§3-3-函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？1.3.1單調(diào)性與最大（?。┲嫡堄^察函數(shù)y=x2與y=x3圖象，回答下列問題：1、當(dāng)x∈[0，+∞)，x增大時(shí)，圖（1）中的y值

；圖（2）中的y值

。2、當(dāng)x∈(－∞，0)，x增大時(shí)，圖（1）中的y值

；圖（2）中的y值

。增大增大增大減小3、分別指出圖(1)、圖(2)中，當(dāng)x∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)時(shí)，函數(shù)圖象是上升的還是下降的？4、通過前面的討論，你發(fā)現(xiàn)了什么？結(jié)論：若一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)圖象是上升的，則函數(shù)值y隨x的增大而增大，反之亦真；若一個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)圖象是下降的，則函數(shù)值y隨x的增大而減小，反之亦真。觀察某城市一天24小時(shí)氣溫變化圖．θ＝f(t)，t∈[0，24]問題：如何描述氣溫θ隨時(shí)間t的變化情況？(t1,θ1)(t2,θ2)t1t2問題：在區(qū)間[4，14]上，如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫“θ隨t的增大而增大”這一特征？

如圖，研究函數(shù)θ＝f(t)，t∈[0，24]的圖象在區(qū)間[4，14]上的變化情況．在[4，14]上，取幾個不同的輸入值，例如t1＝5，t2＝6，t3＝8，t4＝10，得到相對應(yīng)的輸出值θ1，θ2，θ3，θ4．在t1＜t2＜t3＜t4時(shí)，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在[4，14]上，θ隨t的增大而增大．tθO取區(qū)間內(nèi)n個輸入值t1，t2，t3，…，tn，得到相對應(yīng)的輸出值θ1，θ2，θ3，…，θn，在t1＜t2＜t3＜…＜tn時(shí)，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在區(qū)間[4，14]上，θ隨t的增大而增大．在[4，14]上任取兩個值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以說在區(qū)間[4，14]上，θ隨t的增大而增大．問題：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I

A,在區(qū)間I上，y隨x的增大而增大，該如何用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫呢？

在[4，14]上內(nèi)任取兩個值t1，t2，只要t1＜t2，就有θ1＜θ2，就可以說在區(qū)間[4，14]上，θ隨t的增大而增大．函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I

A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2，

當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.問題：

如何定義單調(diào)減函數(shù)和單調(diào)減區(qū)間呢？

函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I

A，如果對于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個值x1，x2當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.1.函數(shù)y＝f(x)，x∈[0，3]的圖象如圖所示．Oxy123區(qū)間[0，3]是該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間嗎？概念辨析2.對于二次函數(shù)f(x)＝x2，因?yàn)椋?，2∈(－∞，＋∞)，當(dāng)－1＜2時(shí)，f(－1)＜f(2)，所以函數(shù)f(x)＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

3.已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，若對于任意的x2＞0，都有f(x2)＜f(0)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．yxOx2f(x2)判斷yx10x2xf(x1)f(x2)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＜f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)一、增函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.yf(x1)f(x2)x10x2x設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1,x2,當(dāng)x1＜x2時(shí),都有f(x1)＞f(x2),那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)二、減函數(shù)三、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間請問:在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是__________,減函數(shù)的圖象是__________.(填“上升的”或“下降的”)上升的下降的想一想：如何從一個函數(shù)的圖象來判斷這個函數(shù)在定義域內(nèi)的某個單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

如果這個函數(shù)在某個單調(diào)區(qū)間上的圖象是上升的，那么它在這個單調(diào)區(qū)間上就是增函數(shù)；如果圖象是下降的，那么它在這個單調(diào)區(qū)間上就是減函數(shù)。1、增函數(shù)、減函數(shù)的三個特征：（1）局部性：也就是說它肯定有一個區(qū)間。區(qū)間可以是整個定義域，也可以是其真子集，因此，我們說增函數(shù)、減函數(shù)時(shí)，必須指明它所在的區(qū)間。如y=x+1(X∈Z)不具有單調(diào)性（2）任意性：它的取值是在區(qū)間上的任意兩個自變量，決不能理解為很多或無窮多個值。（3）一致性增函數(shù)：f()f()減函數(shù)：f()＞f()。

＜＜＜例1.下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)y=f(x)的圖象,根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及在每個單調(diào)區(qū)間上,y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)?解:函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數(shù),在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數(shù).例2：物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。Vkp=分析：按題意，只要證明函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)即可。例2、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0又k>0,于是

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號變形作差結(jié)論探究：畫出反比例函數(shù)的圖象。（1）這個函數(shù)的定義域I是什么？（2）它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論。

通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法。證明：設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則1－1－1Oxy1f（x）在定義域

上是減函數(shù)嗎？

取x1=-1，x2=1

f（-1）=-1

f（1）=1

-1＜1

f（-1）＜f（1）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:(1).設(shè)x1＜x2,并是某個區(qū)間上任意二值;(2).作差f(x1)－f(x2);(3).判斷f(x1)－f(x2)的符號:(4).作結(jié)論.①分解因式,得出因式(x1－x2②配成非負(fù)實(shí)數(shù)和。方法小結(jié)③有理化。

圖象上有一個最低點(diǎn)（0,0），即對于任意的，都有圖象沒有最低點(diǎn)。畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：

1說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；2指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

(1)(2)

圖象上有一個最低點(diǎn)（0,0），即對于任意的，都有圖象沒有最低點(diǎn)。課堂互動講練

例1求證：函數(shù)f(x)＝－－1在區(qū)間(－∞，0)上是單調(diào)增函數(shù)．【思路點(diǎn)撥】利用定義進(jìn)行判斷，主要判定f(x2)－f(x1)的正負(fù)．

證明：任取x1＜x2＜0，則f(x2)－f(x1)＝(－－1)－(－－1)＝－＝．因?yàn)閤1＜x2＜0，所以x1x2＞0，x2－x1＞0，所以＞0，即f(x2)－f(x1)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．故f(x)在(－∞，0)上是單調(diào)增函數(shù)．【規(guī)律小結(jié)】用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1＜x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．(3)定號：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))的符號．當(dāng)符號不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論．(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論．課堂互動講練3．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于對稱y軸原點(diǎn)3.奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)？【思考·提示】若函數(shù)f(x)具有奇偶性，則f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．反之，若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)無奇偶性．2．理解函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意的問題(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．規(guī)律方法總結(jié)課堂互動講練例2【思路點(diǎn)撥】可從定義域入手，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱情況下，考查f(－x)與f(x)的關(guān)系．課堂互動講練故f(x)為非奇非偶函數(shù)．課堂互動講練綜上，對x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．(4)易知f(x)的定義域是(－1,0)∪(0,1)，∴f(x)是奇函數(shù)．(3)當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，則:f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，則:f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．【說明】對于(1)的結(jié)論不能只說奇函數(shù)或偶函數(shù)．課堂互動講練點(diǎn)此播放講課視頻2．理解函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意的問題(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件．f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式．規(guī)律方法總結(jié)課堂練習(xí)1、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2、在已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上遞減，在[-2,+∞)上遞增，則f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,39]證明：函數(shù)f(x)