2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第10節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

第10節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解”指數(shù)

爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.2.通過(guò)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生

活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了

解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、塞函數(shù)模型性質(zhì)比較

數(shù)

y=ax(a>l)y=logtzx(<7>l)y=xn(n>0)

性

在(0,+8)上的增

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

減性

增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表隨〃值變化而各

圖象的變化

為與詡平行現(xiàn)為與X軸平行有不同

值的比較存在一個(gè)x(),當(dāng)x>xo時(shí),有

2.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型/人為常數(shù)，"W0)

二次函數(shù)模型?￥)=加+法+以4,b,C為常數(shù)，々W0)

與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型j(x)=ba(+c(a,h,c為常數(shù)，a>0且aWl,b心0)

與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型fix)=b\og(lx+c(a,A,c為常數(shù),a>0且a#1,0)

與暴函數(shù)相關(guān)的模型fix)=axn+b(a,b,〃為常數(shù)，〃關(guān)0)

［常用結(jié)論］

1.“直線上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增

長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越

來(lái)越小.

2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)

學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J"或"X")

(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若按

九折出售，則每件還能獲利.()

(2)函數(shù)y=2*的函數(shù)值比,y=x2的函數(shù)值大.()

v

(3)不存在xo,使ao<x(j<logftx().()

(4)在(0,+8)上，隨著犬的增大，y=a'(a>l)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=

K(a>0)的增長(zhǎng)速度.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

9

解析(1)9折出售的售價(jià)為100(1+10%)義正=99(元).

???每件賠1元，(1)錯(cuò)誤.

(2)當(dāng)尤=2時(shí)，2、=/=4.(2)不正確.

(3)如a=xo=；,〃=(,不等式成立，因此(3)錯(cuò)誤.

2.(2021.全國(guó)甲卷)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)

量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)

記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg%已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則

其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(浙p1259)()

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

答案C

解析由題意知4.9=5+lgV,

得lgv=—0.1,得V=10—而-0.8,

所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為08

3.某建材商場(chǎng)國(guó)慶期間搞促銷活動(dòng)，規(guī)定：顧客購(gòu)物總金額不超過(guò)800元時(shí)，不

享受任何折扣；如果顧客購(gòu)物總金額超過(guò)800時(shí)，那么超過(guò)800元部分享受一定

的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算

可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率

不超過(guò)500元的部分5%

超過(guò)500元的部分10%

某人在此商場(chǎng)購(gòu)物總金額為X元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關(guān)于x的解

fO,0<x^800,

析式為y=?5%(x—800),800<xW1300,若y=30元，則他購(gòu)物實(shí)際所付金

110%(x-1300)+25,%>1300.

額為元.

答案1350

角星析<x=l300,則>=5%(1300—800)=25<30,

因此x>l300.

由10%(x—l300)+25=30,得尤=1350(元).

4.某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格汽。與時(shí)間K單位：天)的函數(shù)關(guān)系是,/?=/+10(0

VtW30,『GN),銷售量g(r)與時(shí)間/的函數(shù)關(guān)系是g(/)=-r+35(0VfW30,

PN),則這種商品的日銷售金額的最大值是.

答案506

VrGN,.7=12或13時(shí)，ymax=506.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程

例1已知正方形A3CO的邊長(zhǎng)為4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開(kāi)始沿折線3CDA向A點(diǎn)運(yùn)

動(dòng).設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x,4ABP的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象是()

答案D

解析依題意知，

當(dāng)0W無(wú)W4時(shí)，/x)=2x；

當(dāng)4cxW8時(shí)，.*x)=8；

當(dāng)8<^^12時(shí)，兀0=24—2x,

觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求.

感悟提升判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法

⑴構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合

模型選圖象；

⑵驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，

驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.

訓(xùn)練1(2023?泰州調(diào)研)中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度

有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85c的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，

可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1

min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分

布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫(huà)茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律

()

A.y=//ix2+n(x>0)Bj=max+n(m>0,0<a<1)

x

C.y=ma+n(m>0,a>1)D.y=m\o§,ax+n(m>0,a>0,a#l)

答案B

解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且機(jī)>0,0<?<1,

考點(diǎn)二已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

例2我國(guó)在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結(jié)

果.人口增長(zhǎng)可以用英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的模型：y=yo-e”,其中/表示經(jīng)

過(guò)的時(shí)間（單位：年），yo表示f=0時(shí)的人口數(shù)（單位：億），r表示人口的年平均增

長(zhǎng)率.以國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記（已上報(bào)戶口）的全國(guó)總?cè)?/p>

口12.43億人（不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣地區(qū)）和2010年第六次人口普查登記（已上

報(bào)戶口）的全國(guó)總?cè)丝?3.33億人（不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣地區(qū)）為依據(jù)，用馬爾

薩斯人口增長(zhǎng)模型估計(jì)我國(guó)2020年年末（不包括香港、澳門(mén)和臺(tái)灣地區(qū)）的全國(guó)總

人口數(shù)為（13.332=177.6889,12.432=154.5049）（）

A.14.30億B.15.20億

C.14.62億D.15.72億

答案A

解析由馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型，得13.33=12.4333,

即10r13-33

1e=12.43，

所以我國(guó)2020年年末的全國(guó)總?cè)丝跀?shù)約為

cC13.332177.6889，…,“、

y—13.33e—設(shè)43—1243心14.30（億）.

感悟提升1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；

（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

訓(xùn)練2在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開(kāi)始，火箭的最大飛行速度。（單

位：千米/秒）滿足公式o=Mn（l+都，其中M為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，機(jī)為去除推進(jìn)

劑后的火箭有效載荷質(zhì)量（單位：噸），w為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對(duì)火箭的速度（單

位：千米/秒）.當(dāng)M=3加時(shí)，。=5.544千米/秒.在保持w不變的情況下，若機(jī)=25

噸，假設(shè)要使。超過(guò)第一宇宙速度達(dá)到8千米/秒，則M至少約為（結(jié)果精確到1,

參考數(shù)據(jù)：e2七7.389,In2七0693)()

A.135噸B.160噸

C.185噸D.210噸

答案B

解析當(dāng)M=3m時(shí)，0=5.544,

5.544_5.544

所以w—In4=21n2>

5.544.

由v=w\n-21n2lnl1+25j=8,

得ln（l+即比2,所以1+圣仁e2p7.389,

解得159.725心160（噸）,

即M至少約為160噸.故選B.

考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

角度1構(gòu)建二次函數(shù)模型

例3某城市對(duì)一種售價(jià)為每件160元的商品征收附加稅，稅率為H%（即每銷售

100元征稅R元），若每年銷售量為（30一|@萬(wàn)件，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，

則R的取值范圍是（）

A.[4,8]B.[6,10]

C.[4%,8%]D.[6%,10%]

答案A

解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬(wàn)元，需（30—|R）X160XR%2128,

整理得R2-12R+32W0,解得4W&W8,

即/?e[4,8].

角度2構(gòu)建分段函數(shù)模型

例4（2023?臨沂測(cè)試）已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬(wàn)元，每生產(chǎn)1

千件需另投入27萬(wàn)元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件（0<xW25）并全部銷售

完，每千件的銷售收入為R（x）（單位：萬(wàn)元），且R（x）=

fl08-1^2,0<xW10,

175

-x+—+57,10<xW25.

、A

⑴寫(xiě)出年利潤(rùn)段）（單位：萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量M單位：千件）的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大？(注:

年利潤(rùn)=年銷售收入一年總成本)

r3

解(1)當(dāng)OVxWlO時(shí)，兀c)=xH(x)—(100+27x)=8合一子一100；

當(dāng)10<xW25時(shí)，./(x)=xH(x)—(100+27x)=-f+30x+75.

8lx——100,OVxWlO,

故/U)=,

f+30x+75,10<x<25.

⑵當(dāng)OVxWlO時(shí),

由/(x)=81—f=—(x+9)(x—9),

得當(dāng)”W(0,9)時(shí)，了(力>0,Kx)單調(diào)遞增;

當(dāng)xW(9,10)時(shí)，/(x)V0,單調(diào)遞減.

故?r)max=犬9)=81X9-1X93-100=386.

當(dāng)10VxW25時(shí)，?r)=—/+301+75=—(x—15)2+300W300.

綜上，當(dāng)尤=9時(shí)，年利潤(rùn)取最大值386.

所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大.

感悟提升在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.

⑵建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)

知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.

(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

⑷還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.

訓(xùn)練3(1)(2023?重慶巴蜀中學(xué)月考)某公司的收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收

入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入為150億元，

理財(cái)業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計(jì)每年總收入比前

一年增加20億元.因越來(lái)越多的人開(kāi)始注重理財(cái)，公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從

2021年起每年通過(guò)理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的，倍.若要使得該公司2025年的保

險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的60%,則r的值至少為()

55

A.^24B.V^6

C.V14

答案A

解析由題意可知2025年的總收入為300億元.

因?yàn)橐髲?021年起每年通過(guò)理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的r倍,

所以2025年通過(guò)理財(cái)業(yè)務(wù)的收入為505億元,

所以300—50/W300X0.6,解得

故，的值至少為汨Z

⑵國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票

每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30,則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10

元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15

000元.

①寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；

②每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？

解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為X,由題意得0<xW75(xCN*),飛機(jī)票的價(jià)格為y元.

旅行社可獲得的利潤(rùn)為w元.

①(i)當(dāng)0?0時(shí)，y=900,

(ii)當(dāng)30<xW75時(shí)，y=900-10(x-30)=-10x+1200,

900,0WxW30,

綜上，有y=<,.

,I-10x+1200,30<x<75.

②當(dāng)0W尤W30時(shí)，w=900x—15000,

當(dāng)x=30時(shí)，wmax=900X30-15000=12000(元)；

當(dāng)30<xW75時(shí)，

訕=(—10x+l200)-x-15000=-10^+1200x-15000=-10(x-60)2+21000,

當(dāng)x=60時(shí)，w最大為21000元，

所以每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn).

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.在某種新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列

四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是（）

X1.992345.156.126

y1.5174.04187.51218.01

A.y=2x—2B.y=T（x2—1）

C.y=log2XD.y=k）glx

2

答案B

解析由題中表格可知函數(shù)在（0,+8）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增

大得越來(lái)越快，分析選項(xiàng)可知B符合，故選B.

2.據(jù)統(tǒng)計(jì)，第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y（只）近似滿足y=Alog3（x+l）,觀測(cè)

發(fā)現(xiàn)第2年有越冬白鷺1000只，估計(jì)第5年有越冬白鷺（In2^0.7,In

3F」）（）

A.1530只B.1636只

C.1830只D.1930只

答案B

解析???第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y（只）近似滿足y=0og3（x+l）,

且當(dāng)x=2時(shí)，y=\000,

，1000=Uog33,解得1=1000,

當(dāng)尤=5時(shí)，y=l000Xlog36=1000X（log33+log32）=10。。乂（1+耨卜1636.

3.（2022.永州二模）在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人

都沒(méi)有免疫力的情況下，每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本

傳染數(shù)為Ro,1個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人

接種過(guò)疫苗仔稱為接種率），那么1個(gè)感染者傳染人數(shù)為招（N—V）.已知某種傳染

病在某地的基本傳染數(shù)R）=4,為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1,則該地疫苗

的接種率至少為（）

A.45%B.55%

C.65%D.75%

答案D

解析為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過(guò)1,只需節(jié)（N—V）W1,

即囚（I一第wi.

V1

因?yàn)镽o=4,所以1—RWQ

V3

可得斤2彳=75%.故選D.

4.（多選）甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同

學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過(guò)的路

程y（km）與時(shí)間x（min）的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（）

A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60min

B.甲從家到公園的時(shí)間是30min

C.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快

D.當(dāng)0WxW30時(shí)，y與x的關(guān)系式為>=代為

答案BD

解析在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10min,

所以只走了50min,A錯(cuò)誤；

由題中圖象知，B正確；

甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長(zhǎng)，而距離相等，所以

甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯(cuò)誤；

當(dāng)0〈尤W30時(shí)，設(shè)y=^（AW0）,則2=30K解得左=上，D正確.

5.（2023?連云港質(zhì)檢）某企業(yè)投入100萬(wàn)元購(gòu)入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用

是0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元，由于

設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬(wàn)元.為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最

低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）

A.8B.10

C.12D.13

答案B

解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x（xGN*）,設(shè)備年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，

Y（2+2x）

則X年的設(shè)備維護(hù)費(fèi)用為2+4+6+…+2x=——2——=x（x+l），

所以x年的平均賽用

尸---------；--------=X+T+聲2yx?丁+廠受（萬(wàn)兀），

當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，等號(hào)成立，

因此，為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.

6.（2023?淮南一模）2020年9月22日，我國(guó)在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：二氧

化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨

和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，把二氧化碳轉(zhuǎn)

化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單位：萬(wàn)元）與處理

量x（單位：噸）。引120,500]）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為＞=

80/+50皿，xE[120,144）,

'為使二氧化碳每噸處理成本最低，則處

2X2-200A-+80000,%e[144,500],

理量x等于（）

A.120噸B.200噸

C.240噸D.400噸

答案D

解析由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本

-80x+5040,xG[120,144),

S=\

1200+竽問(wèn)144,5001,

當(dāng)％e[120,144)時(shí)，S=$2一80%+5040；

當(dāng)x=120時(shí)，S取得最小值240；

當(dāng)時(shí)，,180000

xW[144,500]S=gx—200+^^22產(chǎn)—--200=200,

I，口.」80000

當(dāng)且僅當(dāng)呼=—^一，

即x=400時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S取得最小值200.

綜上，所求處理量為400噸.故選D.

7.如圖，有一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，若尸處有一棵樹(shù)與兩墻的距離分別

是4m和am(0<aV12),不考慮樹(shù)的粗細(xì).現(xiàn)用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一

個(gè)矩形花圃ABCD,設(shè)此矩形花圃的最大面積為u,若將這棵樹(shù)圍在矩形花圃

內(nèi)，則函數(shù)"=負(fù)。)(單位：n?)的圖象大致是()

答案B

解析設(shè)AO長(zhǎng)為x,則CD長(zhǎng)為16一工

又因?yàn)橐獙點(diǎn)圍在矩形ABC。內(nèi)，

所以a?2,

則矩形ABCD的面積為16—x).

當(dāng)0VaW8時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=8時(shí)，u=64；

當(dāng)8V0V12時(shí)，u=a(16~a),

64,0V4W8,

所以u(píng)=\z、

a(16—a),8<a<12,

分段畫(huà)出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項(xiàng)中圖象接近.

8.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一

半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之

一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性

探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少要經(jīng)過(guò)個(gè)“半衰期”.

答案10

解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過(guò)〃個(gè)“半衰期”后的含

/甲1

由團(tuán)<1000,得〃20.

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)

過(guò)10個(gè)“半衰期”.

9.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過(guò)廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的.已知某

品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=crjA（a為常數(shù)），廣告效

應(yīng)為。=6回一A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng)為

（用常數(shù)。表示）.

答案

解析令t=/（f20）,則A=F,

.,?當(dāng)/■=%,即屋時(shí)，。取得最大值.

10.某地西紅柿上市后，通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q（單位：元/100千

克）與上市時(shí)間*單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間r60100180

種植成本。11684116

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t

的變化關(guān)系：

Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=ah',Q=a-log".

利用你選取的函數(shù)，求：

①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是；

②最低種植成本是元/100千克.

答案①120②80

解析因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)7=60和7=180時(shí)

種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變

化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q=aP+6+c,即Q=a（f—120）2+機(jī)描述，

a(60-120)2+m=116,?=0.01,

將表中數(shù)據(jù)代入可得解得<

a(100-120)2+m=84,/%=80,

所以<2=0.01(r-120)2+80,

故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值為80元/100千克.

11.某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)

狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為64

ppm,繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度

y(ppm)與排氣時(shí)間?分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系(c,機(jī)為常數(shù)).

⑴求c,機(jī)的值；

(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問(wèn)至少排氣多少分鐘，這個(gè)地

下車(chē)庫(kù)中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？

；4=<,

解(1)由題意可得〈,?

上周8,

fc=128,

兩式相除，解得1

[m-4,

(2)由題意可得128出<0.5,

所以，即528,解得「232.

故至少排氣32分鐘，這個(gè)地下車(chē)庫(kù)中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).

12.某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知

生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)尤臺(tái)，需另投入

-2X2+80X,0VXW40,

成本萬(wàn)元，且由市場(chǎng)調(diào)研知，該

G(x)G(x)="1201H,丁3600—2100,40〈后.100,

產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)卬⑴萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)=銷售收入一成本)；

(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解(1)由題意可得，當(dāng)0<xW40時(shí),

W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2^+120x-300；

當(dāng)40VxW100時(shí)，

,3600…八(,3600>,

W(x)=200x—(201x+—^—―2100j-300=-^+—J+1800,

-2^+120%-300,0<后40,

所以W(x)=<(x+咨當(dāng)+1800,40<x<100.

(2)若0V尤W40,W(X)=-2(X-30)2+1500,

所以當(dāng)X=30時(shí)，W(x)max=1500萬(wàn)元.

若40JW100,

卜^^)+1800W-+1800=-120+1800=1680,

W(x)=—x

3600

當(dāng)且僅當(dāng)

x=x

即X=60臺(tái)時(shí)，W(x)max=1680萬(wàn)元.

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元.

【B級(jí)能力提升】

13.(2022?北京密云區(qū)期末)心理學(xué)家有時(shí)使用函數(shù)Uf)=A(l-e一打)來(lái)測(cè)定在時(shí)間t

min內(nèi)能夠記憶的量L,其中A表示需要記憶的量，攵表示記憶率.假設(shè)一個(gè)學(xué)生

有200個(gè)單詞要記憶，心理學(xué)家測(cè)定在5min內(nèi)該學(xué)生記憶20個(gè)單詞，則記憶率

%所在區(qū)間為()

40,劾B局臺(tái)

C.￡,Io)D.41)

答案A

解析將A=200,t=5,L=20代入〃f)=A(l—e"),

9

解得。而，

其中y=ef?在R上單調(diào)遞減，

而(efFe,(9、-4loooo

lioj_6561<e

了=%-4在（0,+8）上單調(diào)遞減，

1?9

所以e-5X^=e-；<75>

III9

結(jié)合y=e*的單調(diào)性可知e-￡Ve-：Ve二V正，

IIIg

5X5X5X

即e--<e--<e--<iU，

9

而e-5x0=e0=l>Y^,

其中y=「5x為連續(xù)函數(shù)，

故記憶率左所在區(qū)間為（0,留.故選A.

14.（2023.惠州調(diào)研）某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度

d（每層玻璃的厚度相同）及兩層玻璃間夾空氣層厚度/對(duì)保溫效果的影響，利用熱

傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量q滿足關(guān)系式q=h其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為

=4X10、焦耳/（厘米,度），不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)22=2.5X10-4焦耳

/（厘米?度），為室內(nèi)外溫度差，q值越小，保溫效果越好，現(xiàn)有4種型號(hào)的雙

層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如表所示：

型號(hào)每層玻璃厚度。（單位：厘米）玻璃間夾空氣層厚度/（單位：厘米）

A型0.43

B型0.34

C型0.53

D型0.44

則保溫效果最好的雙層玻璃的型號(hào)是（）

A.A型B.B型

C.C型D.D型

答案D

[△7]4X1()-3X|△刀4*103義|△刀

解析由題意得,q=hpi/,4X103,--16/+2J-

《江+2J時(shí)尸/+2"

固定公刀，可知16/+24越大，q越小，保