高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練五十五 10.9 圓錐曲線中的最值與范圍問題 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練五十五圓錐曲線中的最值與范圍問題(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.過直線y=2x+3上的點(diǎn)作圓x2+y2-4x+6y+12=0的切線,則切線長的最小值為 ()A. B.2 C. D.【解析】選A.在直線y=2x+3上任取一點(diǎn)P(x,y),作圓的切線,設(shè)切點(diǎn)為M.圓x2+y2-4x+6y+12=0即(x-2)2+(y+3)2=1,圓心為C(2,-3),半徑為r=1,切線長為=,|PC|min==2,所以切線長的最小值為=.2.已知動點(diǎn)P(x,y)在橢圓+=1上,若A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),||=1,且·=0,則||的最小值是 ()A. B. C.2 D.3【解析】選B.由||=1可知點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)A為圓心,1為半徑的圓,過點(diǎn)P作該圓的切線PM,則|PA|2=|PM|2+|AM|2,得|PM|2=|PA|2-1,所以要使得||的值最小,則要的值最小,而的最小值為a-c=2,此時||的值最小為.3.(2018·成都模擬)若直線l過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F交拋物線C于A,B兩點(diǎn),則+的取值范圍為 ()A.{1} B.(0,1]C.[1,+∞) D.,1【解析】選A.拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)過點(diǎn)F的直線l的斜率k存在,則直線的方程為y=k(x-1).代入拋物線方程,得k2(x-1)2=4x,化簡得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=1.根據(jù)拋物線性質(zhì)可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,所以+=+==1.當(dāng)直線l的斜率不存在時,直線的方程為x=1,把x=1代入y2=4x得y=±2,所以+=1.4.(2018·秦皇島模擬)設(shè)P是橢圓+=1上一點(diǎn),M,N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值、最大值分別為 ()A.9,12 B.8,11 C.8,12 D.10,12【解析】選C.如圖,由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個焦點(diǎn),由橢圓定義知|PA|+|PB|=2a=10,連接PA,PB分別與圓相交于M,N兩點(diǎn),此時|PM|+|PN|最小,最小值為|PA|+|PB|-2R=8;連接PA,PB并延長,分別與圓相交于M,N兩點(diǎn),此時|PM|+|PN|最大,最大值為|PA|+|PB|+2R=12,即最小值和最大值分別為8,12.【變式備選】如果方程+=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ()A.3<m<4 B.m>C.3<m< D.<m<4【解析】選D.由橢圓方程可知m-3>4-m>0,所以<m<4.5.(2018·九江模擬)拋物線y2=12x上的點(diǎn)與直線3x-y+5=0的最近距離為 ()A. B. C. D.【解析】選B.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離d==[(y-2)2+16]≥=.當(dāng)且僅當(dāng)y=2時,等號成立.【一題多解】本題還可以采用以下方法:選B.如圖,若將直線3x-y+5=0平移,則移到剛好與拋物線y2=12x相切時,切點(diǎn)到直線的距離最小.設(shè)與3x-y+5=0平行的切線為3x-y+t=0,(t≠5)代入拋物線方程得y2-4y+4t=0,Δ=16-16t=0,所以t=1,所以最近距離d==.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知點(diǎn)P為圓C:x2+y2-2x-4y+1=0上的動點(diǎn),點(diǎn)P到某直線l的最大距離為6.若在直線l上任取一點(diǎn)A作圓的切線AB,切點(diǎn)為B,則|AB|的最小值是________.

【解析】由C:x2+y2-2x-4y+1=0,得(x-1)2+(y-2)2=4,由圓上動點(diǎn)P到某直線l的最大距離為6,可知圓心C(1,2)到直線l的距離為4.若在直線l上任取一點(diǎn)A作圓的切線AB,切點(diǎn)為B,則要使|AB|最小,需AC⊥l,所以|AB|的最小值是=2.答案:27.斜率為的直線與雙曲線-=1恒有兩個公共點(diǎn),則雙曲線離心率的取值范圍是________.

【解析】由題意可知,雙曲線的其中一條(k>0)漸近線斜率大于,>,e=>.答案:【變式備選】過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線有且只有________條.

【解析】設(shè)該拋物線焦點(diǎn)為F,A(xA,yA),B(xB,yB),則|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合條件的直線有且只有兩條.答案:兩8.(2018·衡水模擬)已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),在拋物線AOB這段曲線上有一點(diǎn)P,則△APB的面積的最大值為________.

【解析】由弦長公式知|AB|=3,只需點(diǎn)P到直線AB距離最大就可保證△APB的面積最大.設(shè)與l平行的直線y=2x+b(b≠-4)與拋物線相切,解得b=.所以d=,所以(S△APB)max=×3×=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·新鄉(xiāng)模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的離心率為,拋物線C2∶x2=-ay的準(zhǔn)線方程為y=. (1)求橢圓C1和拋物線C2的方程.(2)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C1交于不同的兩點(diǎn)P,Q,若O在以PQ為直徑的圓的外部,求直線l的斜率k的取值范圍.【解析】(1)由已知=,所以a=2,拋物線C2的方程為x2=-2y,又e=,所以c=,b=1,所以橢圓C1的方程為+y2=1.(2)顯然直線x=0不滿足條件,可設(shè)直線l方程為y=kx+2,P(x1,y1),Q(x2,y2).由得(1+4k2)x2+16kx+12=0.因?yàn)棣?(16k)2-4×12(1+4k2)>0,所以k∈-∞,-∪,+∞,x1+x2=,x1x2=,由已知0<∠POQ<,·>0,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=+2k×+4=>0,所以-2<k<2,綜上,k的取值范圍是-2,-∪,2.10.(2018·濰坊模擬)已知點(diǎn)F1為圓(x+1)2+y2=16的圓心,N為圓F1上一動點(diǎn),F2(1,0),點(diǎn)M,P分別是線段F1N,F2N上的點(diǎn),且滿足·=0,=2. (1)求動點(diǎn)M的軌跡E的方程.(2)過點(diǎn)F2的直線l(與x軸不重合)與軌跡E交于A,C兩點(diǎn),線段AC的中點(diǎn)為G,連接OG并延長交軌跡E于B點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求四邊形OABC的面積S的最小值.【解析】(1)由已知,MP垂直平分F2N,所以|MF1|+|MF2|=4,由橢圓定義知,動點(diǎn)M的軌跡是以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓,長軸長為2a=4,焦距2c=2,所以a=2,c=1,b2=3.軌跡E的方程為+=1.(2)設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),G(x0,y0),直線AC的方程為x=my+1,與橢圓方程聯(lián)立得(4+3m2)y2+6my-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,由弦長公式可得|AC|=|y1-y2|=,又y0=-,所以G,-.直線OG的方程為y=-x,代入橢圓方程得x2=,所以B,-,B到直線AC的距離d1=,O到直線AC的距離d2=,所以S四邊形OABC=|AC|(d1+d2)=6≥3,當(dāng)m=0時取得最小值3.所以四邊形OABC的面積的最小值為3.(20分鐘40分)1.(5分)(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是 ()A. B.C. D.【解析】選A.由A(-2,0),B(0,-2),則三角形ABP的底邊|AB|=2,圓心(2,0)到直線x+y+2=0的距離為d==2,又因?yàn)榘霃綖閞=,所以點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離的最大值為2+=3,最小值為2-=,則三角形ABP的面積的最大值為Smax=×2×3=6,最小值為Smin=×2×=2,故△ABP面積的取值范圍為[2,6].2.(5分)已知F1,F2是橢圓+=1的兩個焦點(diǎn),P是該橢圓上的任意一點(diǎn),則|PF1|·|PF2|的最大值是 ()A.9 B.16 C.25 D.【解析】選C.根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10,根據(jù)基本不等式可知|PF1||PF2|≤=25,所以最大值為25.3.(5分)已知拋物線x2=8y上有一條長為10的動弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為________.

【解析】由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-2,過點(diǎn)A作AA1⊥l交l于點(diǎn)A1,過點(diǎn)B作BB1⊥l交l于點(diǎn)B1,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M,過點(diǎn)M作MM1⊥l交l于點(diǎn)M1,則|MM1|==,因?yàn)閨AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn)),即|AF|+|BF|≥10.所以|AA1|+|BB1|≥10,2|MM1|≥10,即|MM1|≥5.故點(diǎn)M到x軸的距離d≥3.故AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為3.答案:34.(12分)(2018·榆林模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F2(3,0),離心率為e. (1)若e=,求橢圓的方程.(2)設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),M,N分別為線段AF2,BF2的中點(diǎn).若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上,且<e≤,求k的取值范圍.【解析】(1)由已知得a=2,a2=12,又a2=b2+c2,解得b2=3.所以橢圓的方程為+=1.(2)由得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,由已知可得,OM⊥ON,易證四邊形OMF2N為平行四邊形,所以AF2⊥BF2,因?yàn)?(x1-3,y1),=(x2-3,y2),所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0,即+9=0,整理為k2=-=-1-,因?yàn)?lt;e≤,所以2≤a<3,12≤a2<18.所以k2≥,即k的取值范圍是-∞,-∪,+∞.5.(13分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn),離心率為,點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn),直線l與橢圓相交于不同于點(diǎn)A的兩個點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2). (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)當(dāng)·=0時,求△OPQ面積的最大值.【解析】(1)由已知得所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1.(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時,設(shè)l:x=m,與+y2=1聯(lián)立,得P,Q.因?yàn)椤?0,所以(m-2)2-=0,解得m=或2(舍),所以|PQ|=,△OPQ的面積為.②當(dāng)直線l的斜率存在時,由已知k≠0,設(shè)l:y=kx+m,與+y2=1聯(lián)立,整理得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0,由Δ>0得4k2-m2+1>0,所以x1+x2=-,