高考數(shù)學第一輪復習復習第2節(jié)　空間點、直線、平面之間的位置關系（講義）

第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關系[課程標準要求]1.借助長方體模型,在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關系的基礎上,抽象出空間線、面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的基本事實和定理.3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關系的簡單命題.1.四個基本事實基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.基本事實2:如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3:如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.基本事實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.2.用集合語言描述點、線、面間的位置關系(1)點與平面的位置關系點A在平面α內(nèi),記作A∈α;點A不在平面α內(nèi),記作A?α.(2)點與直線的位置關系點A在直線l上,記作A∈l;點A不在直線l上,記作A?l.(3)直線與平面的位置關系直線l在平面α內(nèi),記作l?α;直線l不在平面α內(nèi),記作l?α.(4)平面α與平面β相交于直線a,記作α∩β=a.(5)直線l與平面α相交于點A,記作l∩α=A.(6)直線a與直線b相交于點A,記作a∩b=A.3.空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系共面直線(2)異面直線所成的角①定義:設a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍:(0,π2(3)等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.4.空間中直線與平面、平面與平面的位置關系位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α=A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α無數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β=l無數(shù)個1.(必修第二冊P128練習T4改編)“點在直線a上,但不在平面α內(nèi)”,用數(shù)學符號表示正確的是(A)A.A∈a且A?α B.A∈a且A?αC.A?a且A?α D.A?a且A∈α解析:“點在直線a上,但不在平面α內(nèi)”的符號語言為A∈a且A?α.2.(多選題)下列敘述正確的是(ABD)A.若P∈(α∩β),且α∩β=l,則P∈lB.若直線a∩b=A,則直線a與b能確定一個平面C.三點A,B,C確定一個平面D.若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,則l?α解析:點P是兩平面的公共點,當然在交線上,故A正確;兩相交直線確定一個平面,故B正確;只有不共線的三點才能確定一個平面,故C錯誤;直線上有兩點在一個平面內(nèi),則整條直線都在平面內(nèi).3.(2023·重慶月考)如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C?l,直線AB∩l=M,過A,B,C三點的平面記作γ,則γ與β的交線必通過(D)A.點A B.點BC.點C但不過點M D.點C和點M解析:因為AB?γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根據(jù)基本事實3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點C也在γ與β的交線上.4.已知下列說法:①若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;②若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線;③若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b一定不相交;④若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b平行或異面;⑤若兩個平面α∩β=b,a?α,則a與β一定相交.其中正確的是(將你認為正確的序號都填上).

解析:①錯誤.a與b也可能異面.②錯誤.a與b也可能平行.③正確.因為α∥β,所以α與β無公共點.又因為a?α,b?β,所以a與b無公共點.④正確.由已知及③知,a與b無公共點,那么a∥b或a與b異面.⑤錯誤.a與β也可能平行.答案:③④平面的基本性質(zhì)及應用1.(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為DB的中點,直線A1C交平面C1BD于點M,則下列結(jié)論正確的是(ABC)A.C1,M,O三點共線B.C1,M,O,C四點共面C.C1,O,A,M四點共面D.D1,D,O,M四點共面解析:連接AC,A1C1(圖略),由題意知點O為BD,AC的交點,且平面C1BD∩平面A1ACC1=C1O,因為直線A1C交平面C1BD于點M,所以點M∈直線C1O,所以C1,M,O三點共線,故選項A正確;因為C1,M,O三點共線,所以C1,M,O,C四點共面,故B正確;因為C1,M,O三點共線,所以C1,M,O,A四點共面,故C正確;因為直線OM∩CC1=C1,DD1∥CC1,所以DD1與OM不平行,所以D1,D,O,M四點不共面,故D錯誤.2.在四面體A-BCD中作截面PQR,若PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K,給出以下命題:①直線MN?平面PQR;②點K在直線MN上;③M,N,K,A四點共面.其中正確結(jié)論的序號為.

解析:如圖所示,四面體A-BCD中作截面PQR,PQ與CB的延長線交于點M,RQ與DB的延長線交于點N,RP與DC的延長線交于點K,對于①,M∈PQ,PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR;同理,N∈平面PQR,所以直線MN?平面PQR,①正確;對于②,點M∈平面PQR,M∈平面BCD,點N∈平面PQR,點N∈平面BCD,所以平面PQR∩平面BCD=MN,又K∈平面PQR,點K∈平面BCD,所以點K∈直線MN,即點K在直線MN上,②正確;對于③,由②知點M,N,K三點共線,則點M,N,K,A四點共面,③正確.綜上,正確的結(jié)論序號是①②③.答案:①②③(1)判斷、證明點或線共面問題的兩種方法①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi).②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)判斷、證明點共線問題的兩種方法①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上.②直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)判斷、證明線共點問題的常用方法先證其中兩條直線相交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.空間中兩條直線的位置關系兩條直線位置關系的判定[例1](1)下列四面體中,直線EF與MN可能平行的是()(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為.(填序號)

解析:(1)根據(jù)“過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線異面”,可判定A,B中EF,MN異面;D中,若EF∥MN,則過EF的平面與底面相交,EF就跟交線平行,則過點N有兩條直線與EF平行,不可能.故選C.(2)因為A,M,C1三點共面,且在平面AD1C1B內(nèi),但C1?AM,C?平面AD1C1B,所以直線AM與CC1是異面直線,同理,AM與BN也是異面直線,AM與DD1也是異面直線,①②錯誤,④正確;M,B,B1三點共面,且在平面MBB1內(nèi),B?MB1,N?平面MBB1,因此直線BN與MB1是異面直線,③正確.答案:(1)C(2)③④在直接判斷不好處理的情況下,反證法、模型法(如構(gòu)造幾何體:正方體、空間四邊形等)和特例排除法是解決此類問題的三種常用便捷方法.異面直線所成的角[例2](多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則()A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°解析:如圖,連接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因為AD1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1?平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,連接B1C,則B1C⊥BC1,因為CD∩B1C=C,CD,B1C?平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1?平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確.連接A1C1,交B1D1于點O,則易得OC1⊥平面BB1D1D,連接OB,因為OB?平面BB1D1D,所以OC1⊥OB,∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設正方體的棱長為a,則易得BC1=2a,OC1=2a2,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC1,所以∠OBC1=30°,故C錯誤.因為C1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角,易得∠CBC1求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;補形平移.(2)求異面直線所成角的三步曲:“一作、二證、三求”.①一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.[針對訓練]如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,∠DAD1=45°,∠CDC1=30°,那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是()A.24 B.28 C.34解析:連接AB1,B1D1,因為ADB1C1,所以四邊形ADC1B1為平行四邊形,所以AB1∥C1D.所以∠B1AD1(或其補角)為異面直線AD1與DC1所成的角,設DD1=CC1=a,因為∠DAD1=45°,∠C1DC=30°,所以AD=a,CD=3a,所以AD1=2a,AB1=2a,B1D1=2a,在△AB1D1中,cos∠B1AD1=A=4=24所以異面直線AD1與DC1所成角的余弦值為24[知識鏈接]1.在立體幾何中,用一個平面去截幾何體(包括圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐、長方體、正方體等),此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面,利用平面的性質(zhì)確定截面形狀是解決截面問題的關鍵.2.確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的基本事實.(2)直線和平面平行的判定和性質(zhì).(3)兩個平面平行的性質(zhì).(4)球的截面的性質(zhì).3.正方體中的基本截面類型[典例]1.一個正方體內(nèi)接于一個球,過球心作一截面,如圖所示,則截面的可能圖形是()A.①②④ B.②③ C.①②③ D.②③④解析:當截面不平行于任何側(cè)面,也不過對角線時得①,當截面過正方體的體對角線時得②,當截面平行于正方體的一個側(cè)面時得④,但無論如何都不能得到截面③.故選A.2.(多選題)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是()A.當0<CQ<12B.當CQ=12C.當CQ=34時,S與C1D1的交點R滿足C1R=D.當34解析:當CQ=12,即Q為CC1中點時,可得PQ∥AD1,AP=QD1=12+故可得截面APQD1為等腰梯形,故B正確;當點Q向C移動,滿足0<CQ<12時,只需在DD1即可得截面為四邊形APQM,故A正確;當CQ=34延長DD1至N,使D1N=12,連接AN交A1D1于點E,連接NQ交C1D1可證AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R∶D1R=C1Q∶D1N=1∶2,故可得C1R=13,故C正確;由C可知當33.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以A為球心,半徑為233的球面與正方體表面的交線長為解析:正方體的各個面根據(jù)與球心位置關系分成兩類:ABCD,AA1D1D,AA1B1B為過球心的截面,截痕為圓弧,各弧圓心角都為π6,A1B1C1D1,B1BCC1,D1DCC1為與球心距離為1的截面,截痕為圓弧,由于截面圓半徑為r=33,各段弧圓心角都為π2.所以這條曲線長度為3×π6×233+3×答案:5作截面的幾種方法(1)直接法:有兩點在幾何體的同一個面上,連接該兩點即為幾何體與截面的交線,找截面實際就是找交線的過程.(2)延長線法:同一個平面有兩個點,可以連線并延長至與其他平面相交找到交點.[拓展演練]1.一正四面體木塊如圖所示,點P是棱VA的中點,過點P將木塊鋸開,使截面平行于棱VB和AC,則下列關于截面的說法正確的是()A.滿足條件的截面不存在B.截面是一個梯形C.截面是一個菱形D.截面是一個三角形解析:取AB的中點D,BC的中點E,VC的中點F,連接PD,PF,DE,EF,易得PD12VB,EF12VB,所以PDEF,所以四邊形PDEF為平行四邊形,又VB?平面PDEF,PD?平面PDEF,由線面平行的判定定理可知,VB∥平面PDEF,同理,AC∥平面PDEF,即截面為四邊形PDEF,又DE=12AC=1所以?PDEF為菱形.故選C.2.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1D1,A1B1的中點,過直線BD的平面α∥平面AMN,則平面α截該正方體所得截面的面積為()A.2 B.98 C.3 D.解析:如圖,分別取C1D1,B1C1的中點P,Q,連接PQ,B1D1,DP,BQ,NP,易知MN∥B1D1∥BD,ADNP,所以四邊形ANPD為平行四邊形,所以AN∥DP.又BD和DP為平面DBQP內(nèi)的兩條相交直線,AN,MN為平面AMN內(nèi)的兩條相交直線,所以平面DBQP∥平面AMN,四邊形DBQP的面積即為所求.因為PQ∥DB,所以四邊形DBQP為梯形,PQ=12BD=2梯形的高h=12+(1所以四邊形DBQP的面積為12(PQ+BD)h=93.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為63,AB=23,D是B1C1的中點,點P是線段A1D上的動點,過BC且與AP垂直的截面α與AP交于點E,則三棱錐P-BCE的體積的最小值為()A.32 B.32 C.2 解析:如圖(1)所示,因為正三棱柱ABC-A1B1C1的體積為63,AB=23,所以34×(23)2·AA1=63,即AA1=2,因為VP?ABC=13×2×34×(23)2=23=VP?BCE+VA?BCE,所以要使三棱錐P-BCE的體積最小,則三棱錐E-ABC的體積最大,設BC的中點為F,連接AF,DF,EF,作出截面如圖(2)所示,則AF=3,因為AP⊥α,所以AE⊥EF,所以點E在以AF為直徑的圓上,所以點E到底面ABC距離的最大值為3×12=3[例1](多選題)如圖,點E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中點,則下列結(jié)論正確的是()A.GH=2EFB.GH≠2EFC.直線EF,GH是異面直線D.直線EF,GH是相交直線解析:取棱CC1的中點N,A1D1的中點M,連接EM,MH,HN,NG,FG,AC,A1C1(圖略),在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為MH∥A1C1∥AC∥FG,所以M,H,F,G四點共面,同理可得E,M,G,N四點共面,E,F,H,N四點共面,所以E,M,H,N,G,F六點共面,均在平面EFGNHM內(nèi),因為EF∥HN,HN∩HG=H,HN,HG,EF?平面EFGNHM,所以EF與GH是相交直線.由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得EF=HN=NG=FG=EM=MH,所以3EF=GH,即GH≠2EF.故選BD.[例2](多選題)(2022·江蘇徐州二模)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,已知平面α⊥AC1,則關于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積的最大值為33解析:顯然A,C成立,下面說明D成立,如圖設截面為多邊形GMEFNH,設A1G=x,則0≤x≤2,則GH=ME=NF=2x,MG=HN=EF=2(2-x),MN=22,所以多邊形GMEFNH的面積為兩個等腰梯形的面積和,所以S=12·(GH+MN)·h1+12·(MN+EF)·h因為h1=[2(2h2=(2x)所以S=12(2x+22)·32(2-x)2+12[22+2(2-x)]·32x2=-[例3]正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角的大小是.

解析:如圖所示,連接A1B,可知A1B∥E1D,所以∠A1BC1(或其補角)是異面直線E1D與BC1所成的角.連接A1C1,可求得A1C1=C1B=BA1=3,所以∠A1BC1=60°,即側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是60°.答案:60°[選題明細表]知識點、方法題號平面的基本性質(zhì)及應用1,7,9空間兩條直線的位置關系2,3,4,6,8截面問題5,12,15綜合問題10,11,13,141.下列結(jié)論正確的是(A)A.梯形可以確定一個平面B.若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行C.若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥αD.如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合解析:因為梯形的上、下兩底平行,所以梯形是平面圖形,故A正確;若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線可能相交、平行或異面,故B錯誤;當直線和平面相交時,該直線上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi),故C錯誤;如果兩個平面有三個公共點且它們共線,那么這兩個平面可能相交,故D錯誤.2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,B1C1的中點,則與直線CF互為異面直線的是(D)A.CC1 B.B1C1 C.DE D.AE解析:顯然CF與CC1,B1C1都相交,連接EF(圖略),易證明CF∥DE.CF與AE為異面直線.3.已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(A)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”?“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.4.(2021·全國乙卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為(D)A.π2 B.πC.π4 D.解析:如圖,連接BC1,PC1,因為AD1∥BC1,所以∠PBC1或其補角為直線PB與AD1所成的角,因為BB1⊥平面A1B1C1D1,所以BB1⊥PC1,又PC1⊥B1D1,BB1∩B1D1=B1,所以PC1⊥平面PBB1,所以PC1⊥PB,設正方體棱長為2,則BC1=22,PC1=12D1B1=2sin∠PBC1=PC1BC1=15.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為棱AB,A1D1,C1D1的中點,正方體被經(jīng)過E,F,G三點的平面所截,則截面圖形的面積為(B)A.32 B.334 解析:取BC中點M,A1A中點H,CC1中點N,連接EH,HF,GN,MN,ME,則EH∥NG,HF∥MN,GF∥EM,且EH=HF=FG=GN=MN=ME=14+16×(12×22×22×sin60°6.如圖,在四棱錐PABCD中,O為CD上的動點,VPOAB恒為定值,且△PDC是正三角形,則直線PD與直線AB所成角的大小是解析:因為VP所以S△ABO為定值,即O到AB的距離為定值.因為O為CD上的動點,所以CD∥AB,所以∠PDC即為異面直線PD與AB所成的角.因為△PDC為正三角形,所以∠PDC=60°.所以直線PD與直線AB所成的角為60°.答案:60°7.給出以下四個命題:①不共面的四點中,其中任意三點不共線;②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則A,B,C,D,E共面;③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;④依次首尾相接的四條線段必共面.其中正確命題的個數(shù)是.

解析:①正確,可以用反證法證明:若其中任意三點共線,則四點必共面;②不正確,從條件看出兩平面有三個公共點A,B,C,但是若A,B,C共線,則結(jié)論不正確;③不正確,共面不具有傳遞性;④不正確,因為空間四邊形的四條邊就不在一個平面上.答案:18.有些在平面幾何中成立的結(jié)論到了立體幾何中不再成立,比如:“垂直于同一條直線的兩條直線平行”;有些在平面幾何中成立的結(jié)論到了立體幾何中依然成立,比如:“平行于同一條直線的兩條直線平行”.請你寫出滿足下列條件的命題各一個.在平面幾何中成立而在立體幾何中不成立的命題:;

既在平面幾何中成立又在立體幾何中成立的命題:.

答案:兩條平行直線中的一條直線與第三條直線相交,則另一條直線也與第三條直線相交(答案不唯一)兩條平行直線中的一條直線與第三條直線垂直,則另一條直線也與第三條直線垂直(答案不唯一)9.如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點.求證:(1)E,C,D1,F四點共面;(2)CE,D1F,DA三線共點.證明:(1)如圖,連接EF,CD1,A1B.因為E,F分別是AB,AA1的中點,所以EF∥A1B.又因為A1B∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四點共面.(2)因為EF∥CD1,EF<CD1,所以CE與D1F必相交,設交點為P,則由P∈直線CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直線DA,所以CE,D1F,DA三線共點.10.(多選題)設點B為圓O上任意一點,AO垂直于圓O所在的平面,且AO=OB,對于圓O所在平面內(nèi)任意兩條相互垂直的直線a,b,有下列結(jié)論,正確的有(BC)A.當直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角B.當直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角C.直線AB與a所成角的最小值為45°D.直線AB與a所成角的最小值為60°解析:如圖,AO=OB,直線a⊥b,點D,M分別為BC,AC的中點,則∠ABC為直線AB與a所成的角,∠MDO為直線AB與b所成的角.設AO=OB=1,若∠ABC=60°,則OM=OD=MD,所以∠MDO=60°,故B正確,A不正確;因為AB與圓O所在平面所成的角為45°,即直線AB與平面內(nèi)所有直線所成的角中的最小角為45°,所以直線a與AB所成角的最小值為45°,故C正確,D不正確.11.四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點.若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長為.

解析:如圖,取BC的中點O,連接OE,OF,因為OE∥AC,OF∥BD,所以OE與OF所成的銳角即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成的角為60°,所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.當∠EOF=60°時,EF=OE=OF=12當∠EOF=120°時,取EF的中點M,則OM⊥EF,EF=2EM=2×34=3答案:12或12.在直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC是下底面.M是BB1上的點,AB=3,BC=4,AC=5,CC1=7,過三點A,M,C1作截面,當截面周長最小時,截面將三棱柱分成的上、下兩部分的體積比為.

解析:由AB=3,BC=4,AC=5得AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,又AB⊥BB1,BC∩BB1=B,所以AB⊥平面BB1C1C,將側(cè)面BCC1B1展開到平面ABB1A1內(nèi),如圖,連接AC′1,AC′1與BB1的交點即為M,此時截面周長最小,由相似可得BM=3,設四棱錐ABCC1M的體積為V1,則V1=13×12×(3+7)×4×3=20,三棱柱ABCA1B1C1的體