天津市南倉中學2023-2024學年高一下學期第二次月考數(shù)學試卷（含答案）

天津市南倉中學2023至2024學年度第二學期高一年級教學質量過程性檢測（數(shù)學學科）本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，共120分，考試用時100分鐘.第1卷至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號填寫在答題紙上.答卷時，考生務必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將機讀卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.2.本卷共9小題，共36分.一?選擇題（每小題4分，共36分）1.已知向量.若，則實數(shù)（）A.1B.-1C.9D.-92.復數(shù)的共軛復數(shù)是（）A.B.C.D.3.已知非零向量滿足，若，則與的夾角為（）A.B.C.D.4.如圖，在中，是上一點，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.5.一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，，則原平面圖形的面積為（）A.B.C.D.6.已知，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.7.一個正方體表面積與一個球表面積相等，那么它們的體積比是（）A.B.C.D.8.如圖所示，為線段外一點，若中任意相鄰兩點間的距離相等，，則（）A.B.C.D.9.如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正三棱柱容器，所有棱長都為，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時，測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的體積為（）A.B.C.D.第II卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題紙上.2.本卷共11小題，共84分.二?填空題（每小題4分，共24分）10.若是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則__________.11.已知四邊形的頂點在邊長為1的正方形網格中的位置如圖所示，則__________.12.在中，角所對的邊分別為，且的面積為，若，則__________.13.正多面體被古希臘圣哲認為是構成宇宙的基本元素.如圖，該幾何體是一個棱長為2的正八面體，則此正八面體的體積與表面積的數(shù)值之比為__________.14.如圖，甲乙兩人做游戲，甲在處發(fā)現(xiàn)乙在北偏東方向，相距6百米的處，乙正以每分鐘5百米的速度沿南偏東方向前進，甲立即以每分鐘7百米的速度，沿北偏東方向追趕乙，則甲追趕上乙最少需要__________分鐘.15.如圖，在邊長為1的正方形中，，則__________；若為線段上的動點，則的最小值為__________.三?解答題16.（本小題12分）已知復數(shù).（1）若復數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復平面上對應的點在第三象限，求的取值范圍.17.（本小題12分）已知向量.（1）若，求的值；（2）若.①求與的夾角的余弦值；②求.18.（本小題12分）在中，內角所對的邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若.（i）求的面積；（ii）求的值.19.（本小題12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點分別是棱的中點，點是線段上一點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若直線與平面所成的角的正弦值為，求此時的長度.20.（本小題12分）在中，內角的對邊分別為，且.（1）求的大?。唬?）若，求的面積；（3）求的最大值.高一年級數(shù)學學科教學質量過程性檢測答案一?單選題1.【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結合向量平行的性質，求解即可.【詳解】因為向量，且，得，得.故選：B.2.【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)的模及復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，再求出其共軌復數(shù).【詳解】因為，所以，所以復數(shù)的共軛復數(shù)是.故選：C3.【答案】C【分析】由向量垂直，數(shù)量積為0，可求得的值，從而求出與的夾角.【詳解】因為，所以，則，又，所以，又，則與的夾角為.故選：C.4.【答案】A【分析】確定，得到，根據(jù)計算得到答案.【詳解】，故，則，又是上一點，所以，解得.故選：A.5.【答案】A【分析】在直觀圖中求出的長，再還原平面圖，即可求出相應的線段的長度，從而求出面積.【詳解】如圖，在直觀圖中過點，作交于點，因為，所以，即將直觀圖還原為平面圖如下：則，所以.故選：A6.【答案】C【分析】根據(jù)向量在向量上的投影公式進行計算即可.【詳解】因為向量在向量上的投影向量為：，故選：C.7.【答案】A【詳解】設正方體的棱長為，球的半徑為，由得，故故答案為A.8.【答案】D【分析】借助向量的線性運算法則計算即可得.【詳解】令線段中點為，則有，……，則，則.故選：D.9.【答案】D【分析】根據(jù)球的截面圓即為正三棱柱底面三角形的內切圓，求得截面的半徑，再利用球的截面性質求解.【詳解】解：設球的半徑為，球的截面圓的半徑為，即為正三棱柱底面三角形的內切圓的半徑，則，解得，由球的截面性質得：，解得，所以球的體積為，故選：D二?填空題10.【答案】【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算法則和復數(shù)的模的計算公式，即可化簡得到答案.【詳解】由題意，復數(shù)滿足，則，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算與化簡和復數(shù)模的求解，其中熟記復數(shù)的四則運算和復數(shù)模的計算公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.11.【答案】7【分析】以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，分別求出的坐標，由數(shù)量積的坐標運算得答案.【詳解】如圖，以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，，.故答案為7.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的性質及其運算，合理構建坐標系是解題的關鍵，是基礎的計算題.12.【答案】【分析】根據(jù)三角形面積可得，利用余弦定理，即可得出答案.【詳解】，故，解得，又，則.故答案為：.13.【答案】【分析】根據(jù)給定條件求出正八面體的表面積和體積即可計算作答.【詳解】正八面體的表面是8個全等的正三角形組成，其中正邊長為2，則正八面體的表面積，而正八面體可視為兩個共底面的，側棱長與底面邊長相等的正四棱錐與拼接而成，正四棱錐的高，則正八面體的體積，于是得，所以正八面體的體積與表面積之比為.故答案為：.14.【答案】2【分析】設他們在點處相遇，引入?yún)?shù)，表示出，結合余弦定理即可運算求解.【詳解】如圖所示：設他們在點處相遇，甲追趕上乙最少需要分鐘，由題意（距離單位是百米），且，由余弦定理有：，即，也就是，解得或（舍去），所以甲追趕上乙最少需要2分鐘.故答案為：2.15.【答案】；【分析】建立平面直角坐標系，求得正方形各頂點坐標，利用向量的坐標運算求得的坐標，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，求得；設，表示出的表達式，結合二次函數(shù)性質求得的最小值.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，則，，是對角線上一點，且，可得，，；因為點為線段（含端點）上的動點，則設，故，所以，故，由于，所以時，取到最小值，即的最小值為，故答案為：三?解答題16.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，限制實部虛部求解即可.（2）根據(jù)共軛復數(shù)的定義限制實部虛部的范圍，解不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意得，因為為純虛數(shù)，所以，解得（2）復數(shù)它在復平面上對應的點在第三象限，所以，解得或，所以實數(shù)的取值范圍為.17.【答案】（1）或（2）①；②.【分析】（1）利用向量共線的結論求值.（2）先根據(jù)條件求出的值，再利用向量的數(shù)量積求夾角，利用向量的坐標求模.【詳解】（1）因為，所以或.（2）因為.此時.①.所以.②因為，所以.18.（1）解：由正弦定理，即，，所以.（2）（i）解：由（1）知，即，又，由余弦定理，得，解得，，.（ii）解：，19.【答案】（1）證明見解析（2）（3）1【分析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明即可；（2）求平面的法向量，利用向量法求夾角余弦即可；（3）利用線面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）因為四棱錐的底面是正方形，平面，所以以點為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，又因為，則，即，由平面，所以平面.（2）設平面與平面的夾角為，平面的法向量，平面的法向量，所以，，則平面與平面的夾角的余弦值為.（3）設長度為，設直線與平面所成角為，因為，.解得，此時的長度為1.20.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用正弦定理邊