1

，t2)上正交。2.復(fù)變函數(shù)：若有n個(gè)復(fù)變函數(shù)fi(t)（i=1，…，n）在區(qū)間(t1，t2)上滿足1.實(shí)變函數(shù)：若實(shí)函數(shù)f1(t)

和f2(t)在(t1

，t2)上滿足3.1信號的正交函數(shù)分解一、正交函數(shù)（2）3.完備正交函數(shù)集：若{f1(t)，…，

fn(t)}在區(qū)間(t1，t2)上為正交函數(shù)集，不再存在任意函數(shù)

(t)與其正交，則{f1(t)，…，

fn(t)}稱為完備正交函數(shù)集。1.

三角函數(shù)集:二、常用完備正交函數(shù)集(t0，t0+T)

2.

指數(shù)函數(shù)集:(t0，t0+T)

3.

抽樣函數(shù)集:4.Walsh函數(shù)集:(-

，

)

(0，1)

3.1信號的正交函數(shù)分解定理1若{f1(t)，…，

fn(t)}在區(qū)間(t1，t2)上為完備正交函數(shù)集，則在(t1，t2)上滿足Dirichlet條件的函數(shù)f(t)可以表示為以下的無窮級數(shù)：三、用完備正交函數(shù)集表示任意信號其中（傅立葉系數(shù)）定理2

若f(t)可用完備正交函數(shù)集{f1(t)，…，

fn(t)}表示，則（Parserval定理）物理意義：一個(gè)信號所含有的能量（功率）恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量（功率)之和。3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析一、傅里葉級數(shù)分析的意義將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合從信號分析的角度，將信號表示為不同頻率正弦分量的線性組合，為不同信號之間進(jìn)行比較提供了途徑，而且單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)的分析在技術(shù)上是很成熟的。---電路分析上的正弦穩(wěn)態(tài)電路分析。從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號激勵下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號同時(shí)激勵下的總響應(yīng)，而且每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng)后，是衰減還是增強(qiáng)一目了然。二、周期信號展開為傅里葉級數(shù)的條件周期信號f

(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)

絕對可積，即滿足 (2)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)的不連續(xù)點(diǎn)；(3)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（1）

1=2f1=2/T1,T1為f(t)的周期（直流/平均分量）（余弦分量幅度）（正弦分量幅度）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（2）

1—基本角頻率（基頻）a0、an、bn—傅里葉系數(shù)cos(n1t)

、sin(n1t)—n次諧波cos

1t

、sin

1t

—基波a0—信號的直流/平均分量3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）

純余弦形式傅里葉級數(shù)其中

c0稱為信號的直流/平均分量，c1cos(

1t+

1)為基波分量，cncos(n

1t+

n)（n>1）為n次諧波分量。

c10，cn0。

周期信號可分解為直流、基波和各次諧波的線性組合。

3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析三、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（4）[例]

求下圖所示周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式。解：傅里葉級數(shù)展開式為：基波直流諧波A/2-A/23.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析四、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)根據(jù)歐拉公式：代入得：令關(guān)于n的偶函數(shù)關(guān)于n的奇函數(shù)因此代入得：令因?yàn)椋核?.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析四、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系（1）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系（2）[例]

試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)展開式。解:1）指數(shù)形式3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系（3）

2）三角形式可得，周期方波信號的三角形式傅里葉級數(shù)展開式為若

=T1/2，則有由3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析五、兩種形式的傅里葉級數(shù)之間的關(guān)系（4）[例]

f(t)=3cos(

1t+4)，求Fn。解:根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的定義可得六、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（1）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析1）

f(t)為偶函數(shù)：f(t)=f(-t)11

f(t)傅氏級數(shù)展開式中，可能含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)，而不含有正弦項(xiàng)。六、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（2）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析2）

f(t)為奇函數(shù)：f(t)=

f(t)

f(t)傅氏級數(shù)展開式中，只可能含有正弦項(xiàng)，而不會含有直流項(xiàng)和余弦項(xiàng)。11a0=0an=0六、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（３）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析３）f(t)為偶諧函數(shù)（偶半波對稱函數(shù)）：１１１

f(t)傅氏級數(shù)展開式中，只含有直流分量和偶次諧波，而不含有奇次諧波。波形移動

T1/2，與原波形重合六、函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系（4）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析4）f(t)為奇諧函數(shù)（奇半波對稱函數(shù)）：

f(t)傅氏級數(shù)展開式中，只含有奇次諧波，而不含有直流分量和偶次諧波。111波形移動

T1/2，與原波形橫軸對稱七、周期信號的頻譜（1）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析1.頻譜的概念（1）式（1）表明，周期信號f(t)可以分解為直流及不同頻率的余弦信號之和。式（2）表明，周期信號f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號之和。

不同的時(shí)域信號，只是傅里葉級數(shù)的系數(shù)c0、cn

及各次諧波的相位

n

(或Fn）不同，因此可以通過研究傅里葉級數(shù)的系數(shù)和各次諧波的相位來研究信號的特性。七、周期信號的頻譜（2）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析1.頻譜的概念（2）

c0、cn及

n

（或Fn）是頻率(n

1)的函數(shù)，它反映了組成信號各正弦諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。頻譜函數(shù)幅度譜函數(shù)相位譜函數(shù)七、周期信號的頻譜（3）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析2.頻譜的表示（1）

直接畫出信號各次諧波對應(yīng)的c0

、cn及

n（或Fn）線狀分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜圖。幅度頻譜相位頻譜c0、cn

n幅度頻譜相位頻譜單邊譜雙邊譜七、周期信號的頻譜（4）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析2.頻譜的表示（2）cnc0c1c2c3c4c5c6c7c8c9

13

15

17

19

1

13

15

17

19

1

1...3

1...-1-3

1n1-n1

n

-七、周期信號的頻譜（5）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析2.頻譜的表示（3）

1...3

1...-1-3

1n1-n1

n

-當(dāng)Fn為實(shí)函數(shù)時(shí),經(jīng)常將幅度譜和相位譜合畫在一張圖上。七、周期信號的頻譜（6）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.兩種頻譜表示形式的關(guān)系與區(qū)別關(guān)系:實(shí)質(zhì)上是一樣的區(qū)別對于單邊譜的第n條譜線，cn、

n分別表示n次諧波的幅度和初相。cncos(n

1t+

n)對于雙邊譜，只有將n

1與-n

1對應(yīng)的譜線矢量相加，才表示n次諧波。七、周期信號的頻譜（7）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析[例]

已知連續(xù)周期信號的頻譜如圖，試寫出實(shí)數(shù)形式的Fourier級數(shù)（

1=1rad/s）。解：由圖可知七、周期信號的頻譜（8）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析[例]

畫出信號f(t)的幅度譜和相位譜。

解

1)三角形式cn

13

15

17

1

13

15

1七、周期信號的頻譜（9）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析2)指數(shù)形式

12

1-1-2

1

12

1-10.15-0.15七、周期信號的頻譜（10）3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析4.

相位譜的作用幅頻不變，零相位幅頻為常數(shù)，相位不變八、吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象(1)3.2周期信號的傅里葉級數(shù)分析用有限次諧波分量來近似原信號，在不連續(xù)點(diǎn)將出現(xiàn)過沖，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少，且為跳變值的9%

。2.吉布斯現(xiàn)象產(chǎn)生的原因時(shí)間信號存在跳變破壞了信號的收斂性，使得在間斷點(diǎn)傅里葉級