第二章《圓與方程》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）-高二數(shù)學精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁第二章《圓與方程》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．在平面直角坐標系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點.若，則A點的橫坐標為（

）A． B．3 C．3或 D．2【答案】B【分析】由已知得，求得的方程，進而得，設，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以的方程為．

由解得．設，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點A的橫坐標為3．故選：B．2．若直線把圓分成長度為1：2的兩段圓弧，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線和圓相交于，則根據(jù)較短弧長與較長弧長之比為得到,利用點與直線的距離建立條件關系即可．【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，設直線和圓相交于，若較短弧長與較長弧長之比為，則，則圓心到直線的距離，即，即，故選:D

3．已知圓與圓交于兩點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)兩圓相交求出公共弦所在直線方程，再根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由題意知，圓與圓相交，且公共弦所在直線方程為.又圓的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，由弦長公式得.故選：B.4．在平面直角坐標系中，已知點是圓心在原點，半徑為的圓上的點，且，若點的坐標為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可判斷AC的中點為原點，從而，然后用坐標表示出所求，利用點B在圓上化簡可得.【詳解】因為，所以AC為單位圓的直徑，O為AC的中點.設，則，所以所以因為，所以故選：B5．（已知圓C：，若點P在直線上運動，過點P作圓C的兩條切線，，切點分別為A，B，則直線過定點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的圓心和半徑，由幾何關系得到四點共圓，設，得到的圓的方程，與相減后得到直線的方程，求出直線過定點坐標.【詳解】圓C：①的圓心為，半徑為2，過點P作圓C的兩條切線，，切點分別為A，B，故四點共圓，其中的中點為該圓心，為直徑，設，則的中點為，，故過的圓的方程為，變形得到②，由①②相減可得直線的方程，即，整理得，令，解得，故直線過定點坐標.故選：D6．漢代初年成書的《淮南萬畢術》記載：“取大鏡高懸，置水盆于下，則見四鄰矣”．這是中國古代入民利用平面鏡反射原理的首個實例，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學智慧．在平面直角坐標系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后的光線所在的直線與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（

）A． B．或1 C．1 D．2【答案】C【分析】由對稱性可知反射光線過且又在該圓上，即可得為切點，再由斜率乘積為即可求出答案.【詳解】易知關于軸的對稱點為，由平面鏡反射原理，反射光線所在的直線過且與該圓相切，將圓化簡后可得，所以圓心，易知在該圓上，所以即為切點，因此圓心與切點連線與反射光線垂直，設反射光線所在直線的斜率為，即，解得故選：C．7．已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】將已知表示成一個以為圓心，1為半徑的圓，將問題轉化為圓上一點到直線距離最小值問題，從而找到解題關鍵.【詳解】依題意可知曲線表示一個以為圓心，1為半徑的圓，求的最小值相當于先求的最小值，即求圓上一點到直線的距離d的最小值，所以，即的最小值為1．故選：A．8．已知圓的方程為，直線：恒過定點A.若一條光線從點A射出，經(jīng)直線上一點M反射后到達圓C上的一點N，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】先求得定點A的坐標，再去求點關于直線的對稱點的坐標，再去求點到圓上一點N距離的最小值即為的最小值.【詳解】圓的圓心，半徑直線可化為，令，解得，所以定點A的坐標為.設點關于直線的對稱點為，由，解得，所以點B坐標為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當且僅當B，M，N，C四點共線時等號成立），所以的最小值為6.故選：A多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知圓C關于x軸對稱，經(jīng)過點(0，1)，且被y軸分成兩段，弧長之比為2∶1，則圓C的方程為（

）A．x2＋2＝ B．x2＋2＝C．2＋y2＝ D．2＋y2＝【答案】CD【分析】由題意，設C(a,0)，結合被y軸分成兩段的弧長比有|a|＝，根據(jù)弦長、半徑、弦心距的幾何關系求參數(shù)a，即可寫出圓的方程.【詳解】由圓C關于x軸對稱，可設圓心C(a,0)，又圓C被y軸分成的兩段弧長之比為2∶1，∴|a|＝，則()2＋1＝r2，得r2＝，a＝±，∴圓C的方程為2＋y2＝.故選：CD．10．設直線與圓，則下列結論正確的為（

）A．可能將的周長平分B．若圓上存在兩個點到直線的距離為1，則的取值范圍為C．若直線與圓交于兩點，則面積的最大值為2D．若直線與圓交于兩點，則中點的軌跡方程為【答案】BC【分析】根據(jù)圓心在直線上判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關系判斷B，根據(jù)三角形面積公式判斷C，根據(jù)幾何法求出點M的軌跡方程即可判斷D.【詳解】對于，若直線將圓的周長平分，則直線過原點，此時直線的斜率不存在，錯誤；對于B，若圓上存在兩個點到直線的距離為1，則到直線的距離滿足，所以，解得或，B正確；對于C，，當時，的面積有最大值2，C正確；對于，易知直線經(jīng)過定點，所以，所以點的軌跡以為直徑的圓，其方程為，又因為點在圓內(nèi)，由，解得，所以點的軌跡方程為，D錯誤.故選：BC.11．已知圓O：和圓M：相交于A，B兩點，點C是圓M上的動點，定點P的坐標為，則下列說法正確的是（

）A．圓M的圓心為，半徑為1B．直線AB的方程為C．線段AB的長為D．的最大值為6【答案】BCD【分析】化圓M的一般方程為標準方程，求出圓心坐標與半徑即可判斷選項A的正誤；聯(lián)立兩圓的方程求得的方程可判斷選項B的正誤；由點到直線的距離公式及垂徑定理求得的長判斷選項C的正誤，利用圓上動點到定點距離最大值為定點到圓心距離和半徑和，可判斷出選項D的正誤.【詳解】選項A，因為圓M的標準方程為，所以圓心為圓心為，半徑為1，故選項A錯誤；選項B，因為圓O：和圓M：相交于A，B兩點，兩圓相減得到，即，故選B正確；選項C，由選項B知，圓心到直線的距離為，所以，故選項C正確；選項D，因為,，所以，又圓的半徑為1，故的最大值為，故選項D正確.故選項：BCD.12．已知曲線上的動點滿足，為坐標原點，直線過和兩點，為直線上一動點，過點作曲線的兩條切線為切點，則（

）A．點與曲線上點的最小距離為B．線段長度的最小值為C．的最小值為D．存在點，使得的面積為【答案】CD【分析】設點，由，求得，由圓的性質(zhì)，取得點與曲線上點的最小距離為，可判定A不正確；由，求得的最小值為，可判定B錯誤；設，在直角三角形中，求得，得到，結合函數(shù)的單調(diào)性，可判定C正確.結合C選項求出面積的最小值可判斷D.【詳解】對于A，因為，設，則，可得曲線的軌跡為圓.方程為直線：，圓心到直線的距離為，則點與曲線上點的最小距離為，故A錯誤；對于B，由圖可知，在直角三角形中，，要使得線段的長度最小，則取最小值，由選項A可知，長度的最小值為，故B錯誤；對于C，設，則，在直角三角形中，，，所以，所以令，又，所以，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即的最小值為3，故C正確；對于D，由切線長定理知，直線垂直平分線段，得，當且僅當與直線垂直時取等號，即弦長度的最小值為.此時，設的中點為，則，所以，所以的面積的最小值為，又，，的面積所以存在點，使得的面積為3，故D正確.故選：CD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓心在直線上，且經(jīng)過點，的圓的方程為．【答案】【分析】直線和線段AB的垂直平分線的交點是圓心，圓心到A點的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點和，，AB中點為，所以線段AB的垂直平分線的方程是．聯(lián)立方程組，解得．所以，圓心坐標為，半徑，所以，此圓的標準方程是．故答案為：14．已知圓，直線，當圓被直線截得的弦長最短時，直線的方程為.【答案】【分析】直線過的定點，當直線垂直于時，圓被直線截得的弦長最短，可求直線的方程.【詳解】由題意，直線的方程化為，由得∴直線過定點，顯然點在圓內(nèi)，要使直線被圓截得弦長最短，只需與圓心的連線垂直于直線，，解得，代入到直線的方程并化簡得.故答案為：.15．已知點P是直線上的動點，過點P作圓的切線，切點分別是A，B，則直線AB恒過定點的坐標為.【答案】【分析】先設點，發(fā)現(xiàn)P、A、O、B四點共圓，求出P、A、O、B四點確定的圓的方程，聯(lián)立后得到AB所在直線方程，再求直線AB恒過定點的坐標【詳解】設點，則∵過點P作圓的切線，切點分別是A，B，∴，∴P、A、O、B四點共圓，其中OP為直徑所以圓心坐標為，半徑長為∴P、A、O、B四點確定的圓的方程為：化為一般方程為：即與聯(lián)立，求得AB所在直線方程為：①其中，代入①中，得：所以解得：直線AB恒過定點的坐標為故答案為：16．已知圓，若圓上存在兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍為.【答案】【分析】作圖分析，討論和，設D為的中點，推出三點共線，從而可得；利用點到直線的距離公式得到等量關系，結合方程知識，利用判別式可得不等式即可求得答案.【詳解】由題意知為等邊三角形，設D為的中點，連接，則，因為在圓上，故，故三點共線，當時，，滿足圓上存在兩點使得為等邊三角形；時，直線OA的斜率為，則斜率為，設方程為，A到的距離為，，而，故，即，令，則，即，由于，故，解得，即，則或，綜合可得，故的取值范圍為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求a為何值時，兩圓和．(1)外切；(2)內(nèi)切．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）根據(jù)兩圓方程寫出圓心、半徑，由外切得圓心距，列方程求參數(shù)；（2）由內(nèi)切得圓心距，列方程求參數(shù)；【詳解】（1）由，即圓心為，半徑為3；由，即圓心為，半徑為2；所以圓心距，若兩圓外切，則，即，所以或.

（2）若兩圓內(nèi)切，則，即，所以或.18．已知圓心為的圓經(jīng)過點和，且圓心在直線：上.(1)求圓心為的圓的一般方程；(2)已知，為圓上的點，求的最大值和最小值.【詳解】（1）∵，，∴,∴弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點坐標為，∴弦的垂直平分線的方程為，即，與直線：聯(lián)立，解得：，圓心坐標為，∴圓的半徑，則圓的方程為.∴圓的一般方程為；

（2）由（1）知圓的方程為，所以,∴在圓外，的最大值為，最小值為.19．已知：關于直線對稱，且圓心在y軸上.(1)求的標準方程；(2)已知動點M在直線上，過點M引的兩條切線?，切點分別為A，B.證明：直線恒過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由圓心在直線上，且圓心在y軸上得出關系式求出即可；（2）設出M點坐標，得出M，A，C，B四點共圓，此圓以為直徑，化簡得出圓的方程為，由是圓C和圓的公共弦，兩圓方程相減求出的直線方程得出結論即可.【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因為圓心C在y軸上，所以，由以上兩式得，，∴，故圓C的標準方程為（2）證明：設點M的坐標為，∵，∴M，A，C，B四點共圓，且，其圓心為線段MC的中點，，設M，A，C，B四點所在的圓為圓，∴圓的方程為，化簡得.∵是圓C和圓的公共弦，∴，兩式相減得，故的方程為，當時，，∴直線恒過定點.20．已知圓與圓恰好有三條公切線，點，直線與圓交于點．(1)求實數(shù)的值；(2)證明：軸平分．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意判斷兩圓的位置關系，列式即可求得答案；（2）聯(lián)立直線和圓的方程，求得交點坐標，即可求得，即可證明結論.【詳解】（1）化圓為，則圓心坐標為，半徑為2．由題意圓與圓恰好有三條公切線，則兩圓外切，則，解得；（2）證明：聯(lián)立，得，解得或．不妨設，，∴，∴直線，的傾斜角互補，從而，

故軸平分．21．在平面直角坐標系中，已知圓的方程為：，直線的方程為.（1）當時，求直線被圓截得的弦長；（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程；（3）在（2）的前提下，若為直線上的動點，且圓上存在兩個不同的點到點的距離為，求點的橫坐標的取值范圍.【答案】(1).（2）.（3）．【詳解】試題分析：（1）圓的方程化為標準式，可得圓心，半徑，根據(jù)點到直線距離公式以及勾股定理可得直線被圓截得的弦長；（2）當所截弦長最短時，取最大值，圓心到直線的距離，令，，利用配方法可得時取最大值，弦長取最小值，直線上方程為，（）設，當以為圓心，為半徑畫圓，當圓與圓剛好相切時，，解得或，可得點橫坐標的取值范圍為．試題解析：（）圓的方程為，圓心，半徑．當時，直線的方程為，圓心到直線的距離，弦長．（）∵圓心到直線的距離，設弦長為，則，當所截弦長最短時，取最大值，∴，令，．令，當時，取到最小值．此時，取最大值，弦長取最小值，直線上方程為．（）設，當以為圓心，為半徑畫圓，當圓與圓剛好相切時，，解得或，由題意，圓與圓C有兩個交點時符合題意，∴點橫坐標的取值范圍為．2