四川2022-2023學(xué)年高三年級下冊二診熱身考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

川大附中20222023學(xué)年下期高三二診熱身考試試題

高三數(shù)學(xué)理科

第I卷(共60分)

一、選擇題：本小題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的選項中，只有一項是

符合要求的.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足Z(1T)=R+",i為虛數(shù)單位，貝Ijz=()

A.iB.—+—iC.-+-iD.1+i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量的除法和向量模的求法，變形的」=回=正=百^+--,即可求解.

1-i1-i(l-i)(l+i)

【詳解】2=^—■——————I1,

1-i1-i1-i(l-i)(l+i)222

故選：B

2.設(shè)集合M={x|x<l或xN3},iV={x|log2x<l},則集合McN=()

A.(—8』B.(0,1]C.[1,2]D.(-0o,0]

【答案】B

【解析】

【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)化簡集合N,再結(jié)合交集的運算求解即可.

【詳解】由題知，；V={x|log2x<l}={x|0<x<2},

又M={x|x4l或x23},

則McN={x[0<x<l},即xe(0,l].

故選：B

3.拋物線x=4V的準(zhǔn)線方程是()

11

A.x----B.x二——

168

11

C.y=——D.廣一二

16

【答案】A

【解析】

【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)型，利用拋物線的準(zhǔn)線方程可得答案.

,111

【詳解】因為丁二片’所以功="所以準(zhǔn)線方程為戶一記

故選：A.

4.根據(jù)第七次全國人口普查結(jié)果，居住在城鎮(zhèn)的人口為90199萬人，占全國人口的63.9%,與第六次全國

人口普查相比，城鎮(zhèn)人口比重上升14.2個百分點.隨著我國新型工業(yè)化、信息化和農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化的深入發(fā)展

和農(nóng)業(yè)轉(zhuǎn)移人口市民化政策落實落地，10年來我國新型城鎮(zhèn)化進程穩(wěn)步推進，城鎮(zhèn)化建設(shè)取得了歷史性成

就.如圖所示的是歷次全國人口普查城鄉(xiāng)居住人口及城鎮(zhèn)居住人口比重的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息，下列說

法錯誤的是（）

9o

90000

城

城8o

80000鎮(zhèn)

鄉(xiāng)

7o

居

居70000

63

住

住6o

60000

人

人49685O

口

數(shù)50000

的

萬4o

40000

3o比

30000重

2o

20000(%

1O

10000

0

195319641990200020102020

匚二I城鎮(zhèn)居住人口（萬人）匚二I鄉(xiāng)村居住人口（萬人）

——城鎮(zhèn)居住人口比重（%）

A.這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口先增加后減少

B.城鎮(zhèn)居住人口的比重的中位數(shù)為26.44%

C.鄉(xiāng)村居住人口的極差不超過25000萬

D.這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口的平均數(shù)超過城鎮(zhèn)居住人口的平均數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖及相關(guān)知識即可判斷.

【詳解】對A,由圖可知這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口先增加后減少，A正確;

對B,由圖可知城鎮(zhèn)居住人口的比重的中位數(shù)為26.44%,B正確；

對C,由圖可知鄉(xiāng)村居住人口的極差超過25000萬，C錯誤；

對D,由圖可知，村居住人口的整體數(shù)據(jù)基本都大于城鎮(zhèn)居住人口的數(shù)據(jù)，

故這七次全國人口普查鄉(xiāng)村居住人口的平均數(shù)超過城鎮(zhèn)居住人口的平均數(shù)，D正確.

故選：c.

5.下列命題中錯誤的是（）

A.命題“電eR,x；+1<1”的否定是“VxeR,x~+1>V,

B.命題“若°>b,貝1J2">26—1”的否命題為“若，則

C.“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的充分不必要條件

D.若“p或為假命題，則p,q均為假命題

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題即可判斷A；根據(jù)否命題的定義即可判斷B；根據(jù)兩直線

的斜率與平行的關(guān)系即可判斷C；根據(jù)復(fù)合命題的真假即可判斷D.

【詳解】對于A,命題“玉片+1<1”的否定是“\/》€(wěn)-x2+l>r\故A正確；

對于B,命題“若a>b,則2"〉2"-1”的否命題為“若，則2adi故B正確；

對于C,若兩直線斜率相等，則兩直線平行或重合，

若兩直線平行，則兩直線斜率相等，或兩直線斜率都不存在，

所以“兩直線斜率相等”是“兩直線平行”的既不充分也不必要條件，故C錯誤；

對于D,若〉或q"為假命題，則2，q均為假命題，故D正確.

故選：C.

6.已知。=log39,人=《*，。=痣執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）

（開始）~~/輸入。，1X=a|~出工/^結(jié)束）

是---n是----

—>x=b—?x=c

A.2B.1C.次D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)程序框圖比較見“c的大小，輸出三個數(shù)中的最小值.

【詳解】根據(jù)程序框圖可知，執(zhí)行程序輸出的結(jié)果是。，“c三個數(shù)中的最小值.

1J1

2

因為。=1°§39=2,b=c=—9\<c—V2<2，

2

所以。>c>6,所以輸出的值為

2

故選：B.

7.若點尸是曲線y=lnx--上任意一點，則點尸到直線/:x+y-4=0距離的最小值為（）

B

A.—B.V2C.2A/2D.472

2

【答案】C

【解析】

【分析】由題知過點尸作曲線y=lnx-/的切線，當(dāng)切線與直線/：x+?—4=0平行時，點尸到直線

/:x+y-4=0距離的最小，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】解：過點尸作曲線y=lnx-/的切線，當(dāng)切線與直線/:x+y-4=0平行時，點尸到直線

/:x+y—4=0距離的最小.

設(shè)切點為P（%,外）（4〉0）,y'=——2x,

X

71C

所以，切線斜率為左=-—2x0,

%

1c,1

由題知----2%=-1得%=1或%=—（舍），

%2

11—1—41/-

所以，P（l,-1）,此時點尸到直線/:x+y—4=0距離d」&i=2〃2.

故選：C

8.如圖，在平面四邊形48co中，CD=C，N4DC=45°,ZACD=105°,ZS=60°,三角形48。

的面積為百，則48+5C=（）

A.2B.4C.2+V3D.2G

【答案】B

【解析】

【分析】由正弦定理，結(jié)合N4DC=45。，zL4C￡>=105°,可得ZC=2.由三角形45。的面積為G，可

得4B-8C=4.由余弦定理可得/序+臺。？=8,后可得答案.

【詳解】在△ZCD中，ACAD=180°-ZACD-ZADC=30°,

CDAC拒=4c

由正弦定理有：————=----------,即1-6,解得NC=2.

smZCADsmZADCr匚

22

由三角形的面積公式有：^c=-^S-5C-sinS=V3,則48/C=4.

在AZ8C中，由余弦定理有：

AC2=AB2+BC--2AB-BC-cosB4=AB2+BC2-AB2+BC2=8.

則/52+5。2+2/氏8。=（/5+8。）2=160AB+BC=A.

故選：B

9.為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國國家隊甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三

人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到

甲手，則傳法總數(shù)為（）

A.30B.24C.21D.12

【答案】C

【解析】

【分析】通過4次傳球后仍回到甲手得出第四次傳球只能傳給甲，由此得出限制條件，根據(jù)分步乘法即可

計算出傳法總數(shù).

【詳解】由題意，

四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一

人，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手，

，第1次傳球有3種方法，第2次傳球分成“在甲手中”和“不在甲手中”兩類方法，

第3次傳球，球也不一定在甲手中；第4次傳球只能在甲手中；

當(dāng)?shù)?次傳球后球在甲手中時，

則第3次傳球可能為丙或乙或丁，共3種方法；

當(dāng)?shù)?次傳球后球不在甲手中時，有2種方法，

則第3次傳球有2種方法.

，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲的傳法總數(shù)為:

3x(lx3+2x2)=21,

球仍回到甲的傳法總數(shù)為21種,

故選：C

10.已知函數(shù)/(x)=Zsin(ox+9“Z>0,的圖象如圖所示，圖象與x軸的交點為

MR,0J,與y軸的交點為N,最高點P0,4),且滿足NMLNP.若將/(X)的圖象向左平移1個單

位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x),則g(0)=()

D.V10

2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意得7=6,(p=\進而得N[o,g),再根據(jù)7WLNP結(jié)合向量垂直關(guān)系的表示解得

Z=J而，進而得/(x)=JHJsin[；x+tJ,再根據(jù)平移變換得g(x)=JI5cosmx,最后求函數(shù)值即

可.

T53

【詳解】解：由題知，函數(shù)/(X)的周期T滿足I=4=5-1=5,解得7=6,

,2兀71

所以。=—=—

63

聯(lián),o］得:xg+/=n+2kn^keZ),

由圖象與x軸的交點為M

7171

因為所以0=巴，即/(x)=/sin—x+—

2636

所以，/(X)圖象與y軸的交點為N,,1

解得z=JHJ(負(fù)舍),

所以/(x)=VlOsin[]x+.J,

所以若將/(x)的圖象向左平移1個單位得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為

g(x)g(x)=V10sinj—x+—|=yJlQcos—x,

所以g(o)=Vn).

故選：D

11.己知正四面體紙盒的俯視圖如下圖所示，其中四邊形是邊長為2的正方形，若在該正四面體紙盒

內(nèi)放一個正方體，使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體棱長的最大值是()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)俯視圖求出正四面體的棱長，要使得正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正方體在正四面體的

內(nèi)切球內(nèi)，然后可求解.

【詳解】根據(jù)俯視圖可知正四面體的位置是ZC放在桌面上，AD平行桌面，

則幾何體的直觀圖如圖，則80=2夜.

在該正四面體紙盒內(nèi)放一個正方體，使正方體可以在紙盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動.

則正方體為正四面體的內(nèi)切球的內(nèi)接正方體.

B

設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為，由正四面體的體積得：

11h

%=]5底，=]5表子,貝Ur=“

所以r=；J（2亞丁—（gx'x2近了=?.

設(shè)正四面體的內(nèi)切球的內(nèi)接正方體的棱長為瓢

則s/3a=2r=22m則。.

33

所以正方體棱長的最大值是為三2.

故答案為:A

【點睛】本題考查正四面體的俯視圖及其內(nèi)切球，球的內(nèi)接正方體的知識，屬于難題.

12.已知函數(shù)/0）=3-2把2工一伍+2）洸*+/有三個零點西,》2，》3，且再＜》2＜遍，則

A.8B.1C.-8D.-27

【答案】D

【解析】

2

【分析】根據(jù)題意可得：（4）-（?+2）~+?-2=0有三解,令"二，由g（x）=4的圖像可得故t=—

eeeee

x

最多只有兩個解，所以/—（a+2）1+a—2=0有兩解=右，tx+t2=a+2,tct2=a-2,丁=匕有一解

e

x

為X],二二/2有兩解為％2，工3,代入即可得解.

e

【詳解】由/（、）=/[（二y—伍+2）+a—2—0,

X

即-（67+2）+。-2=0有三解,

令設(shè)g（x）=，

g\x）=]—^,

e

當(dāng)xe（—8』）,g'（x）＞0,g（x）為增函數(shù),

當(dāng)）€（1,+00）送'（》）＜0,g（尤）為減函數(shù),

1

------------------―，2

g(無)圖像如圖所示:I:?

1/X21x3x

tl

X

故最多只有兩個解,

若要(尹-(。+2)?+”2=0有三解,

則—一(。+2＞，+。-2=0有兩解，

t——‘2，/]+/2=4+2,/]./2=4-2,

x

故有一解為七，

e

x

—=t2有兩解為x2,x3,

3333

=(1—4)?(1—)=(1—?1—?2+t[t2)=(1—(7—2+(2—2)=(―3)=—27,

故選：D

第n卷(共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

13.1x+工—的展開式中，常數(shù)項是.

【答案】-20

【解析】

【分析】將三項式轉(zhuǎn)化為,根據(jù)(x-展開式的通項，可知當(dāng)尸=3時取得常數(shù)項.

【詳解】(x+--23^x2-2x+P1）6

X7x3

66rr

(%-i)展開式的通項為Tr+1=qx-.(-i),

二當(dāng)6—r=3,即r=3時，可得口+工―展開式的常數(shù)項為《x(—以=_20.

故答案為：-20.

14.某學(xué)校共1000人參加數(shù)學(xué)測驗，考試成績J近似服從正態(tài)分布N(100,〃)，若P(80<<^<100)=0.45,

則估計成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為.

【答案】50

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由已知可得，〃=100,所以PC2100)=0.5.

又P(80<^<100)=0.45,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得P(100<^<120)=0.45,

所以PC?120)=P代>100)-P(100<^<120)=0.5-0.45=0.05.

所以，可估計成績在120分以上的學(xué)生人數(shù)為1000x0.05=50.

故答案為：50.

15.如圖，在扇形048中，N/O8=120。，02=08=2,點M為03的中點，點尸為曲邊Ml"區(qū)域內(nèi)

任一點(含邊界)，若麗=加厲+〃。而，則加+〃的最大值為.

【解析】

【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可得皿=3>,n=x+—y,進而根據(jù)線性規(guī)劃求截距

33

最大或者根據(jù)三角換元法即可求解.

【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示,

設(shè)3(2,0),貝iJM(l,0),Z(—1,G)；

o2=（-i,V3）,麗=（i,o）；

由尸是區(qū)間內(nèi)的任意點（x,y）,且而二加刀+”兩，

（x,y）=（-w+n,,

._/TV3V3

..x=n-m,y=73m;m=~^~yf〃=x+-^-y，

2V3、幾26V3V3

:.m+n=x-\----y,lx.z=xH-----y,Bf|mJy=----x-\----z，

33,-22

用線性區(qū)域的方法，平移NM直到于圓弧相切，與了軸相交于W,

此時直線截距最大，切點就是滿足條件的點P；

由于此時切線的斜率為左=-@

2

7TV32

此時10H=2?=PMO+-，由止匕tanDPMO

2~T7T

故10Ml-sinDPMO”--",因此此時@z=J?Dz=氈］

近23

即加+〃=z的最大值為巫，

3

故答案為：馬包.

3

22

16.點片，片是雙曲線6:二-3=1（°>0,6>0）的左、右焦點，過點居作直線48LE閔交雙曲線。于4

ab

3兩點，現(xiàn)將雙曲線所在平面沿直線耳匕折成平面角為銳角a的二面角，如圖.翻折后4,5兩點的對應(yīng)點

,,八1-coscr25

分別為/，，"，"卒=外若匚麗=記，則雙曲線。的離心率為一?

【解析】

z5

【分析】設(shè)|4月|=討/'8'|=刈4耳|=2,根據(jù)余弦定理結(jié)合條件得到；=7,再轉(zhuǎn)化成生。的方程，即

可得答案

【詳解】設(shè)N月|=》,|/2[=x,|4片卜z,

.1-cosdf_2y2_z2_25

1-cosPlz2-x2y216

1------o—

2z2

z5%]

...y一二一9一4,/.3b2=Sac>.,.3（c2-a2）=8ac,/.3e?-8e-3=0,解得e=3或0=——

'4戰(zhàn)一五一五一33

（舍去）.

故答案為：3

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，log3〃+iT=log3〃，且2a“=4+1+41（/?2）.53=Z?3=9,

b4=?14.

（1）求數(shù)列｛%｝和也｝的通項公式；

（2）若c“=%+i也+1，求數(shù)列匕｝的前,項和北.

【答案】（1）〃=3"T,a?=2n-l

（2））=〃-3"+1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運算得方*=3,利用等比數(shù)列定義求通項公式，利用等差中項判斷數(shù)列｛%｝為等

差數(shù)列，建立方程求出公差，從而可得｛%｝的通項;

(2)利用錯位相減法計算即可.

【小問1詳解】

log3bn+l-1=log3bn,：.log3bn+x=log3（3Z）?）,則空=3,所以也｝為等比數(shù)列,

又a=9,得。=1,所以a=3"T,

由2%=a“+i+%_］知｛%｝是等差數(shù)列，且4=/4=27,53=9,

%+13d=27

,得q=1,d=2.ct=2n—1.

3%+3d=9n

【小問2詳解】

因為%=2〃—1,b—z,所以?！?%+］也+1=（2〃+1）3",

所以7；=33+5-32+7?33+—+（2〃—l）-3"T+（2〃+l）-3”

則37；=3-32+5?33+7?34+—+（2〃—l）-3"+（2〃+l）-3"M

上面兩式作差得—2〈=32+2-32+2?33+―+2-3"—（2"+1）3'+I

=9+2-（2?+l）-3,2+1=-2w3K+1,

n+l

：.Tn=n-3

18.2022年12月2日晚，神舟十四號、神舟十五號航天員乘組進行在軌交接儀式，兩個乘組移交了中國空

間站的鑰匙，6名航天員分別在確認(rèn)書上簽字，中國空間站正式開啟長期有人駐留模式.為調(diào)查大學(xué)生對中

國航天事業(yè)的了解情況，某大學(xué)進行了一次抽樣調(diào)查，若被調(diào)查的男女生人數(shù)均為20〃(〃eN*),統(tǒng)計得

到以下列聯(lián)表，經(jīng)計算，有97.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān)，但沒有99%的

把握認(rèn)為該校學(xué)生對中國航天事業(yè)的了解與性別有關(guān).

男生女生合計

了解10〃

不了解5n

合計

（1）求〃的值；

（2）將頻率視為概率，用樣本估計總體，從全校男學(xué)生中隨機抽取5人，記其中了解中國航天事業(yè)的人數(shù)

為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附表：

P/Nkq)0.100.050.0250.010.001

k02.7063.8415.0246.63510.828

2

<2_n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【答案】(1)77=2

(2)分布列見解析，3.75

【解析】

【分析】（1）根據(jù)被調(diào)查的男女生人數(shù)均為20”,完成列聯(lián)表，代入K?公式進行計算，得出結(jié)果后解不等

式5.024WK?<6.635即可.

（1）由已知得工~8[5,1）,根據(jù)二項分布得出X的分布列及數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

由已知，完成列聯(lián)表,

男生女生合計

了解15〃10〃25n

不了解5n10〃15n

合計20〃20〃40〃

將數(shù)值代入公式可得K?的觀測值：K2=-"（ISO'…,）=網(wǎng),

20〃x20〃x25〃xl5〃3

8〃

根據(jù)條件，可得5.0244—<6.635,解得1.884V〃<2.488,

3

因為"EN*，所以〃=2.

【小問2詳解】

3

由(1)知，樣本的男生中了解中國航天事業(yè)的頻率為一,

4

用樣本估計總體，從全校男生中隨機抽取一人，了解中國航天事業(yè)的概率為

15

p(x=o)=4m/人P(X=1)=C；

前41024

RX=2)TCH270135

1024-512)

P(x=4Y軟*"(iYL=需

則X的分布列為

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

315

￡(X)=5x-=—=3.75.

44

19.如圖，。是以48為直徑的圓O上異于/,8的點，平面平面48CQR4C為正三角形，E,F

分別是尸C,尸8上的動點.

(1)求證：BCLAE-,

(2)若E,尸分別是PC,P8的中點且異面直線/方與所成角的正切值為18,記平面ZEE與平面

2

45c的交線為直線/,點。為直線/上動點，求直線尸。與平面所成角的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

⑵【吟

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明5C1平面上4C,即可證明

（2）由已知結(jié)合線面平行的判定定理知BC//平面結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理知5。/〃，建立空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)。（2,/,0）,求出平面/E9的一個法向量，利用空間向量求線面角即可得解.

【小問1詳解】

證明：因為C是以為直徑的圓。上異于4,2的點，所以5c1AC,

又平面PAC1平面ABC,且平面PACA平面ABC=ZC,3Cu平面ABC,

所以BC1平面R4C,ZEu平面上4C.

所以BCLZE

【小問2詳解】

由E,尸分別是尸C,尸5的中點，連結(jié)/瓦￡/，所以BC〃EF,由（1）知BC_LZ￡,

所以所以在RSAFE中，N4FE就是異面直線/尸與所成的角.

因為異面直線/尸與5c所成角的正切值為必，

2

所以tan/AFE=苴，即理=1

2EF2

又EFu平面AEF,BC（Z平面AEF,

所以3C//平面NEE,又BCu平面平面EE4c平面=

所以BC〃/

所以在平面48。中，過點/作的平行線即為直線/.

以C為坐標(biāo)原點，C4CN所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面45c的直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，設(shè)/C=2.

因為△P/C為正三角形所以ZE=G，從而EE=2

由已知E,尸分別是尸C,尸8的中點，所以8C=2EE=4

則N(2,0,0),8(0,4,0),P(l,0,G)，所以E5,0,三，/5,2,y

—(30—

所以/E=--,0,^,EF=(0,2,0),

I22)

因為8?！?,所以可設(shè)。(2工0),平面4所的一個法向量為送=(、//),

—TT,__3xy(3z_

則<么-m=-T+^-=，取z=G，得應(yīng)=(i,o,G),

EF.應(yīng)=2y=0

G?

又尸。=(1,Z9-A/3),則Icos〈尸°,冽)|=-=If^y

\PQ\'\m\V4+Z2<2

1

設(shè)直線尸。與平面/斯所成角為8,貝!]sin。=K?

所以直線與平面/所所成角的取值范圍為[o,7.

20.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓

22

。：1+4=1伍〉6〉0),長軸44長為4,從一個焦點廠發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之

ab

后恰好與X軸垂直，且PE=3.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點。為直線x=4上一點，且。不在x軸上，直線。4,與橢圓C的另外一個交點分別為“，N,

△。九W的面積分別為S],星，求要的最大值.

設(shè)△。44,

22

【答案】(1)土+乙=1

43

【解析】

3

【分析】（1）利用長軸長求出。，利用橢圓定義求出尸6=2,進一步求出即可得橢圓方程；（2）設(shè)

直線，聯(lián)立方程求出M、N的坐標(biāo)，把面積比轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比，進一步轉(zhuǎn)化為分式函數(shù)求最值問題

【小問1詳解】

不妨設(shè)廠、巴是橢圓的左焦點、右焦點，

則尸軸，又因為尸尸=1,2a=4,

所以PF,=2a—PF=3,即:L=3,所以〃=3,

2a2

22

所以橢圓c的方程為二+乙=1.

43

【小問2詳解】

設(shè)。（4/）（#0）,N?,歹2）

則。4：y=z（x+2）,：y=］（x_2）

聯(lián)立V一%("2),消去x得(『+27)/-18勿=0,解得弘=1^,

"4一2'，tF7

'2c

x——y+2/\—6t

同理，聯(lián)立｛f,消去X得“92+3)/+96卬=0,解得出=三一

3%2+4/=12廠+3

E*411。闋sin/03||04|一0一0

QM

S]^\QM\\QN\sinZQ\\PMt-y,t-y2

e(廣+27^2+3)

令加=”+9〉9,

則”(m+18)(m-6)_m2+12m-108iY1

=—108+12(1)+1,|O<1<1

m?m1mm

iS.4

當(dāng)且僅當(dāng)一=即7〃=18,即/=±3時，U取得最大值一.

m邑3

21.已知/(x)=e"sinx.

(1)若xe[0,2〃],求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;

/(%)一/(占)

(2)若對\//,工26[0,兀],再＜/,都有22+?！?成立，求實數(shù)。的取值范圍.

一再

x2

3兀、(77r(37r7兀、兀

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為0,彳J和,單調(diào)減區(qū)間為[彳,彳)/⑴極大值為mhe37，/(X)

B7"

極小值為一注e7

2

(2)——，+℃

2%)

【解析】

【分析】(1)直接求導(dǎo)計算即可.

(2)將問題轉(zhuǎn)化為/(%)+應(yīng)＞/(須)+鬲，構(gòu)造新函數(shù)g(X)=/(X)+6ZX2在[0,7l]上單調(diào)遞增即可,

然后參變分離或者分類討論都可以.

【小問1詳解】

/'(x)=ex(sinx+cosx)=逝sinjx+—|ex

3

令/'(x)=0,因為xe[0,2句得x=拳7T或x77T列表如下:

3萬7〃。兀0]

—,2兀

X用TV14」

/‘(X)+0—0+

/(%)t極大值1極小值T

3兀、(771(3717Ji

所以小)的單調(diào)增區(qū)間為。，彳和丁兀單調(diào)減區(qū)間為丁7

“X)極大值為/[5]=4謂，"X)極小值為/[.1=—13

【小問2詳解】

「1/(X)-/(X)c

對VXi,迎￡[°，兀]，玉</，都有2+&>°成立可轉(zhuǎn)化化為：

/(x2)+tz%2>/(xj+ax；.

設(shè)g(x)=/(x)+,則g(x)在[0,句，

故g'(x)-(sinx+cosx)+2ax>0，在[0,可上恒成立

方法一：(含參討論)

設(shè)〃(%)=g'(%)=e"(sinx+cosx)+lax>0,

則/z(0)=l>0,〃(%)二—屋+2〃%20,解得。之￡1.

=2(e"cosx+Q),〃'⑼=2(Q+1)>0,/(兀)=2(Q—e").

①當(dāng)時，[〃'(1)]=2e"(cosx-sinx),

故，當(dāng)0,—時,[/(%)]=2ex(cosx-sinx)>0?"⑴遞增；

當(dāng)XE—.71時,[〃⑴]=2ex(cosx-sin%)<0，"⑴遞減；

此時,〃(x)2min{/(0),/(7i)}="(7T)=2(tz-eK)>0,/z(x)=g'(x)在[0,可上單調(diào)遞增,故

〃(x)=gIx)2g'(O)=l>。，符合條件.

p兀TTTT

②當(dāng)時，同①，當(dāng)xe0,-時，〃'(x)遞增；當(dāng)xe-,n時，〃'(x)遞減；

2〃L4j14」

⑼=2(。+1)〉0,勿(〃)=2("e")<0,

由連續(xù)函數(shù)零點存在性定理及單調(diào)性知，Bx0e^,7^,〃'(玉))=0.

于是,當(dāng)xe[0,x°)時，〃(x)>0,/z(x)=g'(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)X￡(X0?TT]時，〃'(%)<0,7/(%)=g'(x)單調(diào)遞減.

V/z(0)=l>0,A(TT)=-e^+Ian>0,g，(x)=/z(x)>min1/z(O),/z(^)|>0,符合條件.

、

綜上，實數(shù)。的取值范圍是二,+8

2萬

方法二：(參變分離)

由對稱性，不妨設(shè)04石<》2《萬，

則/(R/(x2)+?！祇即為/(%)+ox；>/)+axf.

X］—x2

設(shè)g(x)=/(x)+ax2,則g(x)在［0,乃］上單調(diào)遞增，

故g'(x)=e*(sinx+cosx)+2ax20在［0,句上恒成立.

g,(0)=l>0,/.,g'(x)=ex(sinx+cosx)+2ax>0在［0,句上恒成立

e”(sinx+cosx)/i

=_2aV---------------)-，Vwxe(0A,句.

x

設(shè)〃(x)=e"+cosxex(2xcosx-sinx-cosx),xe(o,句.

xe(O,〃］,貝!|〃(x)=

2

XX

設(shè)0(x)=2x-tanx-1,xeI0,^兀

［2^

貝1(p'(x)=2-----\—，口。升71

COSX5"

xe0撲71,得9（x）在卜37r

由d(x)〉o,~i,n上單調(diào)遞增;

n3〃

由"(x)<0,xe0,fr~i,n,得夕（x）在上單調(diào)遞減.

兀

故時9(x)W°F2<0；

n3兀^>0.

X€2，n時

71

從而，0（X）cosx=2xcosx-sinx-cosx<0,xGI0,-yIu5"

d九一八1八4，/、ex(2xcosx-sinx-cosx)/八i

又工=不時，2xcosx—smx-cosx=_l<0,故為'(1)=—--------------------------^<0，x,

2x

/z(x)=e(sinx+cosx),xe(0,〃］單調(diào)遞減,//(x).=//(〃)=—J,xe(0,〃］.

x?n71

e"e"

于是，-2。4---oaN——.

n2%

e"'

綜上，實數(shù)。的取值范圍是丁,+s.

In)

【點睛】本題核心是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=/(x)+渥在［0,?］上單調(diào)遞增，即g'(x)N