高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第1節(jié)　立體圖形及其直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（講義）

第七章立體幾何與空間向量(必修第二冊(cè)+選擇性必修第一冊(cè))第1節(jié)立體圖形及其直觀圖、簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件觀察大量空間圖形,認(rèn)識(shí)柱體、錐體、臺(tái)體、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式.3.會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線平行、相等且垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)—軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)—2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來畫,其規(guī)則是:(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩相互垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r′+r)l4.空間幾何體的表面積與體積公式幾何體名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=13S底·臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13h(S上+S下+S球S=4πR2V=43πR圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化:當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐.S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r+r′)lS圓錐側(cè)=πrl.V圓柱=S底·hV圓臺(tái)=13h(S上+S下+S上S下)V圓錐=13S1.特殊的四棱柱四棱柱平行六面體直平行六面體長(zhǎng)方體正四棱柱正方體2.平面圖形的直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖=24S原圖形1.已知某圓柱的高為10,底面周長(zhǎng)為8π,則該圓柱的體積為(C)A.640π B.250πC.160π D.120π解析:某圓柱的高為10,底面周長(zhǎng)為8π,因?yàn)?πr=8π,所以r=4,故圓柱的體積為16π×10=160π.2.已知三個(gè)球的體積之比為1∶27∶64,則它們的表面積之比為(B)A.1∶3∶4 B.1∶9∶16C.2∶3∶4 D.1∶27∶64解析:由題意,設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r1,r2,r3,則43πr13∶43πr23∶43πr故表面積之比4πr12∶4πr23.(必修第二冊(cè)P109例2改編)如圖所示,直觀圖所表示的平面圖形是(D)A.正三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.直角三角形解析:由直觀圖中A′C′∥y′軸,B′C′∥x′軸,還原后AC∥y軸,BC∥x軸,所以△ABC是直角三角形.4.(2021·全國(guó)甲卷)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側(cè)面積為.

解析:設(shè)該圓錐的高為h,則由已知條件可得13×π×62×h=30π,解得h=52,則圓錐的母線長(zhǎng)為?2+62=254+36答案:39π5.(2020·新高考Ⅱ卷改編)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BB1,AB的中點(diǎn),則三棱錐A-NMD1的體積為.

解析:因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BB1,AB的中點(diǎn),所以VA?NMD1=VD1?AMN=13答案:1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖1.(多選題)下列命題正確的是(CD)A.長(zhǎng)方體是直四棱柱,直四棱柱是長(zhǎng)方體B.有兩個(gè)面平行,其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱C.有一個(gè)面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形解析:直四棱柱底面可以為任意四邊形,所以直四棱柱不一定是長(zhǎng)方體,故A錯(cuò)誤;如圖所示,上下底面平行,各個(gè)面都是平行四邊形,此幾何體不是棱柱,故B錯(cuò)誤;棱錐側(cè)面全為三角形,有一個(gè)面是平行四邊形,則此面為底面,所以該棱錐為四棱錐,故C正確;正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形,故D正確.2.給出下列四個(gè)命題:①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的立體圖形是直棱柱;②側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐;③側(cè)面都是矩形的直四棱柱是長(zhǎng)方體;④底面為正多邊形,且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正確的命題為(填序號(hào)).

解析:對(duì)于①,平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能是矩形,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,對(duì)等腰三角形的腰是否為側(cè)棱未作說明(如圖),故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若底面不是矩形,則該四棱柱不是長(zhǎng)方體,③錯(cuò)誤;對(duì)于④,由線面垂直的判定定理,可知側(cè)棱垂直于底面,故④正確.綜上,命題①②③不正確.答案:①②③3.如圖,已知用斜二測(cè)畫法畫出的△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形,則原△ABC的面積為.

解析:因?yàn)橹庇^圖面積為12·a2·sin60°=34a所以原圖形面積為22×34a2=62a答案:62a(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu),辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念,善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析,即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只需舉一個(gè)反例.(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上,解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.(3)既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的,所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí),要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.(4)畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法,其規(guī)則可以用“斜”(x軸和y軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半,平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來掌握.柱、錐、臺(tái)體的表面積與體積簡(jiǎn)單幾何體的表面積[例1](1)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.現(xiàn)將△ABC繞邊AC旋轉(zhuǎn)一周,則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積是()A.2π B.22πC.32π D.42π(2)某幾何體的直觀圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.36+12π B.40+12πC.36+16π D.40+16π解析:(1)由題知該幾何體為兩個(gè)圓錐底對(duì)底組合在一起,其中圓錐母線長(zhǎng)L=2,圓錐底面半徑R=2,所以S=2×π×2×2=42π.故選D.(2)由題意可知幾何體的表面積為4×2×4+2×2×2+4π+12×4π×(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用,并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.簡(jiǎn)單幾何體的體積[例2](1)如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中,以其各面中心為頂點(diǎn)構(gòu)成的多面體為正八面體,則該正八面體的體積為()A.223 B.43 C.4(2)(2022·新高考Ⅰ卷)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3解析:(1)該正八面體是由兩個(gè)同底的正四棱錐組成,且正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,棱錐的高為1,所以該正八面體的體積為2×13×2×2×1=4(2)由已知得該棱臺(tái)的高為157.5-148.5=9(m),所以該棱臺(tái)的體積V=13×9×(140+140×180+180)×106=60×(16+37)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3求規(guī)則幾何體的體積,主要是先找準(zhǔn)關(guān)鍵的已知量,求必需的未知量,再利用“直接法”代入體積公式計(jì)算.不規(guī)則幾何體的體積[例3](1)如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,則四面體A-BEF的體積為()A.13 B.C.1 D.4(2)在△ABC中,AB=2,BC=32,∠ABC=120°A.3π2 B.C.7π2 D.解析:(1)因?yàn)镋D⊥平面ABCD,且AD?平面ABCD,所以ED⊥AD.因?yàn)樵谡叫蜛BCD中,AD⊥DC,而DC∩ED=D,DC?平面CDEF,ED?平面CDEF,所以AD⊥平面CDEF.連接EC,DF(圖略),由題意知FC=ED2V四面體A?BEF=V多面體ABCDEF-因?yàn)閂E?ABCD=ED·S正方形ABCD·13=2×2×2×13=83,VB?EFC=BC·S△EFC·13=2×所以V多面體ABCDEF=83+23=103.又VF?ABCD=FC·S正方形ABCD·13=1×2×2×13=43,VA?DEF=AD·S△DEF·13=2×2×2×1(2)依題意可知,旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)大圓錐去掉一個(gè)小圓錐,所以O(shè)A=3,所以旋轉(zhuǎn)體的體積為π3·(3)2·(OC-OB)=3π求不規(guī)則幾何體的體積當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí),常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體,然后再計(jì)算.(1)利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).(2)利用“補(bǔ)”的方法把棱錐補(bǔ)成棱柱,把臺(tái)體補(bǔ)成錐體,把三棱錐補(bǔ)成四棱錐,把三棱柱補(bǔ)成四棱柱,把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體,補(bǔ)一個(gè)同樣的幾何體等.[針對(duì)訓(xùn)練]1.(2022·全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,側(cè)面展開圖的圓心角之和為2π,側(cè)面積分別為S甲和S乙,體積分別為V甲和V乙,若S甲S乙A.5 B.22C.10 D.5解析:法一因?yàn)榧?、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等,所以結(jié)合S甲S乙=2可知,甲、乙兩個(gè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2∶1.不妨設(shè)兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l=3,甲、乙兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,則由題意知,兩個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖剛好可以拼成一個(gè)周長(zhǎng)為6π的圓,所以2πr1=4π,2πr2=2π,得r1=2,r2=1.由勾股定理得,h1=l2-r12=所以V甲V乙=13π法二設(shè)兩圓錐的母線長(zhǎng)為l,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為r1,r2,高分別為h1,h2,側(cè)面展開圖的圓心角分別為n1,n2,則由S甲S乙=πr1lπr2l=n1πl(wèi)22πn2πl(wèi)22π=2,得r1r2=n1n2=2.由題意知n1+n2=2π,所以n1=4π3,n2=2π3,所以2πr1=4π3l,2πr2=2.在正四棱錐P-ABCD中,AB=22,若正四棱錐P-ABCD的體積是8,則該四棱錐的側(cè)面積是()A.22 B.222 C.422 D.822解析:如圖,連接AC,BD,記AC∩BD=O,連接OP,則OP⊥平面ABCD.取BC的中點(diǎn)E,連接OE,PE.因?yàn)檎睦忮FP-ABCD的體積是8,所以13AB2·OP=8因?yàn)镺E=12AB=2,所以在直角三角形POE中,PE=OP2+O則△PBC的面積為12BC·PE=12×22×11=22,故該四棱錐的側(cè)面積是4故選C.3.如圖,一個(gè)裝有某種液體的圓柱形容器固定在墻面和地面的角落內(nèi),容器與地面所成的角為30°,液面呈橢圓形,橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)M,N到容器底部的距離分別是12和18,則容器內(nèi)液體的體積是()A.15π B.36π C.45π D.48π解析:如圖所示,過M作容器壁的垂線,垂足為F,因?yàn)镸N平行于地面,所以∠MNF=30°,由于M,N到容器底部的距離分別是12和18,所以NF=6,在直角三角形MFN中,tan∠MNF=MFNF=3所以MF=33NF=33×6=2即該圓柱的底面圓的直徑為23,故半徑為3,所以容器內(nèi)液體的體積等于一個(gè)底面半徑為3,高為(12+18)的圓柱體體積的一半,所以液體體積V=12×π×(3)2×故選C.4.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則該多面體的體積為.

解析:如圖,分別過點(diǎn)A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,則原幾何體分割為兩個(gè)三棱錐和一個(gè)直三棱柱.依題意,三棱錐E-ADG的高為EG,長(zhǎng)度為12則AG=AE2-EG取AD的中點(diǎn)M,連接MG,則MG=22所以S△AGD=12×1×22=所以V多面體ABCDEF=VE?ADG+VF?BHC+V三棱柱AGD?BHC=2VE?ADG+V答案:2折疊與展開問題[例4]如圖所示,圓臺(tái)母線AB長(zhǎng)為20cm,上、下底面半徑分別為5cm和10cm,從母線AB的中點(diǎn)M拉一條繩子繞圓臺(tái)側(cè)面轉(zhuǎn)到B點(diǎn),求這條繩子長(zhǎng)度的最小值.解:如圖所示,作出圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及其所在的圓錐,連接MB′,在圓臺(tái)的軸截面中,因?yàn)镽t△OPA∽R(shí)t△OQB,所以O(shè)AOA+AB所以O(shè)AOA+AB設(shè)∠BOB′=α,由扇形弧BB'的長(zhǎng)與底面圓Q的周長(zhǎng)相等,得2×10×π=OB·α,即20π=(20+20)·α,所以α=π2,所以在Rt△B′OM中,B′M=OM求幾何體表面上兩點(diǎn)間的最小距離的步驟(1)將幾何體沿著某棱(母線)剪開后展開,畫出其側(cè)面展開圖.(2)將所求曲線問題轉(zhuǎn)化為平面上的線段問題.(3)結(jié)合已知條件求得結(jié)果.[針對(duì)訓(xùn)練]如圖所示,某圓錐的高為3,底面半徑為1,O為底面圓心,OA,OB為底面半徑,且∠AOB=2π3A.3 B.2-1 C.5 D.2+1解析:由題意,圓錐的側(cè)面展開圖是半圓,如圖,A,B是底面圓周上的兩點(diǎn),∠AOB=2π3,所以在展開圖中,∠APB=π3,母線長(zhǎng)為3+1=2,M為母線PA的中點(diǎn),所以PM=1,所以從M到B的最短路徑的長(zhǎng)是BM=4-[例1]正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為3,D為BC的中點(diǎn),則三棱錐A-B1DC1的體積為()A.3 B.32 C.1 D.解析:如圖,由題意AD=3,VA?B1DC1=13·S△B1D[例2]已知等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為.

解析:如圖(1)和(2)的原圖形和直觀圖所示.作E′F′⊥O′B′于點(diǎn)F′,因?yàn)镺E=(2)2-1=1,由斜二測(cè)畫法可知O′E′=12,E′F′=24答案:2[例3]現(xiàn)有一個(gè)橡皮泥制作的圓柱,其底面半徑、高均為2,將它重新制作成一個(gè)體積與高不變的圓錐,則該圓錐的側(cè)面積為.

解析:設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,因?yàn)閳A錐的高為h=2,由題意13πr2·2=π×22×2,解得r=23所以圓錐的母線長(zhǎng)l=r2+?所以圓錐側(cè)面積為S側(cè)=πrl=π×23×4=83π.答案:83π[例4]為了讓學(xué)生更直觀地認(rèn)識(shí)棱錐的幾何特征,某教師計(jì)劃制作一個(gè)正四棱錐教學(xué)模型.現(xiàn)有一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體硬紙盒,其底面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形,高為10cm,將其側(cè)棱剪開,得到展開圖,如圖1所示.P1,P2,P3,P4分別是所在邊的中點(diǎn),剪去陰影部分,再沿虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四個(gè)點(diǎn)重合于點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱錐P-ABCD,如圖2所示,設(shè)AB=x(單位:cm).(1)若x=10,求正四棱錐P-ABCD的表面積;(2)當(dāng)x取何值時(shí),正四棱錐P-ABCD的體積最大?解:在正四棱錐P-ABCD中,連接AC,BD,交于點(diǎn)O,設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接PE,EO,PO.(1)因?yàn)锳B=10,所以O(shè)E=5,PE=15,所以正四棱錐P-ABCD的表面積為S表=S四邊形ABCD+4S△PBC=10×10+4×12×10×所以正四棱錐P-ABCD的表面積為400cm2.(2)因?yàn)锳B=x,所以O(shè)E=x2,PE=20-x所以PO=(20-x2所以正四棱錐P-ABCD的體積為V=13x22520-令t(x)=x4(20-x)(0<x<20),則t′(x)=5x3(16-x),當(dāng)0<x<16時(shí),t′(x)>0,t(x)單調(diào)遞增,當(dāng)16<x<20時(shí),t′(x)<0,t(x)單調(diào)遞減,所以t(x)max=t(16),所以當(dāng)x=16時(shí),正四棱錐P-ABCD的體積最大.[選題明細(xì)表]知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、直觀圖1,2,10空間幾何體的表面積與體積3,4,5,7,8,9折疊與展開問題6,12綜合問題11,13,14,151.給出下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;②有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐;③直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;④棱臺(tái)的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(A)A.0 B.1 C.2 D.3解析:①不一定,只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線;②不一定,因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形”,如圖所示;③不一定,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體;④錯(cuò)誤,棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形,各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn),但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.2.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,則原圖形是(C)A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四邊形解析:在原圖形OABC中,應(yīng)有OACB,所以四邊形OABC為平行四邊形,OD=2O′D′=2×22=42(cm),CD=C′D′=2cm,所以O(shè)C=OD2+C3.《算術(shù)書》竹簡(jiǎn)于二十世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)著作,其中記載有求“囷蓋”的術(shù):置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出圓錐的底面周長(zhǎng)l與高h(yuǎn),計(jì)算其體積V的近似公式V=136l2h,它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942lA.227 B.258 C.15750解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl(wèi)2h.由112π4.如圖所示的扇形是某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖,已知扇形所在圓的半徑R=5,扇形弧長(zhǎng)l=4π,則該圓錐的表面積為(B)A.2πB.(4+25)πC.(3+5)πD.8π+5解析:圓錐的側(cè)面展開圖中,扇形所在圓的半徑R=5,扇形弧長(zhǎng)l=4π,所以扇形的面積為S扇形=12×5×4π=25設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,則2πr=4π,解得r=2,所以底面圓的面積為S底面圓=π×22=4π.所以該圓錐的表面積為S=25π+4π=(4+25)π.5.過球的一條半徑的中點(diǎn),作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積是球的表面積的(A)A.316 B.916 C.38解析:如圖所示的是過球心的截面圖,r=R2-14R2=326.如圖,正三棱柱ABCA1B1C1中,A1A=4,AB=1.一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā),沿每個(gè)側(cè)面爬到A1,路線為A→M→N→A1,則螞蟻爬行的最短路程是.

解析:將三棱柱的側(cè)面展開得如圖,所以螞蟻爬行的最短路程是線段AA1=32答案:57.某公園設(shè)置了一些石凳供大家休息,每張石凳是由正方體石料截去八個(gè)一樣的四面體得到的,如圖所示.如果一張石凳的體積是0.18m3,那么原正方體石料的體積是m3.

解析:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的體積為a3,每一個(gè)截去的四面體的體積為13×12·a2·a2·a2=a348,由題意可知a答案:0.2168.已知圓錐同時(shí)滿足條件:①側(cè)面展開圖為半圓;②底面半徑為正整數(shù),請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的圓錐的體積V=.

解析:設(shè)底面半徑r=1,母線長(zhǎng)為l,由展開圖為半圓,可知2π=l·π,所以l=2,所以圓錐的高h(yuǎn)=l2-r2=3,則體積V=13πr答案:3π9.如圖,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此幾何體的體積.解:法一如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法”把原幾何體分割成一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐.所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.由題意知三棱柱ABCNDM的體積為V1=12×8×6×3=72.四棱錐DMNEF的體積為V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,則幾何體的體積為V=V1+V法二用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個(gè)直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V幾何體=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×10.(多選題)如圖所示的是水平放置的三角形直觀圖,D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點(diǎn),且D′C′<D′B′,又A′D′∥y′軸,那么原△ABC的AB,AD,AC三條線段中(AD)A.最長(zhǎng)的是AB B.最長(zhǎng)的是ACC.最短的是AC D.最短的是AD解析:由題意得到原△ABC的平面圖如圖所示.其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以AB,AD,AC三條線段中最長(zhǎng)的是AB,最短的是AD.11.(多選題)(2022·廣東廣州三模)某班級(jí)到一工廠參加社會(huì)實(shí)踐勞動(dòng),加工出如圖所示的圓臺(tái)O1O2,在軸截面ABCD中,AB=AD=BC=2cm,且CD=2AB,則下列說法正確的是(BCD)A.該圓臺(tái)的高為1cmB.該圓臺(tái)軸截面面積為33cm2C.該圓臺(tái)的體積為73πD.一只小蟲從點(diǎn)C沿著該圓臺(tái)的側(cè)面爬行到AD的中點(diǎn),所經(jīng)過的最短路程為5cm解析:如圖(1)所示,作BE⊥CD交CD于點(diǎn)E,易得CE=CD-AB2=1,則BE=22-圓臺(tái)的軸截面面積為12×(2+4)×3=33cm2,B正確;圓臺(tái)的體積為13×3×(π+4π+π·4π)=將圓臺(tái)一半側(cè)面展開,如圖(2)陰影部分所示,設(shè)P為AD的中點(diǎn),由O2B∶O1C=1∶2可得OB∶OC=1∶2,則OC=4,∠COD=4π24=π2,又OP=OA+AD即點(diǎn)C到AD的中點(diǎn)所經(jīng)過的最短路程為5cm,D正確.12.(2022·河南鄭州二模)在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,P是線段BC1上的一動(dòng)點(diǎn),則A1P+PC的最小值為.

解析:如圖,連接A1B,A1C1,將△BCC1沿BC1翻折到與△A1BC1在同一個(gè)平面,如圖所示.已知△A1BC1為等邊三角形,△BCC1為等腰三角形,兩個(gè)三角形有公共邊BC1,則當(dāng)P是BC1的中點(diǎn)時(shí),A1,P,C三點(diǎn)共線,