2023-2024學年高三年級上冊1月診斷性測試數學試題（含答案解析）

THUSSAT2023-2024學年高三上學期1月診斷性測試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知meR,集合A=B=\a1\a&A\,若C=AB,且C的所有元素和

為12,則機=（）

A.-3B.0C.1D.2

2.已知數列｛《,｝滿足q=l,a“-a“+i=2"a"a”+i，則%=（）

A.-—B.工

2'i+12"-

C.-^―D.-^―

2"+12"-1

3.復數z滿足（z+2）i=l-i（i為虛數單位），貝IJz的共鈍復數的虛部是（）

A.-3B.1C.iD.-i

4.在直三棱柱ABC-A4G中，所有棱長均為1,則點4到平面MC的距離為（）

A.叵B.巫C.叵D.巫

7564

n

5.設（l+2x）〃=g+〃/+〃2%2++anx,若。5=4，則幾=（）

A.6B.7C.8D.9

6.若不等式J式_以+5+-8x+17W4的解集為［?；兀瑒t的值是（）

A.5B.472C.6D.7

e3

7.已知。=e2/=—In2,c=15—51n5,貝！J（）

2

A.a>b>cB.b>c>a

C.a>c>bD.b>a>c

aa11

8.已知x,y〉O,x+y——x——y=3,貝!113%+）的最大值是（）

44

A.15B.18C.20D.24

二、多選題

9.設/⑸/為互不重合的平面，辦〃為互不重合的直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若二〃尸〃7,貝ija〃尸

B.若ac/=相，m_L/,則a_Ly,/J_y

C.^m//a,n///3,m//n,則a〃,

D.若a_L/,，_Ly,則a〃夕

10.已知點尸為雙曲線C：X-y2=i上的任意一點，過點尸作漸近線的垂線，垂足分別

4-

為E,F,則()

A.\PE\+\PF\=^~

B.

C.PEPF=~—

25

Q

D.LPEF的最大值為成

11.直線4:ax+加+c=0和6：bx+cy+a=0將圓C：a-l)2+(y-l)2=1分成長度相等的四

段弧,則(a-1了+S-1)2+(c-1)2的取值可以是()

48

A.—B.2C.—D.3

33

12.已知sin26Z+sin2〃=2sin(26Z+2〃)，且a+左eZ,則

tan(z+2tan(a+K)+3tan尸的值可能為()

A.—6B.-5C.5\/2D.8

三、填空題

13.設函數外力的定義域為域“X)為偶函數,，(尤+2)-1為奇函數，當xe[2,4]時,

f(x)^a-\og2x+b,若/(0)+/(6)=4,貝1Ja+2Z>=.

22

14.已知居，鳥是橢圓C:j+多=l(〃>b〉0)的左、右焦點，P是。上一點，線段根的

ab

Q

中垂線/過點耳，與橢圓C相交于A,3兩點，且=則橢圓C的離心率

為.

15.己知函數g(x)的圖象與函數〃x)=e「x的圖象關于原點對稱，動直線了=。(4工0)

與函數〃x),g(x)的圖象分別交于點A,8,函數的圖象在A處的切線《與函數

g(x)的圖象在3處的切線4相交于點C,則ABC面積的最小值是.

16.對任意的xeR,不等式(爐-7x+14)22m(尤2-6x+13乂x?-8x+17)恒成立，則實

數機的取值范圍為.

試卷第2頁，共6頁

四、解答題

17.數列｛%｝的前”項和為=1,當“22時，S；=a“1s,-;

⑴求證:是等差數列，并求S〃的表達式;

2

⑵設b?=，數列圾｝的前"項和為Tn,不等式T?<m-3m+n對所有的〃?N*恒

2〃+1

成立，求正整數加的最小值.

18.如圖所示，在ABC中，AB=1,O是8c上的點，ABAD=-ADAC.

2

(1)若NBAC=m，求證：B

2ADAC

(2)若8。=!。。，求ABC面積的最大值.

4

19.如圖所示，一只螞蟻從正方體ABC。-A與GR的頂點A出發(fā)沿棱爬行，記螞蟻從

一個頂點到另一個頂點為一次爬行，每次爬行的方向是隨機的，螞蟻沿正方體上、下底

面上的棱爬行的概率為1:，沿正方體的側棱爬行的概率為三2.

(1)若螞蟻爬行兀次，求螞蟻在下底面頂點的概率；

(2)若螞蟻爬行5次，記它在頂點C出現的次數為X,求X的分布列與數學期望.

20.如圖所示，已知，ABC是以8c為斜邊的等腰直角三角形，點M是邊A8的中點，

點、N在邊BC上，且BN=3NC.以MN為折痕將比VW折起，使點8到達點。的位置,

且平面DWC_L平面ABC,連接D4,OC.

試卷第4頁，共6頁

(1)若E是線段DM的中點，求證：NE〃平面D4C；

(2)求二面角AC-3的余弦值.

21.如圖所示，已知拋物線>=f-1,加(0,1),43是拋物線與苫軸的交點，過點/作斜

率不為零的直線/與拋物線交于C,D兩點，與x軸交于點Q,直線AC與直線8。交于點

P.

⑴求,

的取值范圍;

(2)問在平面內是否存在一定點T,使得TPTQ為定值？若存在，求出點T的坐標；若

不存在，請說明理由.

22.已知函數〃%)=/+二一竺-a有兩個零點不,x2a<x2).

⑴求實數。的取值范圍；

⑵求證：占々<1；

2

(3)求證：x2-xt<\Ja-4<x；-尤;.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】先確定集合B中可能的元素，根據兩集合中元素的和求出加的值，再根據集合中元

素的互異性取值.

【詳解】集合3中的元素可能為：根,，1,4

因為W,m^l.

若加=1,則4={1,一1,2},B={1,4},則。={1,一1,2,4},元素和不為12；

若〃z=—2,則4={-2,-1,2},B={1,4},則。={-2,-1,2,4},元素和不為12；

當〃zw±l,±2時，6={加,-1,2,優(yōu)1,4},因為C中所有的元素和為12,

所以加2+m=6,解得機=—3或根=2（舍去）.

綜上：m=-3.

故選：A

2.D

【分析】對%-。用=2%/向同時除以％。向可得一匚一工=2〃，再由累加法求解即可得出答

an+\an

案.

【詳解】若%=0,則%-%+1=。，則4=4+1=°，

這與q=1矛盾，所以%+1。0,

對為一。用=2%必+1同時除以％%+i,

111111

所以-------=2",則一-一=2"\-------------=2-2,

??+i%??-ian_2

上面的n-1式子相加可得：

112(1-2"叫

---------=2+22+23++2"-=-^----------^=2"-2,

a“弓1-2

所以，=2"-2+1=2"-1,所以q=Q,

an2"-1

故選：D.

3.B

【分析】把已知等式變形，利用復數代數形式的乘除運算化簡，求出口即可得到其虛部.

答案第1頁，共23頁

【詳解】解：由（z+2）i=l-i可得：力+2i=l—i,

l-3i(l-3i)i

得z=

ii2

一z=-3+i，

則Z的共輾復數的虛部為1,

故選：B.

4.A

【分析】取AB的中點連接CM,可證CM,平面AB與A，利用等體積法求點到面的距

離.

【詳解】取4B的中點連接CM,

因為ABC為等邊三角形，則，四,

又因為9_L平面A3C,且CMu平面A3C,則CM_LAa,

且ABcA4j=A,AB,A4,u平面A,可得CM_L平面ARB】A,

由題意可知：AB\=CB\=?,CM=與,

設點4到平面AB.C的距離為d,

因為匕TAC=匕』的，即gxdxjxlxJ（夜『）=gx等x；xlxl,

解得d=叵,

7

所以點A到平面AB,C的距離為叵.

7

故選：A.

5.C

【分析】先求出（1+2犬廠展開式第〃+1項，再由%=%，代入即可求出〃的值.

答案第2頁，共23頁

【詳解】（1+2x）"展開式第r+1項Tr+l=C：（2步=C：23,

???%=4，.?.C：25=C：2〈,即C；=2C：,

n\八n\

?=2x_________

**5!（n-5）!-6!（n-6）!'

整理得5=3,n=S.

故選：C.

6.C

【分析】將42_?+5+J*_8彳+17轉化為點（x,0）與點（2,1）,（4,1）距離的和為4,求出

以（2,1）,（4,1）為焦點，長軸長為4的橢圓方程，則點（％0）不能在橢圓外，進而可得x的范

圍，則〃+人的值可求.

【詳解】令M=6-4x+5+J無2-8x+17=^-2）2+（0-1）2+J（x-4）2+（0-1/,

則M的值為平面直角坐標系中點（x,0）與點（2,1）,（4,1）距離的和

若M=4,即點（x,0）與點（2,1）,（4,1）距離的和為4,

則點（元,0）為以（2,1）,（4,1）為焦點，長軸長為4的橢圓與x軸的交點，

設以（2,1）,（4,1）為焦點，長軸長為4的橢圓方程為（x?』+（y二=1，

2222

貝U/=4,c=1?b=a—c=3J

故橢圓方程為（x—3）一=i，如圖:

43

橢圓內的點到（2,1）,（4,1）的距離和小于4,橢圓外的點到（2,1）,（4,1）的距離和大于4,

答案第3頁，共23頁

所以點(X,。)不能在橢圓外，即點(x,o)在線段AB上,

所以3一亞X3+河

66

Bn22屈2y/6

即。=3-----,。=3H-----,

66

所以Q+Z?=6.

故選：C.

7.A

【分析】將〃也C的結構變形，根據變形結果構造函數〃x)=e3./，然后分析“X)的單

調性’根據?二?以及e、2?？杀容^

【詳解】因為

3W3

333

Q=e2=e，?,Z?=-ln2=e-,c=15-51n5=e---=e?

e22e3e-e3

y

構造函數〃x)=e3.皿，所以f，(x)=e3.匕學(x>0),

XX

當x?O,e)時，r(x)>0,/(x)單調遞增,

當x?e,+x)時，r(x)<0,單調遞減，

又因為，=墨，所以a=/(e),b=*2)=/(4),c=/

因為e3>2.7183>20,所以±>4>e,

5

所以〃e)>〃4)>/與，所以a>"c,

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查導數中的構造函數比較大小，對學生的轉化與計算能力要求

較高，難度較大.解答本題的關鍵在于：通過所給數值進行合適變形，可由B項中的(作

為突破點，從而構造出函數/(尤)=e3.皿解決問題.

X

8.C

【分析】先利用立方和公式和極化配方式把等式轉化為只含有犬+yx-y的一個等式，然后

答案第4頁，共23頁

利用配方進行整理即出現含13x+y的式子，即可得出答案.

【詳解】利用公式/+9=(x+y)(f一肛+y2)=(x+y)[(x+y『一3M

及=(x+-—(尤-?可得：

4

x、y3=(x+y),一3.('+?二(尤一?,

=(x+yjg￡+3(f)1

V744

所以代入已知式化簡可得(x+?+3(x+y)(x—y)2—(x+y)=12,

由觀察可得：當X—y=l,x+y=2時，即23+3x2x12—2=12成立，

?.31

止匕時x=—,y=—,

所以=%3+)3+\%―312+；y_y2①，

彳一||=3尤2-9元+子■②,

又3

|=y2_y+；③,

則①+②+③可得:

2

|33273r

(x+3)x-|I+(y+i)G1|=x+y——x--y+/>

所以尤3+y3一;無+3）I+(y+i)GI212713r

X_|1x—y—y+7

114--4----44

=（尤+3）甘-3,

I+(y+i)GIj+7=

故原不等式可化為：（x+3）［-11+（y+l）^-1j+”妻=10,

即13.；ygo,故i3x+”20,

此時當x=3=|1時等號成立，即13元+y的最大值是20.

答案第5頁，共23頁

故選：c.

【點睛】關鍵點晴：本題的關鍵點在于尋求當％y分別為何值時，13x+y可能取得最大值,

根據原式不易觀察，所以先利用立方和公式和極化配方式把等式轉化為只含有x+yx-y的

一個等式，然后利用配方進行整理即出現含13x+y的式子，即可得出答案.

9.AB

【分析】把幾何語言轉化問文字語言，想象空間模型，得出結論.

【詳解】對A：平行于同一個平面的兩個平面互相平行，正確；

對B：兩個平面的交線垂直于第三個平面，則這兩個平面都垂直于第三個平面.根據面面垂

直的判定定理，該結論正確；

對C：和兩條平行直線分別平行的兩個平面相交或平行，故C錯誤；

對D：垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交.故D錯誤.

故選：AB

10.BCD

【分析】對A找到反例即可；對B利用點到直線距離公式計算即可；對C,利用二倍角的

余弦公式和向量數量積的定理計算即可；對D利用三角形的面積公式計算即可.

【詳解】對A,當尸趨近于無窮遠處時|尸耳+|「同一+8,故A錯誤；

對B,設點尸(1,%),滿足亨一火=1,即x；-4y；=4,

又兩條漸近線方程分別為y=土;x,即尤±2y=O,故有

M_4yLM故B正確；

111175V555

對C,設漸近線下=3^的傾斜角為a,則

[十2o

cos/EPF=cos(K-/EOF)=-cos/EOF=-cos2a=------叫。=——，

1+tana5

所以=|尸耳?|尸耳85/￡//=。[一||=一||,故C正確；

對D,由C可知，sinZEPF=,所以

1Q

SPEF=-\PE\-\PF\-sinZEPF=—為定值，故D正確.

故選：BCD.

答案第6頁，共23頁

11.CD

【分析】考慮兩種情況，第一種4和4垂直且過圓心c(U),第二種4和4平行，圓心c(U)

到直線4和4的距離都等于受，分別求解即可.

2

【詳解】①若4和，2相交，由題意可知，圓心C(1,1)應該是兩直線的交點，所以〃+6+。=0,

7T

由于4和4將圓。分成長度相等的四段弧，所以每段弧所對的圓心角都為萬，

所以直線4：依+力+。=0和12:fcr+cy+a=0垂直，

所以必+bc=0,所以Z?(a+c)=。，再由〃+b+c=0,

可得：〃+。=0*=0,

所以(a-1)2+(b-1)2+(c-1)?=(〃_]_)+1+(-a—I)2=3+2/23

②若4和4平行，則廿二ac,

由于4和4將單位圓分成長度相等的四段弧，

所以每段弧所對的圓心角都為

所以圓心到直線4和。的距離都等于正，

一2

\a+b+c\J2\b+c+a\J2

即22=:，/22所以/+從=/+從，即/=

7a+b27c+b2

答案第7頁，共23頁

又因為Z?2=ac>0,所以，，。同號，貝！Ja=c,

|3司3A/2

當。=c=b時，/?=,不滿足題意，所以a=c=->,

，〃+Q2

所以m—iy+s—iy+g—iy=3/_2a+3=3+|>|,

綜上①②，可知CD正確.

故選：CD.

12.ACD

2

【分析】借助二倍角公式及兩角和差公式化簡，得到4tani+——，再利用基本不等式得

tana

到其取值范圍，從而得到答案.

【詳解】因為sin2a+sin2/?=2sin(2a+2/?)

所以sin[(a+￡)+(a-￡)]+sin](a+￡)-(a-￡)]=2sin(2a+2￡),

2sin(a+/?)cos(a-/?)=2sin(2a+27?),

sin(a+/?)cos(a-0^=2sin(a+/?)cos(a+/?),

因為a+左wZ,所以sin(a+/?)wO,

所以cos(a-7?)=2cos(a+尸),

cosacosP+sinasinp=2coscrcos^—2sincrsin0,

3sinasin/3=cosacos13,又cosecos尸wO,

所以tanatan尸=L,即tan[3=——-——,

33tana

所以tana+2tan(cr+尸)+3tan/?

入tana+tan￡C

=tana+2--------------------F3tan/?

1-tancrtanf3

1

tana-\----------1

=tana+2-----------叫人+3」

l-tan?—3tana

3tana

/2

=4tana+-------,

tana

2I2

當tana>0時，4tanad-------->2.4tana---------=4后，

tanaytana

答案第8頁，共23頁

當且僅當41血々=°一,即tanc=變等號成立；

tana2

當tana<0時，(-4tana)+[----->2^(-4tan6/)-^------)=4夜，

BP4tan?+^-<-4>/2,當且僅當-4tanc=-一—,即tana=-也時的等號成立，

tanatana2

綜上，4tanad——-—G^-oo,-4A/2Ju|^4A/2,+ooj,即

tana+2tan(cr+分)+3tan/7eoo,—40忘,+ooj,

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：靈活變換，利用2a=3+,)+(a_0,2'=3+0_(a_0,兩角

和與差公式化簡已知的等式是解本題的關鍵.

13.4

【分析】根據奇函數、偶函數的性質求出"2)=1及f(尤-2)+/?(尤+2)=2,賦值即可得解.

【詳解】因為/(x+2)-1為奇函數，所以解(0+2)-1=0,即/⑵=1,

因為當xe[2,4]時，f^x)=a-\og2x+b,

所以f(2)=a+"l,

由〃x+2)T為奇函數，可得/(-x+2)-1+/(尤+2)-1=0,

即/(一尤+2)+/(尤+2)=2,

又F3為偶函數,所以f(x-2)+f(x+2)=2,

令x=2,可得f(0)+/(4)=2,

令x=4,可得〃2)+〃6)=2,

兩式相加可得，/(2)+/(4)+/(0)+/(6)=4,

由〃0)+〃6)=4,可得/(2)+/(4)=0,

由"2)=1,可得/(4)=—1,即2。+6=-1,

[a+b=l

聯立《可得〃=-2/=3,故a+2Z?=4.

[2a+b=-l

故答案為：4

答案第9頁，共23頁

【分析】設直線/方程y=M*+c)，然后與橢圓聯立，再利用根與系數關系求出弦長|AB|,

再結合題中幾何關系得到以上為中間元的關于c的等式，化簡從而求解.

【詳解】由題意得兄(-c,0),8(c,0),設直線/的方程為y=%(x+c),B(x2,y2),

22222222

聯立方程f2得（匕2+jx+2?A:CX+aA:c-ab=0,

口十萬=1

由根與系數關系得%+%=-之繇a2k2c2-a2b2

b2+a2k2

所以弦長

2/（1+左2）9

吐Ea=E厝存1-42二薩b2+a2k25a

①，

EF

tanZEFF=2

由題意知，設直線/與尸乙的交點為E,如圖，所以在Rt環(huán)耳中,x2函

又由橢圓定義知|「置+|尸閶=2a,因為直線/是尸后的中垂線,

所以1M|=|耳閶=2c,|尸q=2|%|=2（a-c）,

,/J7Z7Z7a-C,

所以2小=環(huán)=性”蛾=5

聯立①②得5/+1302-18a=0，所以13e2-18e+5=0,解得e=2或e=l（舍）.

故答案為：—.

【點睛】方法點睛：通過直線與橢圓聯立及結合弦長公式求出關于左的表達式，再結合題中

答案第10頁，共23頁

的幾何條件從而建立以上為中間元的關于a，。的等式，從而求解.

15.2

【分析】先利用兩個函數對稱求出解析式，再利用導數求函數的切線方程，利用基本不等式

可求答案.

【詳解】因為函數g(x)的圖象與函數=的圖象關于原點對稱，

所以g(%)=-/(-X)=—「-X,所以I-g(fl)|=e0+,

(x)=e*-1,g，(x)=e-工-1,—(a)=e"Tg'㈤=T,

所以直線4：y-(efl-a)=(efl-l)(x-a),即y=(e"-l)x+(l-a)e"；

直線A：y+(e-"+")=(己"即y=(e-a-l)x-(l+a)e-a.

—+(〃+l)e

得天=

Q0+Q-a

所以點C到x=<7(<7H0)的距離為d=工~—

i,、4ae+e

設,ABC的面積為S,則5=上/+尸+e~-----L

2、7ea-e-fl2|ea-e^

令f=e"—e',則(e"+片。y=(e"-e"7+4=〃+4,

聞42月=2,當且僅當MJ,M=2

即卜。--卜2時，取到等號.

故答案為：2

(r

16.12j

【分析】設"=尤2-6%+13=(無一3)2+424,v=x2-8x+17=(x-4)2+1>1,將不等式恒成

立問題轉化成""2),構造/3=("+”2)-,根據單調性求最值.

4?vv7

L」min4uv

【詳解】^M=X2-6X+13=(X-3)2+4>4,

v=x2—Sx+17=(X-4)2+1>1,

貝Uf—7x+14=g(〃+u—2),

答案第11頁，共23頁

貝1|(犬-7天+14丫N根(d-6x+13)(x2-8尤+17)恒成立可化為:("+V-2)22相av恒成立,

Hn(〃+-2丫后出一,,,("+"2)2

即機＜---------恒成工，故機(---------

—4uv

L4MV」mm

入2色-5+,-2)2」-("一2『+2_

設“v)=

4wv4uv4wv7

易知/(v)在2時遞減，在v>a-2時遞增，

所以y3L,=〃“一2)=巴r=1一■|=g(〃)，

而g(")顯然在?>4時單調遞增，所以g3mm=g(4)=；,

1f〃=4

故〃?4；,當且僅當c時，即x=3時，等號成立，

2[v=2

所以實數機的取值范圍為(-哈；.

【點睛】方法點睛：本題將恒成立問題轉化成求最值問題，然后采用雙換元和輪流作主法求

最值.

17.⑴證明見解析，S?=-^-

2n—l

(2)3

【分析】(1)根據《，S“的關系可得為等差數列，即可利用等差數列的通項求解,

(2)根據分組求和以及裂項求和化簡北，即可由數列的單調性求解最值求解.

【詳解】(1)當“22時，數列｛。“｝的前”項和為九滿足

即染=(S"一S1-一，=野一;5.一S“S,T+1S,-,

整理可得2s.si=S.「S“

S1=l,貝1]2邑S]=S|-S2，ip2S2=l-S2,可得S2=g

211

由2邑S3=Sz-S3,即§S3=rM，可得$3=?，…，

以此類推可知,對任意的〃WN*,S“>O,

答案第12頁，共23頁

1=2

在等式2S“S,T=S,I-用兩邊同時除以工工-可得不一￡

為等差數列，且其首項為g=l,公差為2

所以數列

^-=l+2（?-l）

1

⑵b

n=2〃+12〃+1

n111，+斗一1

=-I—1_1+...+

48M+352n-l2〃+148(2/t+l

3及1

不等式(工用2-3加+〃對所有的恒成立，一"—+~1—-工病-3小對所有的

4o2n+l

weN*恒成立,

記?我1」

,則

2H+1

—平+g1-1311

——n+—i__L-3+<0

2n+3482n+l4（2n+l）（2n+3）

2

所以a+1-匕＜。，故當〃=1時，匕取最大值

2

因止匕加2—3m+—>0,

3

、9+屈^9-757

BnPm>----------或根<-------

66

因此，滿足條件的正整數機的最小值為3

18.(1)證明見解析

⑵小66-9

【分析】(1)由題意結合面積公式計算即可得；

(2)設=結合題意由正弦定理可將.ABC面積表示出來，設出函數，結合導數得

到該函數單調性可得該函數的最大值，即可得，A6C面積的最大值.

711ITJT

【詳解】(1)由N3AC=—,N5AD=—ZDAC,知N3AO=—,NDAC=—，

2263

IJT17T1

S=S+S=—ABADsin—+—AOACsin—=—ABAC,

ADRCCADRLn)ACLnf與/CCC

2o232

結合題設，即AO+Ji4D-AC=2AC,

答案第13頁，共23頁

21r-

兩邊同除以AZ),AC,M-rr———;-；

ADAC

(2)設NA4D=c,則ZZMC=2cr,

△ABD中，由正弦定理，得.」?~二巫①,

smZBDAsin。

ACDC

ACD中，由正弦定理，得

sinZCDAsin2a

②：①，結合sinZBDA=sinNCDA,OC=45r),得AC=------,

cosa

014n4〃?csin3a3sina—4sii?。_..

S=—AB?AC-sin3a=-------=--------------------=3tancr-4tancr?sm2a

AABC2cos。cosa

日n3tancr(sin2cr+cos2cr)-4tancr-sin2cr

即SA”=3tana-4tane?sin2a=-----------------------------------------------

ADCsi-n2cr+cos2a

_tana(-tan2a+3)_3130&1祈3a

tan2cr+1tan2cr+1

設tana=/e（0,⑹,即求函數/⑺=占。e僅,⑹的最大值,

（3—3產）（1+產1（3一產）2/（24一3-產）（2省+3+?）

廣⑺=

產e（0,2必3）時,（（/）＞0,函數單調遞增,

〃€（2百-3,3）時，/'。）＜0,函數單調遞減,

當/=2括-3時，函數有最大值,

此時4）=向可雷個旬=底小e僅，⑹,

ABC面積的最大值為76-73-9?

n-1

19?⑴匕=沁

Zo

Q

（2）分布列見解析，三

【分析】（1）記螞蟻爬行”次在底面43。9的概率為月，則它前一步只有兩種情況：在下底

面或在上底面，找到關系構造等比數列可得答案.

（2）結合題意易知X=0,1,2,求出對應得概率,列出分布列，計算期望即可.

答案第14頁，共23頁

【詳解】(1)記螞蟻爬行〃次在底面ABCQ的概率為4,則它前一步只有兩種情況：在下底

面或在上底面,

21?

結合題意易得，片只+”-勺),

1，［匕-是等比數列，首項為1:，公比為-21,

Pn+l~2

2，6633

n—1In—1

(2)結合題意易得：X=0,1,2,

當X=2時，螞蟻第3次、第5次都在C處,

221111i

P（X=2）=、〃一+二-x4—X—+—X—+—X—

663636636336666

當X=1時，螞蟻第3次在C處或第5次在C處,

設螞蟻第3次在C處的概率為P,,

212cl12cl1515211

片=—x—x2x—|—x—x2x—|—x—x2x—X—X——I——X——I——X—

663636636666633ii'

設螞蟻第5次在C處的概率為P2,

設螞蟻不過點C且第3次在2的概率為P3,設螞蟻不過點C且第3次在B,的概率為4，

設螞蟻不過點C且第3次在A的概率為P,,由對稱性知，月=乙,

n111/212。13.n121-22211

P&——x_x_x4H—x-x-x3二—,3^A二—x—x—x6+—x—x—=—,

366636354563633327

17117

得已=2Rx—x—x2+Qx—x—x2=—

21236356654

...P（X=1）=4+2=2,

41

尸（X=0）=l—尸（X=l）—尸（X=2）=互

Q

X的數學期望E（X）=0XP（X=0）+1XP（X=1）+2XP（X=2）=3：

20.(1)證明見解析

答案第15頁，共23頁

⑵迪

【分析】(1)過點E作AM的平行線交AD于點尸，過點N作的平行線交AC于點G,

連接FG,即可證明四邊形E/GN是平行四邊形，從而得到NE//FG,即可得證；

(2)解法1,以點A為原點，A民AC所在的直線為x軸、y軸，過點A垂直于平面A3C的

直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；解法2,過點8作直線MN的

垂線交于點/,交直線CM于點再過點目作AC的垂線交于點。，連接。0,即可證明

/D0H是二面角。-AC-3的平面角，最后利用平面幾何的知識解得即可.

【詳解】(1)過點￡作4欣的平行線交AD于點尸，過點N作的平行線交AC于點G,

連接FG.

因為點E是線段DM的中點，BN=3NC,

所以且所=’43,GN//AB^.GN=-AB,又M為A8的中點，

24

:.EF=NG=-AM,且砂〃NG,四邊形跳GN是平行四邊形.

2

所以NE/IFG,NEU平面D4C,FGu平面D4C,

.?.NE〃平面D4c.

(2)解法1：以點A為原點，AB,AC所在的直線為x軸、y軸，過點A垂直于平面ABC的

直線為z軸，建立空間直角坐標系.

答案第16頁，共23頁

設AB=AC=2,則A（0,0,0）,M（1,0,0）,N[K（）J,設D（x,y,z）,

因為平面DMC，平面ABC,所以點。在平面ABC上的射影落在直線CM上,

=1Q）,

2

由題意可知，DM=1,DN=^V2,/.（x-1）2+y2+z2=1@,

8

7

2822vH

由①②③解得＜

77757

8162而

7

設平面ACD的法向量為n=（x,y,z）,

4x-y+\/TTz=0

取x=VH,y=0,z=—4,則〃=（而,0,-4）,

CDn=04x-8y+y/l1z=0

取平面ABC的法向量根=（0,0,1）.

設二面角D-AC-3的平面角為。，顯然二面角O-AC-3為銳角,

,.\m-n\4\/3

貝UcosO=|cosm,n|=-pp-p=------,

即二面角AC-3的余弦值為華.

解法2：如圖，過點B作直線的垂線交于點/,交直線CM于點H.

由題意知，點。在底面A3C上的射影在直線3/上且在直線MC上，

所以點H即點。在底面上的射影，即DHL平面