高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)拓展提升課八　由遞推關(guān)系求通項公式（導(dǎo)學(xué)案）

培優(yōu)增分拓展提升課八由遞推關(guān)系求通項公式轉(zhuǎn)化思想:求數(shù)列通項公式是高考重點考查的內(nèi)容,有些數(shù)列提供遞推關(guān)系可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,利用等差或等比數(shù)列的通項公式,求得原數(shù)列的通項公式,體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用.構(gòu)造模型:數(shù)列中構(gòu)造法本質(zhì)就是將未知關(guān)系轉(zhuǎn)化為已知的等差或等比關(guān)系,是根據(jù)已知條件的特征,構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型,從而使問題簡化,體現(xiàn)發(fā)散思維.模型一形如an+1=pan+f(n)型,求通項(注:本文中p為常數(shù)且p≠0,p考點1:已知遞推數(shù)列中f(n)=q(q為常數(shù))求通項.[典例1]在數(shù)列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,求數(shù)列{an}的通項公式.解析：本題的構(gòu)造思想是設(shè)法將常數(shù)-4分解到an+1與an上去,可采用待定系數(shù)法,設(shè)每項分到x,即an+1+x=3(an+x).化簡得an+1=3an+2x,與原式對比解得x=-2,可得an+1-2=3(an-2),所以an+1?2an?2=3.又a1=5,a1-2=3為首項,3為公比的等比數(shù)列,所以an-2=3n,所以an=3n+2.【方法提煉】遞推關(guān)系形如an+1=pan+q,可構(gòu)造an+1-q1?p=p(an-q1?p),即an?考點2:已知遞推數(shù)列中f(n)=An+B求通項.[典例2]已知數(shù)列{an}滿足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,求數(shù)列{an}解析：設(shè)an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化簡后得an+1=2an+xn+y-x,對比原式解方程組得x=-1,y=0,即an+1-(n+1)=2(an-n),所以an+1?(n+1)an?n=2,即數(shù)列{an-n}是以a1-1=2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an-n=2·2n-1=2【方法提煉】遞推關(guān)系形如an+1=pan+An+B,構(gòu)造an+xn+y成等比數(shù)列,通過待定系數(shù)法可求得x,y,同理an+1=pan+f(n)中,f考點3:已知遞推數(shù)列中f(n)=rtn求通項.[典例3]已知數(shù)列an滿足an+1=2an+3×5n,a1=2,求數(shù)列{an}的通項公式解析：方法一:將遞推公式的兩邊同時除以5n+1,得an+15n+1=25×an5n+35,利用變形得an+15n+1-1=25(an5n-1),由于a151-1=-35≠0,所以數(shù)列an5n?1是以-35為首項,2方法二:設(shè)an+1+A×5n+1=2(an+A×5n),展開整理得an+1=2an-3A×5n,對比原式an+1=2an+3×5n,可得A=-1,即an+1-5n+1=2(an-5n),由于a1-51=-3≠0,所以數(shù)列an?5n是以-3為首項,2為公比的等比數(shù)列.即an-5n=-3×2n-1,故數(shù)列an的通項公式為an=5【方法提煉】遞推關(guān)系形如an+1=pan+r×tn,(t≠1,rt≠0,p≠t),滿足此遞推關(guān)系的數(shù)列的通項公式的求法:方法一:在遞推關(guān)系式的兩邊同時除以tn+1,可得an+1tn+1=pt×antn+rt,視antn方法二:可構(gòu)造an+Atn為等比數(shù)列模型,即an+1+A×tn+1=p(an+A×tn),展開整理后,利用待定系數(shù)法求出A的值(A=rp?t),然后求出an+A【加練備選】在數(shù)列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,求數(shù)列{an}的通項公式.解析：方法一原遞推公式可化為an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①比較系數(shù)得λ=-4,①式即為an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).則數(shù)列{an-4·3n-1}是首項為a1-4·31-1=-5,公比為2的等比數(shù)列,所以an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.方法二將an+1=2an+4·3n-1的兩邊同除以3n+1,得an+13n+1=23·an3n則bn+1=23bn+4設(shè)bn+1+k=23(bn+k),比較系數(shù)得k=-4則bn+1?所以bn?43是以-53為首項,23為公比的等比數(shù)列.所以bn-43=(-則bn=43-53·(23所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.模型二形如an+2=A·an+1+Ban(A,B為常數(shù),且A≠0,B≠0)求通項[典例4](1)(2022·德州模擬)在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an+2=3an+1-2an,則a解析：由題意知,an+2-an+1=2(an+1-an),因為a2-a1=2,所以{an-an?1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,an-an?1=當(dāng)n≥2時,an=(an-an?1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1=1?2n顯然n=1時滿足上式,所以an=2n-1.答案:2n-1(2)已知數(shù)列{an}中,a1=-1,a2=1,an+2=4an+1-3an,求數(shù)列{an}的通項公式.解析：設(shè)an+2+xan+1=y(an+1+xan),化簡后得an+2=(y-x)an+1+xyan,對比已知遞推關(guān)系an+2=4an+1-3an,可得y?解得x=?1y=3若x=?1y=3,則an+2-an+1=3(an+1-則{an+1-an}為首項是2,公比為3的等比數(shù)列,an+1-an=2·3n-1,利用累加法可得an=3n-1-2.若x=?3y=1,則an+2-3an+1=an+1-3則an+1?3an為首項是得到an+1-3an=4,可得an=3n-1-2.兩種情況的結(jié)果是一致的.【方法提煉】遞推關(guān)系形如an+2=A·an+1+Ban,可構(gòu)造成an+1+x模型三分式遞推數(shù)列模型考點1:已知遞推數(shù)列形如an+1=AanB[典例5](1)(2022·福州模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2,則解析：因為an+1=2anan所以an≠0,所以1an+1=1即1an+1-1an=12,又所以1an是以1為首項,1所以1an=1+(n-1)×12=n2+所以an=2n+1(n∈N*答案:2(2)已知在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=anan+3(n∈N*),則a解析：因為1an+1所以1an+1+12=3(1an+12所以1an+12是以所以1an+12=3n-1,所以1an=3所以an=22×3n?1?1(n答案:2【方法提煉】遞推數(shù)列形如an+1=Aan(1)若A=C,則通過倒數(shù)構(gòu)造1an(2)若A≠C,可通過倒數(shù)構(gòu)造1an+x成等比數(shù)列,【加練備選】已知函數(shù)f(x)=x3x+1,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),則數(shù)列{a解析：由已知得,an+1=an所以1an+1=1an+3,所以數(shù)列1an是首項為1a1=1,公差為d=3的等差數(shù)列,所以1an故an=13n?2(n∈N答案:an=13n?2(n∈考點2:遞推公式形如an+1=Aan+BCan+D([典例6](1)(2022·衡陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an=an?1+22an?1+1(n≥2),解析：其特征方程為x=x+2即2x2-2=0,解得x1=1,x2=-1,令an+1?1an+1+1=c·an?1an可得c=-13,所以數(shù)列an?1an+1是以a1?1a所以an?1an+1=13·所以an=3n答案:an=3(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=2an?14an+6,則數(shù)列解析：其特征方程為x=2x?14x+6,即4x2+4x+1=0,解得x1=令1an+1+由a1=2,得a2=314,求得c=1所以數(shù)列1an+12是以1a