遼寧省大連市2024屆九年級(jí)下學(xué)期中考一模數(shù)學(xué)試卷(含解析)

數(shù)學(xué)一．選擇題（共10小題，共30分）1.下列有理數(shù)中最小的是（）A. B. C.3 D.0答案：B解析：詳解：解：∵，∴最小的數(shù)是；故選B．2.下列幾何體中，俯視圖是三角形的是（）A. B.C. D.答案：B解析：詳解：解：A、俯視圖圓，故本選項(xiàng)不合題意；B、俯視圖是三角形，故本選項(xiàng)符合題意；C、俯視圖是有圓心的圓，故本選項(xiàng)不合題意；D、俯視圖是圓，故本選項(xiàng)不合題意．故選：B．3.下列圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A. B.C. D.答案：C解析：詳解：解：A選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；B選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；C選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，符合題意；D選項(xiàng)不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；故選C．4.下列計(jì)算正確的是（）A. B.C. D.答案：C解析：詳解：解：A．與不能合并，故A不符合題意；B．，故B不符合題意；C．，故C符合題意；D．，故D不符合題意；故選：C．5.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m＜－1 B.m＞0 C.m＜1且m≠0 D.m＞0且m≠1答案：D解析：詳解：解：關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,（m-1）≠0,且△＞0，即2-4(m-1)(-1)>0,解得m>0,m的取值范圍為m>0且m≠1,m>0且m≠1時(shí),關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+2x－1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.故選D.6.解分式方程分以下四步，其中錯(cuò)誤的一步是（）A.最簡(jiǎn)公分母是 B.去分母，得C.解整式方程，得 D.原方程的解為答案：D解析：詳解：解：方程兩邊同時(shí)乘以去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，∴原方程無(wú)解，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有D選項(xiàng)符合題意，故選：D．7.下列四個(gè)選項(xiàng)中，不符合直線的性質(zhì)與特征的是（）A.經(jīng)過(guò)第一、三、四象限 B.隨的增大而增大C.與軸交于點(diǎn) D.與軸交于點(diǎn)答案：C解析：詳解：解：∵＞0，﹣3＜0，∴該直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，y隨x的增大而增大，故A、B選項(xiàng)正確，∵當(dāng)y=0時(shí)，由0=x﹣3得：x=6，∴該直線與x軸交于點(diǎn)（6，0），故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3，∴該直線與y軸交于點(diǎn)（0，﹣3），故D選項(xiàng)正確，故選：C．8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作之一《孫子算經(jīng)》中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問(wèn)人與車各幾何？意思是：今有若干人乘車，若每3人共乘1輛車，最終剩余2輛車；若每2人共乘1輛車，最終剩余9個(gè)人無(wú)車可乘，問(wèn)共有多少人，多少輛車？設(shè)共有x輛車，根據(jù)題意所列方程正確的是（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：依題意得：，故選：B．9.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過(guò)光心O的光線相交于點(diǎn)P，點(diǎn)F為焦點(diǎn)．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：B解析：詳解：解：∵光線平行于主光軸，∴，又，∴，∵，∴，∴，故選：B．10.如圖，已知．按如下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交和于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線；④連接．由作圖可知的度數(shù)為（）A. B. C. D.答案：D解析：詳解：解：根據(jù)作圖可知是的角平分線，，又，∴，∵，∴故選：D．二．填空題（共5小題，共15分）11.計(jì)算：________．答案：解析：詳解：解：，故答案為：．12.如圖，將某動(dòng)物園中的猴山，獅虎山，熊貓館分別記為M，N，P，若建立平面直角坐標(biāo)系，將猴山M，獅虎山N用坐標(biāo)分別表示為(2，1)和(8，2)，則熊貓館P用坐標(biāo)表示為________．答案：(6，6)解析：詳解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，∴熊貓館P用坐標(biāo)表示為(6，6)，故答案為：(6，6)．13.有四張完全一樣正面分別寫有“決”“勝”“中”“考”的卡片，將其背面朝上并洗勻，從中隨機(jī)抽取一張，記下卡片正面上的漢字后放回，洗勻后再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張，則抽取的兩張卡片上的漢字不相同的概率是__________________．答案：##解析：詳解：解：根據(jù)題意列表如下：

決勝中考決決決勝?zèng)Q中決考勝勝?zèng)Q勝勝勝中勝考中中決中勝中中中考考考決考勝考中考考共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的漢字不相同的有12種情況，所以P（抽取的兩張卡片上的漢字不相同）．故答案為：．14.如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以為邊在第二象限作正方形，已知雙曲線過(guò)點(diǎn)D，則_______．答案：解析：詳解：解：當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，解得，，∴，∴，∵正方形，∴，如圖，作軸于，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，將代入得，，解得，，故答案為：．15.如圖，在矩形中，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F落在矩形一邊的垂直平分線上時(shí)，的長(zhǎng)為______．答案：或解析：詳解：解：分兩種情況：①如圖1，過(guò)F作交于M，交于N，則直線是邊的垂直平分線，∴，∵沿折疊得到，∴，∴，∴，∴，∴，解得：，∴；②如圖2，過(guò)F作交于P，交于Q，連接，則直線是邊的垂直平分線，∴，，又∵，∴，∴等邊三角形，，∴，∴設(shè)，則，在，即，解得：或（舍去）綜上所述：的長(zhǎng)為或；故答案為：或．三．解答題（共8小題，共75分）16.（1）計(jì)算：．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．答案：（1）；（2），解析：詳解：解：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，原式．17.某中學(xué)為了創(chuàng)建書香校園，去年購(gòu)買了一批圖書.其中科普書的單價(jià)比文學(xué)書的單價(jià)多4元，用1200元購(gòu)買的科普書與用800元購(gòu)買的文學(xué)書本數(shù)相等.（1）求去年購(gòu)買的文學(xué)書和科普書的單價(jià)各是多少元？（2）若今年文學(xué)書的單價(jià)比去年提高了，科普書的單價(jià)與去年相同，為了普及科普知識(shí)，書店舉辦了每買三本科普書就贈(zèng)一本文學(xué)書的優(yōu)惠活動(dòng)，這所中學(xué)今年計(jì)劃在優(yōu)惠活動(dòng)期間，再購(gòu)進(jìn)文學(xué)書和科普書共200本，且購(gòu)買文學(xué)書和科普書的總費(fèi)用不超過(guò)1880元，這所中學(xué)今年最多能購(gòu)進(jìn)多少本文學(xué)書？答案：(1)去年購(gòu)買的文學(xué)書單價(jià)為8元，科普書單價(jià)為12元;(2)110解析：詳解：解：（1）設(shè)去年購(gòu)買文學(xué)書的單價(jià)為x元/本，則購(gòu)買科普書的單價(jià)為（x+4）元/本，

根據(jù)題意得：

解得：x=8，

經(jīng)檢驗(yàn)：x=8是原分式方程的解，

∴x+4=12．

答：去年購(gòu)買的文學(xué)書單價(jià)為8元/本，科普書單價(jià)為12元/本．

（2）今年文學(xué)書的單價(jià)為8×（1+25%）=10（元/本）．

設(shè)今年購(gòu)進(jìn)y本文學(xué)書，則購(gòu)進(jìn)科普書（200-y）本，

根據(jù)題意得：，

解得：y≤110，

∴y的最大值為110．

答：今年最多能購(gòu)進(jìn)110本文學(xué)書．18.4月23日是世界讀書日，習(xí)近平總書記說(shuō)：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣．”某校響應(yīng)號(hào)召，鼓勵(lì)師生利用課余時(shí)間廣泛閱讀．該校為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了部分學(xué)生每周用于課外閱讀的時(shí)間，過(guò)程如下：a．設(shè)計(jì)方案學(xué)校設(shè)計(jì)了以下三種抽樣調(diào)查方案：方案一：從初一、初二、初三年級(jí)中指定部分學(xué)生作為樣本進(jìn)行調(diào)查分析；方案二：從初一、初二年級(jí)中隨機(jī)抽取部分男生及在初三年級(jí)中隨機(jī)抽取部分女生進(jìn)行調(diào)查分析；方案三：從三個(gè)年級(jí)全體學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查分析．b．收集數(shù)據(jù)：抽取的20名學(xué)生每周用于課外閱讀時(shí)間的數(shù)據(jù)如下：（單位：min）3060815040110130146801006080120140758110308192c．整理數(shù)據(jù)按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)：課外閱讀時(shí)間x（min）0≤x＜4040≤x＜8080≤x＜120120≤x＜160等級(jí)DCBA人數(shù)（人）3a8bd．分析數(shù)據(jù)繪制如下條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖：請(qǐng)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)調(diào)查結(jié)果，回答下列問(wèn)題：（1）抽取的樣本具有代表性的方案是；（填“方案一”“方案二”或“方案三”）．（2）a＝，b＝，c＝；（3）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并求出B等級(jí)所在扇形的圓心角的度數(shù)；（4）如果每周閱讀時(shí)間不低于80分鐘為優(yōu)秀，請(qǐng)估計(jì)該校800名學(xué)生優(yōu)秀人數(shù)為多少？答案：（1）方案三；（2）5，4，25；（3）圖見(jiàn)解析，；（4）480人解析：詳解：解：（1）根據(jù)抽樣的代表性、普遍性和可操作性可得，抽取的樣本具有代表性的方案是方案三，故答案為：方案三；（2）由已知數(shù)據(jù)知a=5，b=4；c%=×100%=25%，∴c=25，故答案為：5，4，25；（3）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖：B等級(jí)所在扇形的圓心角的度數(shù)是：360°×40%=144°；（4）估計(jì)該校800名學(xué)生優(yōu)秀人數(shù)為：800×（40%+20%）=480（人）．19.鮮花是云南的名片，更是云南送給世界的禮物．在日新月異的技術(shù)加持下，云南鮮花為各地帶去了來(lái)自高原的芬芳與絢爛．元旦前夕，某批發(fā)商購(gòu)進(jìn)兩種類型的玫瑰花共100束，其中種類型的玫瑰花價(jià)格為每束25元，購(gòu)買種類型的玫瑰花所需費(fèi)用（單位：元）與購(gòu)買數(shù)量（單位：束）的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）若購(gòu)買種類型玫瑰花所需的數(shù)量不超過(guò)60束，但不少于種類型玫瑰花的數(shù)量，試問(wèn)如何購(gòu)買能使購(gòu)買費(fèi)用最少，并求出最少費(fèi)用．答案：（1）（2）購(gòu)買種類型的玫瑰花40束，購(gòu)買種類型的玫瑰花60束時(shí)，購(gòu)買費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元解析：小問(wèn)1詳解：解：由圖知：當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為，把點(diǎn)代入得到，，解得，∴．當(dāng)時(shí)，設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為．它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)．，解這個(gè)方程組，得，∴，與的函數(shù)關(guān)系式為．小問(wèn)2詳解：設(shè)購(gòu)買種類型玫瑰花的數(shù)量為束，則A種類型的玫瑰花的數(shù)量為束，總費(fèi)用為元．由題知：且，解得．．，隨增大而減小．，當(dāng)時(shí)，有最小值為元．此時(shí)，A種類型的玫瑰花：（束）．答：購(gòu)買種類型的玫瑰花40束，購(gòu)買種類型的玫瑰花60束時(shí)，購(gòu)買費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為元．20.太陽(yáng)能路燈具有安全性能高、節(jié)能環(huán)保、經(jīng)濟(jì)實(shí)用等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于主、次干道，工廠，旅游景點(diǎn)等場(chǎng)所．如圖是太陽(yáng)能板及支架部分的示意圖，是太陽(yáng)能板，點(diǎn)A與點(diǎn)B是支架部分與太陽(yáng)能板的連接點(diǎn)，點(diǎn)C是支架部分與燈桿的連接點(diǎn)，點(diǎn)D是燈桿上一點(diǎn)，支架的長(zhǎng)為，與燈桿的夾角，支架的長(zhǎng)為，與燈桿的夾角，點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在同一豎直平面內(nèi)，求點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度差．（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）答案：點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度差約為；解析：詳解：解：如答圖，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，在中，，，，∵，∴，∴，在中，，，，∵，∴，∴，∴，答：點(diǎn)A和點(diǎn)B距地面的高度差約為．21.如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)D為上異于A、B的兩點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作，交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AC、AD．（1）若，求證：CE是的切線．（2）若的半徑為，，求AC的長(zhǎng)．答案：（1）見(jiàn)解析（2）4解析：小問(wèn)1詳解：解：連接OC，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠COB=2∠OAC，∵∠BDC=∠OAC，∠ABD=2∠BDC，∴∠COB=∠ABD，∴OC//DE，∵CE⊥DB，∠CED=90°，∴∠OCE=90°，OC⊥CE，∴CE是⊙O的切線．小問(wèn)2詳解：連接BC，∵∠BDC=∠BAC，∴=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BCA=90°，∴，設(shè)BC=x，AC=2x，∴AB=，∵⊙O的半徑為，∴，∴x=2，∴AC=2x=4．22.一場(chǎng)籃球賽中，小明跳起投籃，已知球出手時(shí)離地面高米，與籃圈中心的水平距離為8米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時(shí)到達(dá)最大高度4米，設(shè)籃球運(yùn)行的軌跡為拋物線，籃圈中心距離地面3米．（1）按如圖所示建立的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式：（2）小明的這次投籃未能命中籃圈中心，請(qǐng)說(shuō)明理由：（3）假設(shè)出手的角度和力度都不變，請(qǐng)直接回答：小明應(yīng)該向前走或向后退多少米才能命中籃圈中心？答案：（1）（2）小明的這次投籃未能命中籃圈中心，理由見(jiàn)解析（3）小明應(yīng)該向前走1米才能命中籃圈中心解析：小問(wèn)1詳解：解：由題意可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，球出手時(shí)的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將代入得：，解得：，；小問(wèn)2詳解：解：，當(dāng)時(shí)，，小明的這次投籃未能命中籃圈中心；小問(wèn)3詳解：解：出手的角度和力度都不變，設(shè)拋物線的解析式為，將代入得：，，解得：，，向前走7米，因?yàn)樵瓉?lái)是八米，向前七米，還剩一米呢！應(yīng)該是球處于上升趨勢(shì)，故舍去．小明應(yīng)該向前走1米才能命中籃圈中心．23.探究性學(xué)習(xí)（1）問(wèn)題初探：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問(wèn)題：如圖，在中，．點(diǎn)D在外，連接，且．過(guò)A作于點(diǎn)E．求證：．①如圖，小輝同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取，連接，將線段之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．②如圖，小龍同學(xué)從于點(diǎn)E這個(gè)條件出發(fā)給出另一種解題思路：過(guò)A作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，將線段之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過(guò)程．（2）類比分析：張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將證明三條線段的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明兩條線段的數(shù)量關(guān)系；為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，張老師提出下面的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．如圖，為等邊三角形，是等腰直角三角形，其中是邊上的中線，連接交與點(diǎn)F．求證：．（3）學(xué)以致用：如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)B作交延線于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)F，連接，使，連接交