2024屆河北省名校聯(lián)盟高考三模數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)考試本試卷滿分150分，考試用時120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式化簡集合A，求定義域化簡集合B，然后進行補集和交集的運算即可.【詳解】因為，或，則,所以，故選：A.2設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運算可得，再由復(fù)數(shù)的模長公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，則，所以.故選：B3.已知非零向量，的夾角為，，，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知，向量，的夾角為，根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運算求解.【詳解】因為，則，且非零向量，的夾角為，，可知向量，的夾角為，則，所以.故選：D.4.某高校決定從甲、乙等7支隊伍中選出4支隊伍參加全國的數(shù)學(xué)建模大賽，已知甲隊被選出，則乙隊也被選出的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】記甲隊被選出為事件，乙隊被選出為事件，利用條件概率公式計算可得.【詳解】記甲隊被選出為事件，乙隊被選出為事件，則，，所以.故選：A5.已知是坐標原點，是雙曲線右支上任意一點，過點作雙曲線的切線，與其漸近線交于A，兩點，若的面積為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【詳解】不妨設(shè)是雙曲線在第一象限的一點，不妨設(shè)，得，得，所以，則在的切線斜率，所以在點處的切線方程為，又由，可得切線方程為，所以與x軸交點坐標為不妨設(shè)是切線與漸近線在第一象限的交點，是切線與漸近線在第四象限的交點，雙曲線的漸近線方程是，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，解得，所以，所以,故選：C.6.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則周期的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用輔助角公式進行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的零點求出零點的表達式，結(jié)合已知條件，求出的最大值，從而可求周期的最小值．【詳解】，令得，所以，，因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，所以，只需且，解得，令得，得，因為，所以的取值范圍，所以周期的最小值是，故選：．7.已知三棱錐，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】因為，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，解得（負值已舍去）；因為平面，所以，即，解得（負值已舍去）；所以.故選：B8.已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】等價變形已知條件，，構(gòu)造兩個函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，因為，，，所以即，，，在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.根據(jù)中國報告大廳對2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量進行監(jiān)測統(tǒng)計，太陽能發(fā)電量（單位：億千瓦時）月度數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：月份3456發(fā)電量/億千瓦時242.94230.87240.59259.33月份78910發(fā)電量/億千瓦時258.9269.19246.06244.31關(guān)于2023年3月~10月全國太陽能發(fā)電量，下列四種說法正確的是（）A.中位數(shù)是259.115 B.極差是38.32C.第85百分位數(shù)是259.33 D.第25百分位數(shù)是240.59【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，由中位數(shù)，極差，百分位數(shù)的定義，代入計算，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個數(shù)據(jù)，所以中位數(shù)是，故A錯誤；極差是，故B正確；因為，所以第85百分位數(shù)是第7個數(shù)，即，故C正確；因為，所以第25百分位數(shù)是，故D錯誤；故選:BC10.已知一個裝有半瓶水的圓柱形玻璃杯，其底面半徑為，玻璃杯高為（玻璃厚度忽略不計），其傾斜狀態(tài)的正視圖如圖所示，表示水平桌面．當玻璃杯傾斜時，瓶內(nèi)水面為橢圓形，陰影部分為瓶內(nèi)水的正視圖．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A.當時，橢圓的離心率為B.當橢圓的離心率最大時，C.當橢圓的焦距為4時，D.當時，橢圓的焦距為6【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)，橢圓長軸，短軸長為，求離心率判斷A，由離心率最大知長軸最長可得求解判斷B，由離心率求出即可判斷C，由求出，再得出焦距判斷D.【詳解】過作于，如圖，由，當時，在中，，所以橢圓中，，故A正確；因為橢圓的短軸長為定值6，，所以當橢圓的長軸最長時，橢圓的離心率最大，由圖可知，橢圓長軸為時，橢圓的長軸最長，此時，故B錯誤；當橢圓的焦距為4時，，即，所以，所以，故C錯誤；當時，，所以，由勾股定理可得，即，，所以，所以焦距，故D正確.故選：AD11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱． B.的圖象關(guān)于點對稱．C. D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，直接得到即可判斷；對于B，由為偶函數(shù)，所以，求導(dǎo)可得即可判斷；對于D，求出的周期為，再根據(jù)即可判斷；對于C，由題意舉出反例即可淘汰.【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故A錯誤；對于B，由為偶函數(shù)，所以，所以，即，即，則，所以的圖象關(guān)于中心對稱，故B正確；對于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以為周期是的函數(shù)，即，故D正確.對于C，由題意及上述分析知是以為周期的函數(shù)，且，不妨設(shè)，所以，周期均為且，所以，所以C錯誤；故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項C，通過舉反例的形式淘汰答案，不妨設(shè)，所以，所以周期為，且，所以.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知一個基因由若干個堿基對組成，而一個堿基對由，，，四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，其中只能與配對，只能與配對．如果個堿基對組成一個基因，那么個堿基對組成的基因個數(shù)為________．【答案】【解析】【分析】因為一個堿基對是由，，，四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，其中只能與配對，只能與配對，依題意解出堿基對個數(shù)即可.【詳解】因為一個堿基對是由，，，四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，其中只能與配對，只能與配對，所以堿基對有共有個，若個堿基對組成一個基因，那么個堿基對組成的基因個數(shù)為.故答案為：.13.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，是的中線．若，且，則面積的最大值為________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理將邊化角，由兩角和的正弦公式化簡，結(jié)合余弦定理求出，最后根據(jù)，利用數(shù)量積的運算律及基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值.【詳解】因為，由正弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，由余弦定理，所以，又，所以，因為是中邊上中線，則，即，所以，所以，可得，當且僅當時等號成立，故，即面積的最大值為．故答案為：14.已知對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】將原不等式變形為，設(shè)，通過求導(dǎo)求的最小值，然后解不等式即可.【詳解】因為，，所以，即，設(shè)，，令，，即在上單調(diào)遞增，令，，即在上單調(diào)遞減，則，所以，解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓：的離心率為，是橢圓的短軸的一個頂點．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)圓：，過圓上一動點作橢圓的兩條切線，切點分別為，．設(shè)兩切線的斜率均存在，分別為，，問：是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出定值．【答案】（1）；（2）是，．【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和得到方程，求出，得到橢圓方程；（2）設(shè)，先得到，，設(shè)過點與橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓方程，由得到，由兩根之積得到【小問1詳解】由題意得，又，解得，故橢圓方程為；【小問2詳解】是，，理由如下：設(shè)，當時，此時兩切線中的一條切線斜率不存在，舍去，故，，設(shè)過點與橢圓相切直線為，與聯(lián)立得，由得，，整理得，過點與橢圓相切的兩直線斜率分別為，，所以【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.16.某學(xué)校的數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校學(xué)生的冰雪運動情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)約有的學(xué)生喜歡滑雪運動．從這些被調(diào)研的學(xué)生中隨機抽取3人進行調(diào)查，假設(shè)每個學(xué)生被選到的可能性相等．（1）記表示喜歡滑雪運動的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望．（2）若該數(shù)學(xué)興趣小組計劃在全校學(xué)生中抽選一名喜歡滑雪運動的學(xué)生進行訪談．抽選規(guī)則如下：在全校學(xué)生中隨機抽選一名學(xué)生，如果該學(xué)生喜歡滑雪運動，就不再抽選其他學(xué)生，結(jié)束抽選活動；如果該學(xué)生不喜歡滑雪運動，則繼續(xù)隨機抽選，直到抽選到一名喜歡滑雪運動的學(xué)生為止，結(jié)束抽選活動．并且規(guī)定抽取的次數(shù)不超過次，其中小于當次調(diào)查的總?cè)藬?shù)．設(shè)在抽選活動結(jié)束時，抽到不喜歡滑雪運動的學(xué)生的人數(shù)為，求抽到名學(xué)生不喜歡滑雪運動的概率．【答案】（1）．（2）【解析】【分析】（1）由題意服從二項分布，由二項分布期望公式直接可得解；（2）由題意可知，時，前次取到是不愛好滑雪的人，第次取到愛好滑雪得的人，利用獨立事件的乘法公式求解，當時，取到的所以人都不愛好滑雪，活動結(jié)束.【小問1詳解】由題意，，，.【小問2詳解】由題意，的可能取值為，，，，，，，綜上，.17.已知函數(shù)．（1）當時，證明：．（2）若函數(shù)，試問：函數(shù)是否存在極小值？若存在，求出極小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在；極小值為0．【解析】【分析】（1）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得證；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，并構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合零點存在性定理及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】證明：函數(shù)定義域為,令，則，當時，，且，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故得證，.【小問2詳解】由題意，則，令，則當時，，故函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，所以在單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞增，且，又，故，使得，所以當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，當時，函數(shù)有極小值，極小值為.故存在，極小值為0.18.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻（chú）甍（méng）者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，窟蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱.芻甍的字面意思為茅草屋頂.”現(xiàn)有一個“芻甍”如圖所示，四邊形為矩形，四邊形、為兩個全等的等腰梯形，，，，P是線段AD上一點.（1）若點P是線段AD上靠近點A的三等分點，Q為線段CF上一點，且，證明：平面；（2）若E到平面的距離為，與平面所成角的正弦值為，求AP的長.【答案】（1）證明見解析（2），或.【解析】【分析】（1）連接交于點，通過比例線段證明，可得平面；（2）建立空間直角坐標系，利用已知線面角的正弦值，求出點的位置即可.【小問1詳解】證明：連接交于點，連接，因為，且，所以，因為，所以，所以，所以，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】分別取的中點，連接，則，且，因為四邊形與四邊形為全等的等腰梯形，所以，四邊形為等腰梯形，且，，，，又，所以，因為平面，且為兩條相交直線，所以平面，平面，所以平面平面.平面平面,過在平面內(nèi)作的垂線，垂足為，則平面，，.過作，易得兩兩垂直，以坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，設(shè)（），所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則，令，解得，，所以，設(shè)PF與平面所成角的大小為，則，解得，且滿足題意，所以，或.19.已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.①任意中有三個，一個3；②存在，使中恰有三個數(shù)相等.（1）判斷數(shù)表是否由生成；（結(jié)論無需證明）（2）是否存在數(shù)表由生成？說明理由；（3）若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由見解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)表滿足的兩個性質(zhì)進行檢驗，即可得結(jié)論；（2）采用反證的方法，即若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①推出對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，則推出不滿足性質(zhì)②，即得結(jié)論；（3）判斷出的所有可能的值為3，7，11，一方面說明取這些值時可以由生成數(shù)表A，另一方面，分類證明的取值只能為3，7，11，由此可得所有可能的值.【小問1詳解】數(shù)表是由生成；檢驗性質(zhì)①：當時，，共三個，一個3；當時，，共三個，一個3；當時，，共三個，一個3；任意中有三個，一個3；檢驗性質(zhì)②：當時，，恰有3個數(shù)相等.【小問2詳解】不存在數(shù)表由生成,理由如下:若存在這樣的數(shù)表A，由性質(zhì)①任意中有三個，一個3，則或-1，總有與的奇偶性相反，類似的，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反，與的奇偶性相反；因為中恰有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，所以對任意的，中均有2個奇數(shù)，2個偶數(shù)，此時中至多有2個數(shù)相等，不滿足性質(zhì)②