北京二中2025屆數學高一下期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

北京二中2025屆數學高一下期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數在區(qū)間內單調遞增，且，若，，，則、、的大小關系為（）A． B． C． D．2．已知滿足：，則目標函數的最大值為（）A．6 B．8 C．16 D．43．已知，且，則實數的值為（）A．2 B． C．3 D．4．已知a，b為非零實數，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．5．某四棱錐的三視圖如圖所示，則它的最長側棱的長為（）A． B． C． D．46．某中學舉行高一廣播體操比賽，共10個隊參賽，為了確定出場順序，學校制作了10個出場序號簽供大家抽簽，高一（l）班先抽，則他們抽到的出場序號小于4的概率為（）A． B． C． D．7．已知等比數列an的公比為q，且q<1，數列bn滿足bn=anA．-23 B．23 C．8．展開式中的常數項為（）A．1 B．21 C．31 D．519．已知數列的前項和，則的值為（）A．-199 B．199 C．-101 D．10110．在直角梯形中，，為的中點，若，則A．1 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．求374與238的最大公約數結果用5進制表示為_________.12．在等差數列中，若，則______．13．異面直線，所成角為，過空間一點的直線與直線，所成角均為，若這樣的直線有且只有兩條，則的取值范圍為___________________.14．已知數列滿足，若，則數列的通項______.15．已知圓錐如圖所示，底面半徑為，母線長為，則此圓錐的外接球的表面積為___．16．數列滿足，，則___________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數列中，.(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和.18．在中，已知內角所對的邊分別為，已知，，的面積.（1）求邊的長；（2）求的外接圓的半徑.19．使用支付寶和微信支付已經成為廣大消費者最主要的消費支付方式，某超市通過統(tǒng)計發(fā)現一周內超市每天的凈利潤(萬元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(千人)具有線性相關關系，并得到最近一周的7組數據如下表，并依此作為決策依據.(1)作出散點圖，并求出回歸方程(，精確到)；(2)超市為了刺激周一消費，擬在周一開展使用支付寶和微信支付隨機抽獎活動，總獎金7萬元.根據市場調查，抽獎活動能使使用支付寶和微信支付消費人數增加7千人，試決策超市是否有必要開展抽獎活動？(3)超市管理層決定:從周一到周日，若第二天的凈利潤比前一天增長超過兩成，則對全體員工進行獎勵，在(Ⅱ)的決策下，求全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.參考數據:，，，.參考公式：，，.20．對于三個實數、、，若成立，則稱、具有“性質”.（1）試問：①，0是否具有“性質2”；②（），0是否具有“性質4”；（2）若存在及，使得成立，且，1具有“性質2”，求實數的取值范圍；（3）設，，，為2019個互不相同的實數，點（）均不在函數的圖象上，是否存在，且，使得、具有“性質2018”，請說明理由.21．某生產廠家生產一種產品的固定成本為4萬元，并且每生產1百臺產品需增加投入0.8萬元.已知銷售收入（萬元）滿足（其中是該產品的月產量，單位：百臺），假定生產的產品都能賣掉，請完成下列問題：（1）將利潤表示為月產量的函數；（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由偶函數的性質可得出函數在區(qū)間上為減函數，由對數的性質可得出，由偶函數的性質得出，比較出、、的大小關系，再利用函數在區(qū)間上的單調性可得出、、的大小關系.【詳解】，則函數為偶函數，函數在區(qū)間內單調遞增，在該函數在區(qū)間上為減函數，，由換底公式得，由函數的性質可得，對數函數在上為增函數，則，指數函數為增函數，則，即，，因此，.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性與單調性比較函數值的大小關系，同時也考查了利用中間值法比較指數式和代數式的大小關系，涉及指數函數與對數函數的單調性，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.2、D【解析】

作出不等式組對應的平面區(qū)域，數形結合，利用z的幾何意義，即得?！驹斀狻坑深}得，不等式組對應的平面區(qū)域如圖，中z表示函數在y軸的截距，由圖易得，當函數經過點A時z取到最大值，A點坐標為，因此目標函數的最大值為4.故選：D【點睛】本題考查線性規(guī)劃，是基礎題。3、D【解析】

根據二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎題.4、C【解析】

，時，、、不成立；利用作差比較，即可求出．【詳解】解：，時，，，故、、不成立；，，．故選：．【點睛】本題考查了不等式的基本性質，屬于基礎題．5、C【解析】

由三視圖可知：底面，，底面是一個直角梯形，，，均為直角三角形，判斷最長的棱，通過幾何體求解即可.【詳解】由三視圖可知：該幾何體如圖所示，則底面，，底面是一個直角梯形，其中，，，，可得，，均為直角三角形，最長的棱是，.故選：C.【點睛】本題考查了三視圖，線面垂直的判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.6、D【解析】

古典概率公式得到答案.【詳解】抽到的出場序號小于4的概率：故答案選D【點睛】本題考查了概率的計算，屬于簡單題.7、A【解析】

由題可知數列{an}【詳解】因為數列{bn}有連續(xù)四項在集合{-28,-19,-13,7,17,23}中，bn=an-1，所以數列{an}有連續(xù)四項在集合{-27,-18,-12,8,18,24}中，所以數列{an}的連續(xù)四項不同號，即【點睛】本題主要考查等比數列的綜合應用，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力，分類討論能力，難度較大.8、D【解析】常數項有三種情況，都是次，或者都是次，或者都是二次，故常數項為9、D【解析】

由特點可采用并項求和的方式求得.【詳解】本題正確選項：【點睛】本題考查并項求和法求解數列的前項和，屬于基礎題.10、B【解析】

連接，因為為中點，得到，可求出，從而可得出結果.【詳解】連接，因為為中點，,.故選B【點睛】本題主要考查平面向量基本定理的應用，熟記平面向量基本定理即可，屬于?？碱}型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據最大公約數的公式可求得兩個數的最大公約數，再由除取余法即可將進制進行轉換.【詳解】374與238的最大公約數求法如下：，，，，所以兩個數的最大公約數為34.由除取余法可得：所以將34化為5進制后為，故答案為：.【點睛】本題考查了最大公約數的求法，除取余法進行進制轉化的應用，屬于基礎題.12、【解析】

利用等差中項的性質可求出的值.【詳解】由等差中項的性質可得，解得.故答案為：.【點睛】本題考查利用等差中項的性質求項的值，考查計算能力，屬于基礎題.13、【解析】

將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，根據題意可以求出的取值范圍.【詳解】將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，異面直線，所成角為，可知，所以，所以在方向，要使有兩條，則有：，在方向，要使不存在，則有，綜上所述，.故答案為：【點睛】本題考查了異面直線的所成角的有關性質，考查了空間想象能力.14、【解析】

直接利用數列的遞推關系式和疊加法求出結果．【詳解】因為，所以當時，.時也成立.所以數列的通項.【點睛】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用，疊加法在數列中的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬于基礎題．15、【解析】

根據圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，再根據勾股定理可得求的半徑．【詳解】由圓錐的底面和外接球的截面性質可得外接球的球心在上，設球心為，球的半徑為，則，圓，因為,所以，所以，，則有.解得，則.【點睛】本題主要考查了幾何體的外接球，關鍵是會找到球心求出半徑，通常結合勾股定理求．屬于難題．16、2【解析】

利用遞推公式求解即可.【詳解】由題得.故答案為2【點睛】本題主要考查利用遞推公式求數列中的項，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

(1)設等差數列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.因為所以.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項公式為an＝.(2)bn＝＝，所以Sn＝18、（1）；（2）【解析】

（1）由三角形面積公式可構造方程求得結果；（2）利用余弦定理可求得；利用正弦定理即可求得結果.【詳解】（1）由得：，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：【點睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面積公式解三角形的問題，考查學生對于解三角形部分的公式掌握的熟練程度，屬于基礎應用問題.19、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

(1)通過表格描點即可，先計算和，然后通過公式計算出線性回歸方程；（2）先計算活動開展后使用支付寶和微信支付的人數為(千人)，代入（1）問得到結果；（3）先判斷周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵，從而確定基本事件，再找出連續(xù)兩天獲得獎勵的基本事件，故可計算出全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率.【詳解】(1)散點圖如圖所示，關于的回歸方程為(2)活動開展后使用支付寶和微信支付的人數為(千人)由(1)得，當時，此時超市的凈利潤約為，故超市有必要開展抽獎活動(3)由于，，，，，，故從周一到周日全體員工只有周二、周三、周四、周日獲得獎勵從周一到周日中連續(xù)兩天，基本事件為(周一、周二)，(周二、周三)，(周三、周四)，(周四、周五)，(周五、周六)，(周六、周日)，共6個基本事件連續(xù)兩天獲得獎勵的基本事件為(周二、周三)，(周三、周四)，共2個基本事件故全體員工連續(xù)兩天獲得獎勵的概率為【點睛】本題主要考查線性回歸方程，古典概率的計算，意在考查學生的閱讀理解能力和分析能力，難度不大.20、（1）①具有“性質2”，②不具有“性質4”；（2）；（3）存在.【解析】

（1）①根據題意需要判斷的真假即可②根據題意判斷是否成立即可得出結論；（2）根據具有性質2可求出的范圍，由存在性問題成立轉化為，根據函數的性質求最值即可求解.【詳解】（1）①因為，成立,所以，故，0具有“性質2”②因為，設，則設，對稱軸為，所以函數在上單調遞減，當時，，所以當時，不恒成立，即不成立，故（），0不具有“性質4”.（2）因為，1具有“性質2”所以化簡得解得或.因為存在及，使得成立，所以存在及使即可.令，則，當時，，所以在上是增函數，所以時，，當時，，故時，因為在上單調遞減，在上單調遞增，所以，故只需滿足即可，解得.（3）假設具有“性質2018”，則，即證明在任意2019個互不相同的實數中，一定存在兩個實數,滿足：.證明：由，令，由萬能公式知，將等分成2018個小區(qū)間，則這2019個數必然有兩個數落在同一個區(qū)間，令其為：，即，也就是說，在，，，這2019個數中，一定有兩個數滿足，即一定存在兩個實數，滿足，從而得證.【點睛】本題主要考查了不等式的證明，根據存在性問題求參數的取值范圍，三角函數的單調性，萬能公式，考