高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第5節(jié)　空間向量及空間位置關(guān)系（講義）

第5節(jié)空間向量及空間位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)要求]1.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示,掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示,能判斷向量的共線和垂直.3.理解直線的方向向量及平面的法向量,能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理.1.空間向量及其有關(guān)概念(1)空間向量的有關(guān)概念名稱概念表示零向量長度為0的向量0單位向量模為1的向量—相等向量方向相同且模相等的向量a=b相反向量方向相反且長度相等的向量a的相反向量-a共線向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一個平面的向量—(2)空間向量中的有關(guān)結(jié)論①任意兩個空間向量a與b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使得a=λb;②如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.③空間向量基本定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空間的一個基底.2.空間向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個非零空間向量的數(shù)量積①a·b=|a||b|cos<a,b>;②a⊥b?a·b=0;③設(shè)a=(x,y,z),則a2=|a|2,|a|=x2(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)向量差a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)數(shù)量積a·b=a1b1+a2b2+a3b3共線a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)垂直a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0夾角公式cos<a,b>=a3.空間位置關(guān)系的向量表示(1)直線的方向向量:如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合,則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量:直線l⊥α,取直線l的方向向量a,則向量a為平面α的法向量.(3)空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1∥l2n1∥n2?n1=λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2=0直線l的方向向量為n,平面α的法向量為m,l?αl∥αn⊥m?n·m=0l⊥αn∥m?n=λm(λ∈R)平面α,β的法向量分別為n,mα∥βn∥m?n=λm(λ∈R)α⊥βn⊥m?n·m=01.空間向量基本定理的三點注意(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底.(2)由于0與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,故0不能作為基向量.(3)基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示.2.證明空間任意三點共線的方法對空間三點P,A,B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線:(1)PA→=λPB(2)對空間任一點O,OP→=OA→+t(3)對空間任一點O,OP→=xOA→+y3.證明空間四點共面的方法對空間四點P,M,A,B除空間向量基本定理外,也可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點共面:(1)MP→=xMA→+y(2)對空間任一點O,OP→=OM→+xMA→1.(選擇性必修第一冊P12練習(xí)T1改編)若{a,b,c}為空間的一個基底,則下列各項中能構(gòu)成空間的基底的一組向量是(C)A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}解析:對于A,因為(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基底,排除A;對于B,因為(a+b)-(a-b)=2b,所以b,a+b,a-b共面,不能構(gòu)成基底,排除B;對于D,a+2b=32(a+b)-1所以a+b,a-b,a+2b共面,不能構(gòu)成基底,排除D;對于C,若c,a+b,a-b共面,則c=λ(a+b)+μ(a-b)=(λ+μ)a+(λ-μ)b(λ,μ∈R),則a,b,c共面,與{a,b,c}為空間的一個基底相矛盾,故c,a+b,a-b可以構(gòu)成空間的一個基底.2.已知三棱錐O-ABC,點M,N分別為AB,OC的中點,且OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示MNA.12(b+c-a) B.1C.12(a-b+c) D.1解析:因為點M為AB的中點,所以O(shè)M→=12(OA→+OB→)=因為點N為OC的中點,所以O(shè)N→=12OC所以MN→=ON→-OM→=12c-123.已知向量a=(0,-1,1)與b=(0,k-2,k2)共線,則實數(shù)k等于(D)A.0 B.1C.-1或2 D.-2或1解析:因為向量a=(0,-1,1)與b=(0,k-2,k2)共線,所以k-2-4.(多選題)已知向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),則以下說法正確的是(ABD)A.a⊥b B.|a|>|b|C.cos<a+b,a>=33 解析:向量a=(-1,2,1),b=(1,1,-1),a·b=-1+2-1=0,所以a⊥b,故A正確;|a|=1+4+1=6,|b|=1+1+1=3,所以|a|>|b|,故B正確;a+b=(0,3,0),所以cos<a+b,a>=(a+b)·a|a所以|a+b|=|a-b|,故D正確.5.已知A,B,C三點不共線,點O為平面ABC外任意一點,若點M滿足OM→=15OA→+45OB→解析:因為OM→=15OA→=15OA→+45OB→+=15OA→+2因為15+25+所以M,A,B,C四點共面.即點M∈平面ABC.答案:∈空間向量的線性運(yùn)算[例1]如圖所示,在平行六面體ABCD-1B1C1D1中,設(shè)AA→1=a,AB→=b,AD→=c,M,N,P分別是AA1,BC,C(1)AP→;(2)A1N→;(3)解:(1)因為P是C1D1的中點,所以AP→=AA1→+A1P=AA1→+AD→+(2)因為N是BC的中點,所以A1N→=A1A→=-a+b+12AD→(3)因為M是AA1的中點,N是BC的中點,所以MP→=MA→+AP→==-12a+(a+c+12b)=12NC1→=NC→+C=12AD→+A所以MP→+NC1→=(12=32a+12b+用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來.[針對訓(xùn)練]1.在四面體D-ABC中,點G是△ABC的重心,設(shè)DA→=a,DB→=b,DC→A.13a+23b+23c B.13a+C.23a+23b+23c D.23a+解析:如圖,因為G為△ABC的重心,所以DG→=DA→+AG→=DA→+13(AC→+AB→)=DA→+13(DC→-DA→2.已知矩形ABCD,P為平面ABCD外一點,且PA⊥平面ABCD,M,N分別為PC,PD上的點,且NM→=xAB→+yAD→+zAP→(x,y,z∈R),PM→=2MCA.-23 B.2C.1 D.5解析:由題可知PC→=AB→+BC→-AP→=AB→+AD→-AP→所以NM→=NP→=12DP=12(AP→-AD→)+23(AB→=-16AP→+2所以x=23,y=16,z=-所以x+y+z=23共線向量、共面向量的應(yīng)用[例2](1)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,A1E→=23A(2)如圖所示,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別在B1B和D1D上,且|BE|=13|BB1|,|DF|=23|DD1|.求證:A,E,C證明:(1)法一在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,連接EF,FB,A1B.因為A1E→A1F→所以EF→=A1F→-A=25(A1B1→+=25A1B1FB→=A1B→-A1F=A1B1→+A1A→-2=35A1B1顯然,EF→=23FB→,所以又EF∩FB=F,所以E,F,B三點共線.法二在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,連接EF,FB.由題意,A1E→A1F→易得EF→=A1F→-A1E→=23(FC→-A1D1→)=23(FC→又EF∩FB=F,故E,F,B三點共線.(2)因為AC1→=AB→+AD→+AA1→=AB→+AD→+13AA1→+23AA1→=(所以A,E,C1,F四點共面.(1)利用共線向量定理可以證明直線的平行與三點共線問題.(2)利用共面向量定理可以判定空間四點是否共面以及證明線面平行問題.[針對訓(xùn)練]1.已知空間四個點A(-3,x,3),B(-2,-1,4),C(0,3,0),D(1,1,1)在同一個平面內(nèi),則實數(shù)x等于()A.1 B.-2 C.0 D.-1解析:AB→=(1,-1-x,1),BC→=(2,4,-4),設(shè)CD→=aAB→+b所以(1,-2,1)=(a,-a-ax,a)+(2b,4b,-4b)=(a+2b,4b-a-ax,a-4b),所以a解得a=1,b=0,x=1.故選A.2.若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)(m,n∈R)三點共線,則m+n=.

解析:AB→=(3,-1,1),AC因為A,B,C三點共線,所以存在實數(shù)λ,使得AC→=λAB即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),所以m解得λ=-2,m=-7,n=4.所以m+n=-3.答案:-33.如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM→=kAC1→,(1)向量MN→是否與向量AB→,(2)直線MN是否與平面ABB1A1平行?解:(1)因為AM→=kAC1→,所以MN→=MA→+AB=kC1A→+=k(C1A→+=k(C1A→+=kB1A→+AB→=AB→-k(AA1=(1-k)AB→-kA所以由向量共面的充要條件知向量MN→與向量AB→,(2)當(dāng)k=0時,點M,A重合,點N,B重合,MN在平面ABB1A1內(nèi),當(dāng)0<k≤1時,MN不在平面ABB1A1內(nèi),又由(1)知MN→與AB→,所以MN∥平面ABB1A1.綜上,當(dāng)k=0時,直線MN在平面ABB1A1內(nèi);當(dāng)0<k≤1時,MN∥平面ABB1A1.空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用[例3]如圖所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a,點M,N分別是AB,CD的中點.(1)求證:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求向量AN→與MC(1)證明:設(shè)AB→=p,AC→=q,由題意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三個向量兩兩夾角均為60°.MN→=AN→=12(AC→+AD=12所以MN→·AB→=12=12(q·p+r·p-p2=12(a2cos60°+a2cos60°-a2=0.所以MN→⊥AB同理可證MN⊥CD.(2)解:設(shè)向量AN→與MC因為AN→=12(AC→+ADMC→=AC→-AM→所以AN→·MC→=12(q+r)·=12(q2-12q·p+r·q-12=12(a2-12a2cos60°+a2cos60°-12a2=12(a2-a24+a=a2又因為|AN→|=|MC→|=所以AN→·MC→=|AN→=32a·32a·cosθ=所以cosθ=23所以向量AN→與MC→的夾角的余弦值為(1)利用向量的數(shù)量積可證明線段的垂直關(guān)系,也可以利用垂直關(guān)系,通過向量共線確定點在線段上的位置.(2)利用夾角公式,可以求空間角.(3)可以通過|a|=a2[針對訓(xùn)練]如圖所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面為平行四邊形,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長;(2)求證:AC1⊥BD.(1)解:記AB→=a,AD→=b,則|a|=|b|=|c|=1,且任意兩個向量之間的夾角為60°,所以a·b=b·c=c·a=1×1×cos60°=12|AC1→|=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×(12+12+所以|AC1→即AC1的長為6.(2)證明:因為AC1→所以AC1→·BD=a·b+|b|2+b·c-|a|2-a·b-a·c=0.所以AC1→⊥BD平面的法向量、直線的方向向量及其應(yīng)用1.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則平面ABC的一個單位法向量是(D)A.(33,33,-B.(33,-33,C.(-33,33,D.(-33,-33,-解析:AB→=(-1,1,0),AC設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z),所以-令x=1,則y=1,z=1,所以n=(1,1,1).單位法向量為±n|n|=±(33,2.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(C)A.α∥β B.α⊥βC.α,β相交但不垂直 D.以上均不正確解析:因為n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,所以n1與n2不垂直,又n1,n2不共線,所以α與β相交但不垂直.3.已知AB→=(1,5,-2),BC→=(3,1,z),若AB→⊥BCA.337,-157,4 B.407C.407,-2,4 D.4,40解析:因為AB→⊥BC所以AB→·BC即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,所以BP⊥AB,BP⊥BC,又因為BC→所以(解得x即x=407,y=-15(1)直線的方向向量的確定:若l是空間的一條直線,A,B是l上任意兩點,則AB→及與AB(2)平面的法向量的確定:設(shè)a,b是平面α內(nèi)兩個不共線向量,n為平面α的一個法向量,則可用方程組n·利用向量證明平行、垂直問題[例4]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,點E為棱PC的中點.證明:(1)BE⊥DC;(2)BE∥平面PAD;(3)平面PCD⊥平面PAD.證明:依題意,以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),A(0,0,0).由E為棱PC的中點,得E(1,1,1).(1)BE→=(0,1,1),DC→=(2,0,0),故BE→(2)因為AB⊥AD,又PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以AB⊥PA,PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以AB⊥平面PAD,所以AB→而BE→·AB→=(0,1,1)所以BE⊥AB,又BE?平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個法向量為AB→PD→=(0,2,-2),DC設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·PD令y=1,可得n=(0,1,1)為平面PCD的一個法向量,且n·AB→=(0,1,1)·所以n⊥AB→(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件,準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo),進(jìn)而用向量表示涉及到直線、平面的要素).(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量,但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.[針對訓(xùn)練]如圖所示,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法證明:(1)PA⊥BD;(2)平面PAD⊥平面PAB.證明:(1)取BC的中點O,連接PO,因為△PBC為等邊三角形,所以PO⊥BC.因為平面PBC⊥底面ABCD,平面PBC∩底面ABCD=BC,PO?平面PBC,所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點O為坐標(biāo)原點,以BC所在直線為x軸,過點O與AB平行的直線為y軸,OP所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.不妨設(shè)CD=1,則AB=BC=2,PO=3,所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,3),所以BD→=(-2,-1,0),PA→=(1,-2,-因為BD→·PA→=(-2)×1+(-1)×(-2)+0×(-所以PA→⊥BD所以PA⊥BD.(2)取PA的中點M,連接DM,則M(12,-1,3因為DM→=(32,0,32),PB所以DM→·PB→=32×1+0×0+32所以DM→⊥PB因為DM→·PA→=32×1+0×(-2)+32所以DM→⊥PA即DM⊥PA.又因為PA∩PB=P,PA?平面PAB,PB?平面PAB,所以DM⊥平面PAB.因為DM?平面PAD,所以平面PAD⊥平面PAB.[例1]若點A(-1,1,2),B(0,3,0),C(1,0,-1),點D在z軸上,且AD→⊥BC→,則|A.2 B.22 C.32 D.6解析:由點D在z軸上,設(shè)D(0,0,m),m∈R,故AD→而BC→因為AD→⊥BC所以AD→·BC解得m=6,故|AD→|=1+1+16=32[例2]如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1為平行四邊形,E為棱AB的中點,AF→=13AD→,AG→=2GA1解析:由題圖知,設(shè)AM→=λA由已知AC1→=AB→+AD→+AA1→=2AE→+3AF→+因為M,E,F,G四點共面,所以2λ+3λ+3λ解得λ=213.故AMAC答案:2[選題明細(xì)表]知識點、方法題號空間向量的線性運(yùn)算1,2,3,4,6,15空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算7,8,9,12空間向量的綜合應(yīng)用5,10,11,13,141.如圖,在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為A1C1,B1D1的交點.若AB→=a,AD→=b,AA1A.-12a+12b+c B.12C.-12a-12b+c D.12解析:由題意,向量BM→=BB1→+12B1D1→=BB2.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,43A.6B.83C.32解析:設(shè)a=λb(λ∈R),則3=解得λ=-32,m=-23.如果向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,2),c=(1,-1,m)共面,則實數(shù)m的值是(B)A.-1B.1C.-5D.5解析:設(shè)a=xb+yc(x,y∈R),則(2,-1,3)=(-x+y,4x-y,2x+my),所以-x+y=2,4.已知O(0,0,0),A(3,-2,4),B(0,5,-1),若OC→=2A.(2,-143,103) B.(-2,143C.(2,-143,-103) D.(-2,-143解析:因為AB→=(-3,7,-5),所以O(shè)C→=23AB→=2所以點C的坐標(biāo)是(-2,143,-105.(多選題)已知空間中三點A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),則下列結(jié)論正確的是(CD)A.AB→與ACB.與AB→C.AB→與BC→D.平面ABC的一個法向量是(1,-2,5)解析:AB→=(2,1,0),AC→=(-1,2,1),不存在實數(shù)λ,使得AB→所以AB→與AC→不是共線向量,所以A錯誤;因為AB→=(2,1,0),所以與AB→共線的單位向量為(255,55,0)或(-255,-55,0),所以B錯誤;向量AB→因為AB→=(2,1,0),AC所以n·AB令x=1,則n=(1,-2,5),所以D正確.6.已知P為空間中任意一點,A,B,C,D四點滿足任意三點均不共線,但四點共面,且PA→=23PB→-xPC→解析:PA→=23PB→-xPC→+16BD→=23PB→-xPC→+由題意得12-x+16=1,所以x=-答案:-17.在正三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N→=λNC→,且AB解析:如圖所示,取B1C1的中點P,連接MP,以M為坐標(biāo)原點,MC→,MAMP→所以A(0,32,0),B1(-12,0,2),C(12,0,0),C1設(shè)N(12因為C1N→=λNC→,所以N(所以AB1→=(-12,-32,2),MN又因為AB1⊥MN,所以AB1→·MN→=0,所以-所以λ=15.答案:158.已知平面α={P|n·P0P→=0},其中點P0是平面α內(nèi)的一定點,n是平面α的一個法向量,若P0的坐標(biāo)為(2,3,4),n=(1,1,1),寫出一個平面α內(nèi)點(不同于點P0解析:設(shè)平面α內(nèi)不同于點P0的點的坐標(biāo)為P(x,y,z),則P0所以n·P0所以x+y+z=9,故可以取點P為(1,3,5)或(4,3,2)或(-2,3,8)等,答案不唯一.答案:(1,3,5)(答案不唯一)9.(2022·江蘇南京模擬)已知a=(2,-1,3),b=(1,2,2).(1)求(a+b)·(2a-b)的值;(2)當(dāng)(ka-b)⊥(a+kb)時,求實數(shù)k的值.解:(1)因為a=(2,-1,3),b=(1,2,2),故a+b=(3,1,5),2a-b=(4,-2,6)-(1,2,2)=(3,-4,4),故(a+b)·(2a-b)=3×3-1×4+5×4=25.(2)a2=22+(-1)2+32=4+1+9=14,b2=12+22+22=9,a·b=2×1-1×2+3×2=6,因為(ka-b)⊥(a+kb),所以(ka-b)·(a+kb)=0,即ka2+(k2-1)a·b-kb2=0,故14k+6(k2-1)-9k=0,即(2k+3)(3k-2)=0,故k=-32或k=210.(多選題)給出下列命題,其中為假命題的是(AD)則l∥αB.已知n為平面α的一個法向量,m為直線l的一個方向向量,若<n,m>=2π3,則l與α所成的角為C.若兩個不同的平面α,β的法向量分別為u,v,且u=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),則α∥βD.已知空間的三個向量a,b,c,則對于空間的任意一個向量p,總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc∠CAD=2π3,則∠DAB=π3,所以∠ADB=所成的角為π6,故B正確;對于C,因為u=-12v=-總存在實數(shù)x,y,z使得p=xa+yb+zc,故D錯誤.11.如圖,在四棱臺ABCDA′B′C′D′中,AA′=3,∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°,則|AC'→-(xAB→+yAD解析:由平面向量基本定理有AM→=xAB→+yAD→(x,y∈R),則點M為平面ABCD內(nèi)任一點,|AC'→-(xAB→+yAD→)|=|AC'→∠BAA′=∠DAA′=60°,AA′=3,所以AH為∠BAD的平分線,AN=32,在Rt△AHN中,AH=32cos30°=3,在Rt△AHA′中,A′H=AA'2所以|AC'→-(xAB→+yAD答案:612.已知A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),點Q在直線OP上運(yùn)動,則當(dāng)QA→·QB→取得最小值時,Q點的坐標(biāo)為解析:因為A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),則由點Q在直線OP上可得存在實數(shù)λ使得OQ→=λOP則Q(λ,λ,2λ),QA→=(1-λ,2-λ,3-2λ