事件的關(guān)系和運(yùn)算-高一數(shù)學(xué)同步教學(xué)課件(人教A版2019必修第二冊)

10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算事件A發(fā)生在每次試驗(yàn)中，A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)．一、復(fù)習(xí)回顧樣本點(diǎn)：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果．樣本空間：全體樣本點(diǎn)的集合．一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示．隨機(jī)事件（事件）：樣本空間Ω的子集．基本事件：只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件．

從前面的學(xué)習(xí)中可以看到，我們在一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件．這些事件有的簡單，有的復(fù)雜．我們希望從簡單事件的概率推算出復(fù)雜的概率，所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算．探究！在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件，例如：

Ci＝“點(diǎn)數(shù)為i”，i＝1，2，3，4，5，6；

D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2＝“點(diǎn)數(shù)大于3”；

E1＝“點(diǎn)數(shù)為1或2”；E2＝“點(diǎn)數(shù)為2或3”；

F＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；

G＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；……………

你還能寫出這個(gè)試驗(yàn)中其他一些事件嗎?請用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算，你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎?

事實(shí)上，利用樣本空間的子集表示事件，使我們可以利用集合的知識(shí)研究隨機(jī)事件，從而為研究概率的性質(zhì)和計(jì)算等提供有效而簡便的方法．

下面我們按照這一思路展開研究．

一般地，若事件A發(fā)生則必有事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)，記為B?A(或A?B)．用集合表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，

特別地,如果事件B包含事件A

,事件A也包含事件B

,即B?A且A?B，則稱事件A與事件B相等，記作A=B．二、事件的包含關(guān)系事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1}?{1，3，5},即C1?G．這時(shí)我們說事件G包含事件C1．它們分別是C1={1}和G={1，3，5}．顯然，如果事件C1發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生．

一般地，事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中，或者在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)，記作A∪B(或A＋B)．

用集合的形式表示事件D1＝“點(diǎn)數(shù)不大于3”，E1＝“點(diǎn)數(shù)為1或2”和

E2＝“點(diǎn)數(shù)為2或3”.二、并事件（和事件）它們分別是D1={1，2，3}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．可以發(fā)現(xiàn),事件E1和事件

E2至少有一個(gè)發(fā)生,相當(dāng)于事件D1發(fā)生.事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1,2}∪{2,3}={1，2，3}，即E1∪E2＝D1，這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件．可以用上圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件．

一般地，事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)即在事件A中，也在事件B中，我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)，記作A∩B(或AB)．可以用圖中的藍(lán)色區(qū)域表示這個(gè)交事件．

用集合的形式表示事件C2＝“點(diǎn)數(shù)為2”，E1＝“點(diǎn)數(shù)為1或2”和E2＝“點(diǎn)數(shù)為2或3”.四、交事件（積事件）它們分別是C2={2}，E1＝{1，2}和E2＝{2，3}．事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{1，2}∩{2，3}={2}

,即E1∩E2＝C2,這時(shí)我們稱事件C2為事件E1和事件E2的交事件.可以發(fā)現(xiàn)，事件E1和事件

E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于事件C2發(fā)生．用集合的形式表示事件C3＝“點(diǎn)數(shù)為3”，C4＝“點(diǎn)數(shù)為4”，它們分別是C3={3}，C4＝{4}．

可以發(fā)現(xiàn)，事件C3和事件C4不可能同時(shí)發(fā)生，事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{3}∩{4}=?，即C3∩C4＝?，

一般地，事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，也就是說A∩B是一個(gè)不可能事件，即A∩B=?，我們稱事件為事件A與事件B互斥(或互不相容)．可以用圖表示兩個(gè)事件互斥．五、互斥事件這時(shí)我們稱事件C3和事件C4互斥．

用集合表示事件F＝“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，G＝“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是F={2，4，6}，G＝{1，3，5}．

在任何一次試驗(yàn)中,事件F和事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一．事件之間的這種關(guān)系，用集合的形式可以表示為{2，4，6}∪{1，3，5}={1，2，3，4，5，6}，即F∪G＝Ω，

一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即A∪B=Ω，且A∩B=?，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立．

六、對(duì)立事件{2，4，6}∩{1，3，5}=?，即F∩G＝?，此時(shí)我們稱事件F和事件G互為對(duì)立事件．事件A的對(duì)立事件記為A，可以用上圖表示．①互斥事件可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上事件的關(guān)系，而對(duì)立事件

只針對(duì)兩個(gè)事件而言。②從定義上看，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一

個(gè)發(fā)生，也就是不可能同時(shí)發(fā)生；③幾個(gè)事件彼此互斥，是指這幾個(gè)事件所包含的結(jié)果組成的

集合的交集為空集；而事件A的對(duì)立事件所包含的結(jié)果組成

的集合是全集中由事件A所包含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集?；コ馐录c對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系而對(duì)立事件除了要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外,還要求這二者之間必須要有一個(gè)發(fā)生.因此，對(duì)立事件是互斥事件,是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符合表示包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生A?B或B?A并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生A∪B或A＋B交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生A∩B=?互為對(duì)立A與B有且只有一個(gè)發(fā)生A∩B=?，A∪B=Ω事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下：

類似地，我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件．

例如，對(duì)于三個(gè)事件A，B，C，A∪B∪C

(或A＋B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C中至少一個(gè)發(fā)生，A∩B∩C

(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C同時(shí)發(fā)生，等等．1、某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立事件是(

)A.至多一次中靶B.兩次都中靶C.只有一次中靶D.兩次都不中靶D2、把紅、藍(lán)、黑、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是(

)A.對(duì)立事件B.互斥但不對(duì)立事件C.不可能事件D.以上都不對(duì)B練

習(xí)乙甲例5如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件A=“甲元件正?！保珺=“乙元件正?！保?1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關(guān)系．分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組(x1，x2)表示樣本點(diǎn).確定事件A，B所包含的樣本點(diǎn)時(shí)，不僅要考慮甲元件的狀態(tài)，還要考用乙元件的狀態(tài).解：(1)用x1，x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可用(x1，x2)表示這個(gè)電路的狀態(tài)．用1表示元件正常，用0表示元件失效，則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．乙甲例5如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?，B=“乙元件正?！保?2)用集合的形式表示事件A，B以及它們的對(duì)立事件；(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關(guān)系．解：(1)用x1，x2分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可用(x1，x2)表示這個(gè)電路的狀態(tài)．用1表示元件正常，用0表示元件失效，則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．(2)A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，

乙甲例5如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．(3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B，

并說明它們的含義及關(guān)系．解：(1)

用(x1，x2)表示這個(gè)電路的狀態(tài)．

則樣本空間為：Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．(2)A={(1，0)，(1，1)}，B={(0，1)，(1，1)}，

例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球．設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”．(1)用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；解:(1)所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖所示.用數(shù)組(x1，x2)表示可能的結(jié)果，x1是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，x2是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，則試驗(yàn)的樣本空間Ω

={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}．例6設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個(gè)球顏色相同”，N=“兩個(gè)球顏色不同”．(1)用集合的形式分別寫出上述各事件；解:(1)R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，

(4，1)，(4，2)}．例6(2)事件R與R1，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？解:(1)R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；M={(1，2)，(2，1)，(3，4)，(4，3)}；R

={(1，2)，(2，1)};G={(3，4)，(4，3)}；N={(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，

(4，1)，(4，2)}．解:(2)因?yàn)镽?R1，所以事件R1包含事件

R；因?yàn)镸∩N=?，M∪N=Ω，所以事件M與事件N互為對(duì)立事件．因?yàn)镽∩G=?，所以事件R與事件G互斥；例

(3)事件R與G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？(3)因?yàn)镽∪G=M，，所以事件M是事件R