山東省萊陽市一中2025屆數(shù)學高一下期末綜合測試模擬試題含解析

山東省萊陽市一中2025屆數(shù)學高一下期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．單位圓中，的圓心角所對的弧長為()A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．4．設α,β為兩個不同的平面，直線l?α，則“l(fā)⊥β”是“α⊥β”成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．數(shù)列的通項公式，則（）A． B． C．或 D．不存在6．如圖，是圓的直徑，點是半圓弧的兩個三等分點，，，則（）A． B． C． D．7．函數(shù)，，若對任意，存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設等比數(shù)列的公比，前項和為，則（）A． B． C． D．9．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．10 B．20 C．30 D．6010．已知,,,是球球面上的四個點，平面,,，則該球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為直線上一點，過作圓的切線，則切線長最短時的切線方程為__________．12．正方形和內接于同一個直角三角形ABC中，如圖所示，設，若兩正方形面積分別為=441，=440，則=______13．函數(shù)，的遞增區(qū)間為______.14．若，，，則M與N的大小關系為___________．15．在邊長為2的正三角形ABC內任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是________．16．設，若用含的形式表示，則________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量的夾角為60°，且.（1）求與的值；（2）求與的夾角.18．已知數(shù)列的前項和為，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在數(shù)列中，，其前項和為，求的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期;(2)當時,求的最大值和最小值以及對應的的值.20．如圖，已知三棱柱的側棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.（1）若，求三棱柱的體積；（2）證明：平面；（3）請問當為何值時，平面，試證明你的結論.21．已知,,求證:(1);(2).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

將轉化為弧度，即可得出答案.【詳解】，因此，單位圓中，的圓心角所對的弧長為.故選B.【點睛】本題考查角度與弧度的轉化，同時也考查了弧長的計算，考查計算能力，屬于基礎題.2、D【解析】

由函數(shù)的最小正周期為，逐個選項運算即可得解.【詳解】解:對于選項A,的最小正周期為,對于選項B,的最小正周期為,對于選項C,的最小正周期為,對于選項D,的最小正周期為,故選D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期，屬基礎題.3、B【解析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（0＜φ＜）個單位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．為偶函數(shù)，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因為，故得到，k=-1,的值為.故答案為B．4、A【解析】試題分析：當滿足l?α,l⊥β時可得到α⊥β成立，反之，當l?α,α⊥β時，l與β可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要條件考點：充分條件與必要條件點評：命題：若p則q是真命題，則p是q的充分條件，q是p的必要條件5、B【解析】

因為趨于無窮大,故,分離常數(shù)即可得出極限.【詳解】解：因為的通項公式,要求,即求故選：B【點睛】本題考查數(shù)列的極限,解答的關鍵是消去趨于無窮大的式子.6、A【解析】

連接，證得，結合向量減法運算，求得.【詳解】連接，由于是半圓弧的兩個三等分點，所以，所以是等邊三角形，所以，所以四邊形是菱形，所以，所以.故選：A【點睛】本小題主要考查圓的幾何性質，考查向量相等的概念，考查向量減法的運算，屬于基礎題.7、D【解析】，當時，對于∵對任意，存在，使得成立，，解得實數(shù)的取值范圍是．

故選D．【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換，其中解題時問題轉化為求三角函數(shù)的值域并利用集合關系是解決問題的關鍵，8、C【解析】

利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出,利用等比數(shù)列的通項公式表示出，計算即可得出答案?！驹斀狻恳驗?，所以故選C【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬于基礎題。9、B【解析】

由三視圖可知幾何體為四棱錐，利用四棱錐體積公式可求得結果.【詳解】由三視圖可知，該幾何體為底面為長為，寬為的長方形，高為的四棱錐四棱錐體積本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求解幾何體體積的問題，關鍵是能夠通過三視圖將幾何體還原為四棱錐，從而利用棱錐體積公式來進行求解.10、B【解析】

根據(jù)截面法，作出球心O與外接圓圓心所在截面，利用平行四邊形和勾股定理可求得球半徑，從而得到結果.【詳解】如圖，的外接圓圓心E為BC的中點，設球心為O，連接OE，OP，OA，D為PA的中點，連接OD.根據(jù)直角三角形的性質可得，且平面，則//，由為等腰三角形可得，又，所以//，則四邊形ODAE是矩形，所以=，而，中，根據(jù)勾股定理可得，所以該球的表面積為.所以本題答案為B.【點睛】本題考查求三棱錐外接球的表面積問題，幾何體的外接球、內切球問題，關鍵是球心位置的確定，必要時需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中，如果球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解析】

利用切線長最短時，取最小值找點：即過圓心作直線的垂線，求出垂足點．就切線的斜率是否存在分類討論，結合圓心到切線的距離等于半徑得出切線的方程．【詳解】設切線長為，則，所以當切線長取最小值時，取最小值，過圓心作直線的垂線，則點為垂足點，此時，直線的方程為，聯(lián)立，得，點的坐標為.①若切線的斜率不存在，此時切線的方程為，圓心到該直線的距離為，合乎題意；②若切線的斜率存在，設切線的方程為，即.由題意可得，化簡得，解得，此時，所求切線的方程為，即.綜上所述，所求切線方程為或，故答案為或．【點睛】本題考查過點的圓的切線方程的求解，考查圓的切線長相關問題，在過點引圓的切線問題時，要對直線的斜率是否存在進行分類討論，另外就是將直線與圓相切轉化為圓心到直線的距離等于半徑長，考查分析問題與解決問題的能力，屬于中等題．12、【解析】

首先根據(jù)在正方形S1和S2內，S1＝441，S2＝440，分別求出兩個正方形的邊長，然后分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據(jù)AF+FC＝AM+MC，列出關于α的三角函數(shù)等式，求出sin2α的值即可．【詳解】因為S1＝441，S2＝440，所以FD21，MQ＝MN，因為AC＝AF+FC2121，AC＝AM+MCMNcosαcosα，所以：21cosα，整理，可得：（sinαcosα+1）＝21（sinα+cosα），兩邊平方，可得110sin22α﹣sin2α﹣1＝0，解得sin2α或sin2α（舍去），故sin2α．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的求值問題，考查了正方形、直角三角形的性質，屬于中檔題，解答此題的關鍵是分別表示出AF、FC、AM、MC的長度，最后根據(jù)AF+FC＝AM+MC，列出關于α的三角函數(shù)等式．13、[0，](開區(qū)間也行)【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調遞增區(qū)間，以及題中條件，即可求出結果.【詳解】由得：，又，所以函數(shù)，的遞增區(qū)間為.故答案為【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的單調區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的單調區(qū)間即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

根據(jù)自變量的取值范圍，利用作差法即可比較大小.【詳解】，，，所以當時，所以，即，故答案為：.【點睛】本題考查了作差法比較整式的大小，屬于基礎題.15、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個扇形,當P落在其內時符合要求,∴P==.16、【解析】

兩邊取以5為底的對數(shù)，可得，化簡可得，根據(jù)對數(shù)運算即可求出結果.【詳解】因為所以兩邊取以5為底的對數(shù)，可得，即，所以，，故填.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算法則，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據(jù)，即可得解；（2）根據(jù)公式計算求解.【詳解】（1）由題向量的夾角為60°，所以，，；（2），所以【點睛】此題考查平面向量數(shù)量積，根據(jù)定義計算兩個向量的數(shù)量積，求向量的模長和根據(jù)數(shù)量積與模長關系求向量夾角.18、(1)．(2)【解析】

（1）根據(jù)已知的等式，再寫一個關于等式，利用求通項公式；（2）利用裂項相消法求解，再根據(jù)單調性以及求解的取值范圍.【詳解】解：（1）當時，，，兩式相減得整理得，即，又，，，則，當時，，所以．（2），則，．又，所以數(shù)列單調遞增，當時，最小值為，又因為，所以的取值范圍為．【點睛】當，且是等差數(shù)列且，則的前項和可用裂項相消法求解：.19、(1);(2)當時,取得最小值;當時,取得最大值.【解析】

（1）利用降冪擴角公式先化簡三角函數(shù)為標準型，再求解最小正周期；（2）由定義域，先求的范圍，再求值域.【詳解】（1）所以的最小正周期為.（2）由，得，當，即時，取得最小值，當，即時，取得最大值.【點睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)解析式，之后求解三角函數(shù)的性質，本題中包括最小正周期以及函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.20、（1）4；（2）證明見解析；（3）時，平面，證明見解析.【解析】

（1）直接根據(jù)三棱柱體積計算公式求解即可；（2）利用中位線證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質定理證明平面；（3）首先設為，利用平面列出關于參數(shù)的方程求解即可.【詳解】（1）∵三棱柱的側棱垂直于底面，且，，，∴由三棱柱體積公式得：；（2）證明：取的中點，連接，，∵，分別為和的中點，∴，，∵平面，平面，∴平面，平面，又，∴平面平面，∵平面，∴平面；（3）連接，設，則由題意知，，∵三棱柱的側棱垂