2024屆湖南省株洲市茶陵縣茶陵三中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆湖南省株洲市茶陵縣茶陵三中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中,,則是（）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．若角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．3．已知直線與直線垂直，則（）A． B． C．或 D．或4．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，,則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．5．已知是公差不為零的等差數(shù)列，其前項和為，若成等比數(shù)列，則A． B．C． D．6．已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°8．已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點，，且，則A． B． C． D．9．是()A．最小正周期為的偶函數(shù) B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù) D．最小正周期為的奇函數(shù)10．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋里任取兩個球，那么對立的兩個事件是（）A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰好有一個黑球”與“恰好有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．假設(shè)我國國民生產(chǎn)總值經(jīng)過10年增長了1倍，且在這10年期間我國國民生產(chǎn)總值每年的年增長率均為常數(shù)，則______.（精確到）（參考數(shù)據(jù)）12．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的值為________．13．正項等比數(shù)列中，，，則公比__________．14．已知無窮等比數(shù)列的所有項的和為，則首項的取值范圍為_____________.15．在上定義運算，則不等式的解集為_____．16．?dāng)?shù)列的前項和為，，且（），記，則的值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，已知平面，為矩形，分別為的中點，.（1）求證：平面；（2）求證：面平面；（3）求點到平面的距離.18．設(shè)遞增數(shù)列共有項，定義集合，將集合中的數(shù)按從小到大排列得到數(shù)列；（1）若數(shù)列共有4項，分別為，，，，寫出數(shù)列的各項的值；（2）設(shè)是公比為2的等比數(shù)列，且，若數(shù)列的所有項的和為4088，求和的值；（3）若，求證：為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項；19．在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.20．已知冪函數(shù)的圖像過點.（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)在是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.21．已知向量是夾角為的單位向量，，（1）求；（2）當(dāng)m為何值時，與平行？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

由二倍角公式可得，，再根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，然后利用兩角和與差的余弦公式，即可將化簡成，所以，即可求得答案．【詳解】因為，，所以，，即，．故選：C．【點睛】本題主要考查利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式進(jìn)行三角恒等變換，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合正弦的二倍角公式計算即可【詳解】由題意，∴，，．故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．3、D【解析】

由垂直，可得，即可求出的值.【詳解】直線與直線垂直，，解得或.故選D.【點睛】對于直線：和直線：，①；②.4、B【解析】

先根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)求出原圖形,再分析繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積即可.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的性質(zhì)可知,原是以為底,高為的等腰三角形.又.故為邊長為2的正三角形.則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可看做兩個以底面半徑為,高為的圓錐組合而成.故表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查了斜二測畫法還原幾何圖形與旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求解.需要根據(jù)題意判斷出旋轉(zhuǎn)后的幾何體形狀再用公式求解.屬于中檔題.5、B【解析】∵等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，∴，∴，∴，，故選B.考點：1.等差數(shù)列的通項公式及其前項和；2.等比數(shù)列的概念6、A【解析】

根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個選項可得結(jié)果.【詳解】選項：由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；選項：由線面垂直判定定理知，需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明，錯誤；選項：若，則平行關(guān)系不成立，錯誤；選項：的位置關(guān)系可能是平行或異面，錯誤.故選：【點睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.7、D【解析】

由直線方程得到直線斜率，進(jìn)而得到其傾斜角.【詳解】因直線方程為，所以直線的斜率，故其傾斜角為150°.故選D【點睛】本題主要考查求直線的傾斜角，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.8、B【解析】

首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項.【詳解】由三點共線，從而得到，因為，解得，即，所以，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)角的終邊上點的縱坐標(biāo)的差值的問題，涉及到的知識點有共線的點的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果.9、A【解析】

將函數(shù)化為的形式后再進(jìn)行判斷便可得到結(jié)論．【詳解】由題意得，∵，且函數(shù)的最小正周期為，∴函數(shù)時最小正周期為的偶函數(shù)．故選A．【點睛】判斷函數(shù)最小正周期時，需要把函數(shù)的解析式化為或的形式，然后利用公式求解即可得到周期．10、D【解析】

寫出所有等可能事件，求出事件“至少有一個黑球”的概率為，事件“都是紅球”的概率為，兩事件的概率和為，從而得到兩事件對立.【詳解】記兩個黑球為，兩個紅球為，則任取兩球的所有等可能結(jié)果為：，記事件A為“至少有一個黑球”，事件為：“都是紅球”，則，因為，所以事件與事件互為對立事件.【點睛】本題考查古典概型和對立事件的判斷，利用兩事件的概率和為1是判斷對立事件的常用方法.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，結(jié)合題意可得，解可得的值，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，則有，即，解可得：，故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，涉及指數(shù)、對數(shù)的運算，關(guān)鍵是得到關(guān)于的方程，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

由圖可得，，求出，得出，利用，然后化簡即可求解【詳解】由題圖知，，所以，所以．由正弦函數(shù)的對稱性知，所以答案：【點睛】本題利用函數(shù)的周期特性求解，難點在于通過圖像求出函數(shù)的解析式和函數(shù)的最小正周期，屬于基礎(chǔ)題13、【解析】

根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)而分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，，則，又由數(shù)列是正項的等比數(shù)列，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式，以及注意數(shù)列是正項等比數(shù)列是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，根據(jù)無窮等比數(shù)列的和得出與所滿足的關(guān)系式，由此可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意得出或，由于無窮等比數(shù)列的所有項的和為，則，.當(dāng)時，則，此時，；當(dāng)時，則，此時，.因此，首項的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用無窮等比數(shù)列的和求首項的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題意得出首項和公比的關(guān)系式，利用不等式的性質(zhì)或函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】

根據(jù)定義運算，把化簡得，求出其解集即可．【詳解】因為，所以，即，得，解得：故答案為：．【點睛】本題考查新定義，以及解一元二次不等式，考查運算的能力，屬于基礎(chǔ)題．16、3【解析】

由已知條件推導(dǎo)出是首項為，公比為的等比數(shù)列，由此能求出的值.【詳解】解：因為數(shù)列的前項和為，，且（），，.即，.是首項為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：【點睛】本題考查數(shù)列的前項和的求法，解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】

(1)利用線面平行的判定定理，尋找面PAD內(nèi)的一條直線平行于MN，即可證出；（2）先證出一條直線垂直于面PCD，依據(jù)第一問結(jié)論知，MN也垂直于面PCD，利用面面垂直的判定定理即可證出；（3）依據(jù)等積法，即可求出點到平面的距離．【詳解】證明：（1）取中點為，連接分別為的中點，是平行四邊形，平面，平面，∴平面證明：（2）因為平面，所以，而,面PAD，而面，所以,由,為的終點，所以由于平面，又由（1）知，平面，平面，∴平面平面解：（3），，，則點到平面的距離為（也可構(gòu)造三棱錐）【點睛】本題主要考查線面平行、面面垂直的判定定理以及等積法求點到面的距離，意在考查學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算能力．18、（1），，，，；（2），；（3）證明見解析；【解析】

(1)根據(jù)題意從小到大計算中的值即可.(2)易得數(shù)列的所有項的和等于中的每個項重復(fù)加了次,再根據(jù)等比數(shù)列求和即可.(3)分別證明當(dāng)時,若為等差數(shù)列則數(shù)列恰有7項以及當(dāng)數(shù)列恰有7項證明為等差數(shù)列即可.【詳解】(1)易得當(dāng),,,時,,,,,.(2)若是公比為2的等比數(shù)列,且,則數(shù)列的所有項的和等于中每一項重復(fù)加了次,故.即,又,故,易得隨著的增大而增大.當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,故,此時.(3)證明：先證明充分性：若,且為等差數(shù)列,不妨設(shè),則數(shù)列也為等差數(shù)列為的等差數(shù)列.且最小值為,最大值為.故數(shù)列恰有7項.再證明必要性：若數(shù)列恰有7項.則因為.故的7項分別為.又,可得,即.同理有,故為等差數(shù)列.綜上可知,若,則為等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列恰有7項【點睛】本題主要考查了數(shù)列綜合運用,需要根據(jù)題意分析與的關(guān)系,將中的通項用中的項表達(dá),再計算即可.同時也考查了推理證明的能力.屬于難題.19、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意知，由正弦定理可得，因為，則，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦、余弦定理，準(zhǔn)確計算是解答的掛念，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用冪函數(shù)過點即可求出函數(shù)的解析式；（2）利用二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的位置，即可求出實數(shù)的取值范圍