幾何圖形中新定義型問(wèn)題 中考數(shù)學(xué)

搶分秘籍12幾何圖形中新定義型問(wèn)題（含三角形，特殊的平行四邊形，圓綜合）（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)和壓軸內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問(wèn)題主要是依據(jù)基本圖形的性質(zhì)定理去解決新提出來(lái)的新問(wèn)題，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)綜合性較強(qiáng)。2．從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！題型一三角形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2023·江蘇蘇州·二模）定義：如果三角形的兩個(gè)與滿(mǎn)足，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．

(1)若是“奇妙互余三角形”，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)如圖1，在中，，若，點(diǎn)D是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，若，判斷是否是“奇妙互余三角形”，如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，在四邊形中，是對(duì)角線(xiàn)，，，若，且是“奇妙互余三角形”，求的長(zhǎng)．本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用．本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用．【例2】（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）【定義】如圖①，若內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)．【探究】（1）如圖②，在中，，點(diǎn)P是的一個(gè)布洛卡點(diǎn)．求證：．【應(yīng)用】（2）如圖③，在【探究】的條件下，若，且．判斷AP與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．1．（2023·山東青島·一模）定義：三角形一邊中線(xiàn)的中點(diǎn)和該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為中原三角形．如圖①，是的中線(xiàn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫(xiě)出答案）．(2)如圖②，是的中線(xiàn)，E是邊上的點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)F，連接．求證：是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，求與的面積之比．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），，，，連接，則______（填“”或“=”或“”），______°（用含的代數(shù)式表示）．(2)如圖②，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，，、分別是底邊、的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，，，，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．3．（2023·浙江寧波·二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線(xiàn)兩側(cè)，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．(1)如圖1，四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，，求證：和為疊似三角形；(2)如圖2，和為疊似三角形，若，，求四邊形的周長(zhǎng)；(3)如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且，若，求的值．4．（2023·貴州遵義·一模）綜合與實(shí)踐新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形．(1)【初步嘗試】如圖1，已知中，，，，為上一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與為積等三角形；(2)【理解運(yùn)用】如圖2，與為積等三角形；若，，且線(xiàn)段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求的長(zhǎng)；(3)【綜合應(yīng)用】如圖3，已知中，，分別以，為邊向外作正方形和正方形，連接，求證：與為積等三角形．題型二矩形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）定義：長(zhǎng)寬比為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)矩形

操作1：將正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，折痕為．操作2：將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)，點(diǎn)分別落在邊，上．(1)證明：四邊形為矩形；(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖，是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，若點(diǎn)在邊上，，連接．求的值；②若，點(diǎn)在邊上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求；③連接，作，垂足為，若，則的最大值______．本題是相似形綜合題，主要考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性和垂線(xiàn)段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．本題是相似形綜合題，主要考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性和垂線(xiàn)段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江西九江·一模）新定義：若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱(chēng)這個(gè)三角形為比例三角形．例如：三邊的長(zhǎng)分別為，，．因?yàn)?，所以是比例三角形．【?wèn)題提出】（1）已知是比例三角形，，，求的長(zhǎng)；【問(wèn)題探究】（2）如圖1，P是矩形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，平分，交邊于點(diǎn)Q，．①求證：；②求證：是比例三角形．【問(wèn)題延伸】（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)Q能否重合？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（23-24九年級(jí)上·吉林松原·期末）定義：對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱(chēng)為鑲嵌四邊形．(1)如圖1，將紙片沿中位線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，再將紙片分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都與點(diǎn)重合，得到雙層四邊形，則雙層四邊形為_(kāi)_____形．(2)紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形為矩形，若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，四邊形紙片滿(mǎn)足，，，，．把該紙片折疊，得到雙層四邊形為正方形．請(qǐng)你畫(huà)出一種折疊的示意圖，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．2．（2023·廣東廣州·一模）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖①，等腰直角四邊形，，．①若，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；②若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，在矩形中，，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交邊，于點(diǎn)，，要使四邊形是等腰直角四邊形，求的長(zhǎng)．題型三菱形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·黑龍江哈爾濱·一模）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相關(guān)任務(wù)：定義：點(diǎn)P是內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在，或中，如果有一個(gè)三角形與相似，那么稱(chēng)點(diǎn)P是的“相似點(diǎn)”．例：如圖①，點(diǎn)P在的內(nèi)部，，則，故點(diǎn)P為的“相似點(diǎn)”．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：(1)如圖②，在中，，平分，求證：點(diǎn)P為的“相似點(diǎn)”；(2)如圖③，若為銳角三角形，點(diǎn)E是的“相似點(diǎn)”，且點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E在的平分線(xiàn)上，連接，若，求的值；(3)如圖④，在菱形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)G，連接，若點(diǎn)G是的“相似點(diǎn)”，且，求證：．本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.【例2】（22-23八年級(jí)下·江蘇南京·期末）定義：若一個(gè)四邊形只有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對(duì)的對(duì)角線(xiàn)平分一個(gè)內(nèi)角，則稱(chēng)這樣的四邊形為“近似菱形”．例如：如圖①，在四邊形中，，若平分，則四邊形是近似菱形．

(1)如圖②，在四邊形中，，，．求證：四邊形是“近似菱形”，(2)如圖③，已知線(xiàn)段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且與互補(bǔ)．要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．(3)在（2）的條件下，“近似菱形”中的取值范圍是________________．1．定義：在三角形中，若有兩條中線(xiàn)互相垂直，則稱(chēng)該三角形為中垂三角形．

(1)如圖（a），是中垂三角形，分別是邊上的中線(xiàn)，且于點(diǎn)，若，求證：是等腰三角形．(2)如圖（b），在中垂三角形中，分別是邊上的中線(xiàn)，且于點(diǎn)，求證：．(3)如圖（c），四邊形是菱形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．求證：是中垂三角形；題型四正方形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·江西宜春·一模）定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．如圖1，四邊形中，，，則四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形②等補(bǔ)四邊形中，若，則；③如圖1，在四邊形中，平分，，．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．(2)探究發(fā)現(xiàn)如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·浙江·一模）定義：在四邊形內(nèi)，如果有一點(diǎn)和一組對(duì)邊組成的兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么這個(gè)四邊形叫做蝴蝶四邊形．例如圖1，，，則四邊形為蝴蝶四邊形．(1)【概念理解】如圖2，正方形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于O．求證：正方形為蝴蝶四邊形；(2)【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形中，．求證：；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在蝴蝶四邊形中，，，．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)以為邊的正方形的面積．1．定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作完美四邊形．如圖1，四邊形中，，（或），則四邊形叫作完美四邊形．

(1)概念理解：在以下四種圖形中：①平行四邊形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四邊形”的是______；（填寫(xiě)序號(hào)）(2)性質(zhì)探究：如圖2，完美四邊形中，，，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明，(3)拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形是完美四邊形，，，，，當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的最大值．2．（2023·湖南·一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形稱(chēng)為“等補(bǔ)四邊形”．(1)下列選項(xiàng)中一定是“等補(bǔ)四邊形”的是________；A．平行四邊形；B．矩形；C．正方形；D．菱形(2)如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（E不與C、D重合），交于點(diǎn)F，過(guò)F作交于點(diǎn)H．①試判斷四邊形是否為“等補(bǔ)四邊形”并說(shuō)明理由；②如圖2，連接，求的周長(zhǎng)；③若四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，求的長(zhǎng)．3．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在初二下學(xué)期我們學(xué)習(xí)了三角形中位線(xiàn)的定義以及三角形中位線(xiàn)定理，并且能用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．【問(wèn)題再現(xiàn)】已知：如圖1，在中，D、E分別是邊的中點(diǎn)，求證：，【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖2，A、B兩地被建筑物阻隔，為測(cè)量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接，分別取的中點(diǎn)D、E．測(cè)得的長(zhǎng)為，則A、B兩地的距離為_(kāi)______．（2）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是和的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】如圖4，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G恰好在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，交于點(diǎn)H，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．題型五圓中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號(hào)）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，，，，且．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的值．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇泰州·三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)E，若，，，則的長(zhǎng)度＝______cm．【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留痕跡）【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點(diǎn)，B為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點(diǎn)不共線(xiàn)），對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)E，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)E到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．

1．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，指導(dǎo)老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形．同時(shí)老師還給出如下幾個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫忙解決：(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，已知A、B、C、D在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，且以、為邊的四邊形是對(duì)等四邊形，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)如圖2，在圓內(nèi)接四邊形中，是的直徑，．求證：四邊形是對(duì)等四邊形；(3)如圖3，在中，，，，點(diǎn)A為中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)P出發(fā)，沿以1/秒的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若四邊形是對(duì)等四邊形時(shí)，求t的值．2．（2023·四川遂寧·一模）定義：如圖，若點(diǎn)在直線(xiàn)上，在的同側(cè)有兩條以為端點(diǎn)的線(xiàn)段、，滿(mǎn)足，則稱(chēng)和關(guān)于直線(xiàn)滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”；定義：如圖，在中，的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在、、上，若和關(guān)于滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，和關(guān)于滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，和關(guān)于滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱(chēng)為的光線(xiàn)三角形．閱讀以上定義，并探究問(wèn)題：在中，，，三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在、、上．(1)如圖3，若，和關(guān)于滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，求的度數(shù)；(2)如圖4，在中，作于，以為直徑的圓分別交，于點(diǎn)，．證明：為的光線(xiàn)三角形．3．（2023·廣東陽(yáng)江·三模）定義：中，，則稱(chēng)為倍余三角形．

(1)下列說(shuō)法正確的是．①倍余三角形一定是鈍角三角形；②等腰三角形不可能是倍余三角形．(2)如圖1，內(nèi)接于，點(diǎn)在直徑上不與，重合，滿(mǎn)足，求證：為倍余三角形；(3)在（2）的條件下，①如圖1，連接，若也為倍余三角形，求的度數(shù)；②如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，若面積為面積的倍，求的值．搶分秘籍12幾何圖形中新定義型問(wèn)題（含三角形，特殊的平行四邊形，圓綜合）（壓軸通關(guān)）目錄【中考預(yù)測(cè)】預(yù)測(cè)考向，總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含新考法、新情境等）三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問(wèn)題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)和壓軸內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?．從考點(diǎn)頻率看，三角形，特殊的平行四邊形，圓中新定義型問(wèn)題主要是依據(jù)基本圖形的性質(zhì)定理去解決新提出來(lái)的新問(wèn)題，也是高頻考點(diǎn)、必考點(diǎn)綜合性較強(qiáng)。2．從題型角度看，以解答題的最后一題或最后第二題為主，分值12分左右，著實(shí)不少！題型一三角形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2023·江蘇蘇州·二模）定義：如果三角形的兩個(gè)與滿(mǎn)足，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“奇妙互余三角形”．

(1)若是“奇妙互余三角形”，，，則的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)如圖1，在中，，若，點(diǎn)D是線(xiàn)段上的一點(diǎn)，若，判斷是否是“奇妙互余三角形”，如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，在四邊形中，是對(duì)角線(xiàn)，，，若，且是“奇妙互余三角形”，求的長(zhǎng)．【答案】(1)或(2)是“奇妙互余三角形”，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）由題意知，“奇妙互余三角形”分和，兩種情況求解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算求解即可；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于，由勾股定理得，，則，證明，則，即，解得，，，由，，證明，則，，進(jìn)而可得是“奇妙互余三角形”；（3）如圖2，將沿翻折到，，，由，可得，則三點(diǎn)共線(xiàn)，由，是“奇妙互余三角形”，可得，證明，則，即，解得，由勾股定理得，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，“奇妙互余三角形”分和，兩種情況求解：①當(dāng)時(shí)，∵，∴，由，可得；②當(dāng)時(shí)，∵，，∴，解得；綜上，的值為或，故答案為：或；（2）解：是“奇妙互余三角形”，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于，

由勾股定理得，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴是“奇妙互余三角形”；（3）解：如圖2，將沿翻折到，

∴，，，∴，，∵，∴，∴三點(diǎn)共線(xiàn)，∵，∴，∵是“奇妙互余三角形”，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，由勾股定理得，∴的長(zhǎng)為．本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用．本題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，翻折的性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活運(yùn)用．【例2】（2023·吉林長(zhǎng)春·二模）【定義】如圖①，若內(nèi)一點(diǎn)P滿(mǎn)足，則點(diǎn)P為的布洛卡點(diǎn)．【探究】（1）如圖②，在中，，點(diǎn)P是的一個(gè)布洛卡點(diǎn)．求證：．【應(yīng)用】（2）如圖③，在【探究】的條件下，若，且．判斷AP與CP的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析【分析】（1）找，證明過(guò)程利用等腰三角形的性質(zhì)及布洛卡角的概念，通過(guò)找出三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等來(lái)證明；（2）根據(jù)是等腰直角三角形，得到，由（1）知，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到，，即可得到．【詳解】（1）證明：，，點(diǎn)是的一個(gè)布洛卡點(diǎn)，，；（2）解：，理由：是等腰直角三角形，，由（1）知，，，，．【點(diǎn)睛】本題是相似形的綜合題，考查了新概念問(wèn)題、等腰三角形、等腰直角三角形、相似三角形的判定定理和性質(zhì)、涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是：通過(guò)閱讀材料，弄明白題中的新定義或新概念，然后利用概念及靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解答．1．（2023·山東青島·一模）定義：三角形一邊中線(xiàn)的中點(diǎn)和該邊的兩個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形稱(chēng)為中原三角形．如圖①，是的中線(xiàn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則是中原三角形．

(1)求中原三角形與原三角形的面積之比（直接寫(xiě)出答案）．(2)如圖②，是的中線(xiàn)，E是邊上的點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)F，連接．求證：是中原三角形．(3)如圖③，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，求與的面積之比．【答案】(1)中原三角形與原三角形的面積之比為(2)見(jiàn)解析(3)與的面積之比為【分析】（1）由F是的中點(diǎn)，可得，即有，故中原三角形與原三角形的面積之比為；（2）作的中點(diǎn)G，連接，由是的中線(xiàn)，可得是的中位線(xiàn)，，即得，即，根據(jù)，，可得，即得，從而是中原三角形；（3）過(guò)D作交于H，由，D是中點(diǎn)，F(xiàn)是中點(diǎn)，可得，即知，可得，有，，從而，，即有，再根據(jù)，即得與的面積之比．【詳解】（1）解：∵F是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴中原三角形與原三角形的面積之比為；（2）證明：作的中點(diǎn)G，連接，如圖：

∵是的中線(xiàn)，∴D是中點(diǎn)，∵G是中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，，∴，即，∵，∴，∴，又∵，∴，即F是中點(diǎn)，∴是中原三角形；（3）解：過(guò)D作交于H，如圖：

∵，D是中點(diǎn)，∴，∵，F(xiàn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，由（1）知：，∴，∴，∴與的面積之比為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例以及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇揚(yáng)州·二模）給出一個(gè)新定義：有兩個(gè)等腰三角形，如果它們的頂角相等、頂角頂點(diǎn)互相重合且其中一個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角頂點(diǎn)在另一個(gè)等腰三角形的底邊上，那么這兩個(gè)等腰三角形互為“友好三角形”．

(1)如圖①，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)），，，，連接，則______（填“”或“=”或“”），______°（用含的代數(shù)式表示）．(2)如圖②，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，，、分別是底邊、的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖③，和互為“友好三角形”，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，，，，，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，若點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由，可得，證明，則，，根據(jù)，計(jì)算求解可求；（2）如圖②，連接，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，，，則，，證明，則，同（1）可證，則，進(jìn)而可得；（3）由題意知，在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，由（1）可知，，即，如圖③，過(guò)作于，則為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，由，，，可得，，則，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，，則，即，解得，由，可知當(dāng)時(shí)，最大，值為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)從回到點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，故答案為：，；（2）解：，理由如下：如圖②，連接，

由題意知，和均為等邊三角形，∵、分別是底邊、的中點(diǎn)，∴，，，，∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，同（1）可證，∴，∴；（3）解：由題意知，在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，由（1）可知，，即，如圖③，過(guò)作于，則為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，

∵，，，∴，，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，∵，∴，∴，即，解得，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大，值為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)從回到點(diǎn)，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，∴點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦，三角形內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．3．（2023·浙江寧波·二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的平分線(xiàn)兩側(cè)，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．(1)如圖1，四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，，求證：和為疊似三角形；(2)如圖2，和為疊似三角形，若，，求四邊形的周長(zhǎng)；(3)如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且，若，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟記定理內(nèi)容進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)，結(jié)合條件，可得；再由可得，即可求證；（2）由條件可推出，；再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)度即可求解；（3）作，證得出；再證得出，．即可求解．【詳解】（1）證明：∵平分，∴∵，∴∵，∴∵∴，∴∴和為疊似三角形（2）解：∵，∴由（1）得：∴∴∵和為疊似三角形，∴，，∴，∴，，∴四邊形的周長(zhǎng)為：（3）解：作，如圖所示：∵，∴∵∵，∵F為中點(diǎn)，又，即：∴∴4．（2023·貴州遵義·一模）綜合與實(shí)踐新定義：我們把兩個(gè)面積相等但不全等的三角形叫做積等三角形．(1)【初步嘗試】如圖1，已知中，，，，為上一點(diǎn)，當(dāng)______時(shí)，與為積等三角形；(2)【理解運(yùn)用】如圖2，與為積等三角形；若，，且線(xiàn)段的長(zhǎng)度為正整數(shù)，求的長(zhǎng)；(3)【綜合應(yīng)用】如圖3，已知中，，分別以，為邊向外作正方形和正方形，連接，求證：與為積等三角形．【答案】(1)1.5(2)2或3(3)見(jiàn)詳解【分析】（1）利用三角形中線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題（2）證明，推出，，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題．（3）過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，先證明，則，，然后再依據(jù)積等三角形的定義進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）如圖，在中，，∵，，∴，∴，，∵與不全等與為積等三角形，∴．，∴．當(dāng)時(shí)，與為積等三角形．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，∵與為積等三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴．∴的長(zhǎng)為2或3．（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∵四邊形和四邊形均為正方形，∴，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴與為積等三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)、全等三角形的判定與性質(zhì)．理解并掌握積等三角形的定義，是解題的關(guān)鍵．題型二矩形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2023·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）定義：長(zhǎng)寬比為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為，我們通過(guò)折疊的方式折出一個(gè)矩形

操作1：將正方形沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對(duì)角線(xiàn)上的點(diǎn)處，折痕為．操作2：將沿過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)，點(diǎn)分別落在邊，上．(1)證明：四邊形為矩形；(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖，是對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，若點(diǎn)在邊上，，連接．求的值；②若，點(diǎn)在邊上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求；③連接，作，垂足為，若，則的最大值______．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①②③【分析】（1）先判斷出，進(jìn)而判斷出四邊形是矩形，再求出的值，即可得出結(jié)論；（2）①如圖，先判斷出四邊形是矩形，進(jìn)而得出，，再判斷出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；②作關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則的周長(zhǎng)最小，判斷出，得出．進(jìn)而得出．即可得出結(jié)論；③先求出，再判斷出點(diǎn)在以為直徑的圓上，記的中點(diǎn)為，易得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，∵是正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴，由折疊性質(zhì)可知，，則四邊形為矩形，∴是等腰直角三角形．∴，∴，∴四邊形為矩形；（2）解：①如圖，作，，垂足分別為，

∵四邊形是矩形，，∴四邊形是矩形．∴，，∴，，∵為中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；②如圖，作關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，連接，則的周長(zhǎng)最小，

∵，∴，設(shè)，則，∴，∴；③如圖，

∵四邊形為矩形，，∴，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，記的中點(diǎn)為，∴，當(dāng)在同一直線(xiàn)上時(shí)，有最大值，如圖，

∴．故答案為：．本題是相似形綜合題，主要考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性和垂線(xiàn)段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．本題是相似形綜合題，主要考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性和垂線(xiàn)段最短確定出最小值是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2024·江西九江·一模）新定義：若一個(gè)三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，則稱(chēng)這個(gè)三角形為比例三角形．例如：三邊的長(zhǎng)分別為，，．因?yàn)?，所以是比例三角形．【?wèn)題提出】（1）已知是比例三角形，，，求的長(zhǎng)；【問(wèn)題探究】（2）如圖1，P是矩形的邊上的一動(dòng)點(diǎn)，平分，交邊于點(diǎn)Q，．①求證：；②求證：是比例三角形．【問(wèn)題延伸】（3）如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)Q能否重合？若能，求出的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（3）能．【分析】本題考查了新定義，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程．（1）根據(jù)比例三角形的概念，分類(lèi)討論，列式計(jì)算即可求解；（2）①利用兩角對(duì)應(yīng)相等，證明即可；②利用角平分線(xiàn)的定義證明角相等，推出，再利用得到對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解；（3）證明，利用相似三角形的性質(zhì)，列出一元二次方程，據(jù)此求解即可．【詳解】解：（1）是比例三角形，且，，①當(dāng)時(shí)，得，解得，，（不符合題意，舍去）；②當(dāng)時(shí)，得，解得.，（不符合題意，舍去）；③當(dāng)時(shí)，得，解得（負(fù)值已舍去），當(dāng)時(shí)，是比例三角形，（2）①證明：四邊形是矩形，，，又，；②證明：由①，知，，即.∵，，平分，，，，，是比例三角形；（3）能，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合時(shí)，，，，，，，，，；在中，，即，解得或（舍去），．1．定義：對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的四邊形，則這樣的四邊形稱(chēng)為鑲嵌四邊形．(1)如圖1，將紙片沿中位線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，再將紙片分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都與點(diǎn)重合，得到雙層四邊形，則雙層四邊形為_(kāi)_____形．(2)紙片按圖2的方式折疊，折成雙層四邊形為矩形，若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖3，四邊形紙片滿(mǎn)足，，，，．把該紙片折疊，得到雙層四邊形為正方形．請(qǐng)你畫(huà)出一種折疊的示意圖，并直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)矩(2)(3)答案不唯一，見(jiàn)解析【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，可得四邊形是矩形；（2）由勾股定理可求，由“”可證，可得，由折疊的性質(zhì)可得，，即可求解；（3）分三種情況討論，由正方形的性質(zhì)和勾股定理可求解．【詳解】（1）雙層四邊形為矩形，理由如下：由折疊的性質(zhì)可得，，，，，同理可得，四邊形是矩形，故答案為：矩；（2）四邊形為矩形，，，，，，又為平行四邊形，，，由折疊得，，，在與中，，，，由折疊得，，，又，，又，，．（3）有以下三種基本折法：折法1中，如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：，，，，，四邊形是疊合正方形，，，，；折法2中，如圖所示：由折疊的性質(zhì)得：四邊形的面積梯形的面積，，，，，，，四邊形是疊合正方形，，正方形的面積，，，設(shè)，則，梯形的面積，，，，，，解得：，，．折法3中，如圖所示，作于，則，分別為，的中點(diǎn)，則，，正方形的邊長(zhǎng)，，，．綜上所述：或11或．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題目，主要考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、梯形面積的計(jì)算、解方程等知識(shí)的綜合運(yùn)用；折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．2．（2023·廣東廣州·一模）定義新概念：有一組鄰邊相等，且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖①，等腰直角四邊形，，．①若，于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；②若，，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，在矩形中，，點(diǎn)是對(duì)角線(xiàn)上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交邊，于點(diǎn)，，要使四邊形是等腰直角四邊形，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①；②(2)滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為【分析】（1）①根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理求出的值；②連接、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)E，證明垂直平分，得出，證明，得出，證明，得出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；（2）若，則，，推出四邊形表示等腰直角四邊形，不符合條件．若與不垂直，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四邊形是等腰直角四邊形，當(dāng)時(shí)，此時(shí)四邊形是等腰直角四邊形，分別求解即可．【詳解】（1）解：①連接，如圖所示：∵，，∴，∵，∴，∴；②連接、，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，交于點(diǎn)E，如圖所示：則，∵，，∴，∴，∵，，∴、在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴．（2）解：∵四邊形為矩形，∴，，，；若時(shí)，如圖所示：則四邊形和為矩形，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，；∴四邊形不可能是等腰直角四邊形；若與不垂直，當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴此時(shí)點(diǎn)F不在邊上，不符合題意；若與不垂直，當(dāng)時(shí)，如圖所示：此時(shí)四邊形是等腰直角四邊形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述，滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，作出輔助線(xiàn)，畫(huà)出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合，注意分類(lèi)討論．題型三菱形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·黑龍江哈爾濱·一模）請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相關(guān)任務(wù)：定義：點(diǎn)P是內(nèi)部或邊上的點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），在，或中，如果有一個(gè)三角形與相似，那么稱(chēng)點(diǎn)P是的“相似點(diǎn)”．例：如圖①，點(diǎn)P在的內(nèi)部，，則，故點(diǎn)P為的“相似點(diǎn)”．請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合上述材料，解決下列問(wèn)題：(1)如圖②，在中，，平分，求證：點(diǎn)P為的“相似點(diǎn)”；(2)如圖③，若為銳角三角形，點(diǎn)E是的“相似點(diǎn)”，且點(diǎn)B與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)E在的平分線(xiàn)上，連接，若，求的值；(3)如圖④，在菱形中，E是上一點(diǎn)，F(xiàn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)G，連接，若點(diǎn)G是的“相似點(diǎn)”，且，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.（1）由條件可推出，證即可；（2）由題意得，可推出，再證即可；（3）由題意得，可推出，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，證即可；【詳解】（1）證明：∵，∴∵平分，∴∴∴∴點(diǎn)P為的“相似點(diǎn)”（2）解：由題意得：∴∵平分∴∴∵∴∴（3）證明：∵點(diǎn)G是的“相似點(diǎn)”，且，∴∴∵∴∴延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：由題意得：∴四邊形是平行四邊形∴∵∴∵∴∴即：∵∴∴本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意，找準(zhǔn)相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.【例2】（22-23八年級(jí)下·江蘇南京·期末）定義：若一個(gè)四邊形只有一組鄰邊相等，且這組鄰邊夾角所對(duì)的對(duì)角線(xiàn)平分一個(gè)內(nèi)角，則稱(chēng)這樣的四邊形為“近似菱形”．例如：如圖①，在四邊形中，，若平分，則四邊形是近似菱形．

(1)如圖②，在四邊形中，，，．求證：四邊形是“近似菱形”，(2)如圖③，已知線(xiàn)段BD，求作“近似菱形”，使得，平分，且與互補(bǔ)．要求：①尺規(guī)作圖；②保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．(3)在（2）的條件下，“近似菱形”中的取值范圍是________________．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)且【分析】（1）根據(jù)“近似菱形”的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，證明，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）作菱形，以D為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)C，連接，則四邊形為求作的“近似菱形”；（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，再證明，當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不符合“近似菱形”的定義，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴四邊形是“近似菱形”．（2）解：作法：

①作菱形；②以D為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)C；③連接．則四邊形為求作的“近似菱形”；（3）解：∵菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，不符合“近似菱形”的定義，∴且．【點(diǎn)睛】本題考查“近似菱形”的定義，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．1．定義：在三角形中，若有兩條中線(xiàn)互相垂直，則稱(chēng)該三角形為中垂三角形．

(1)如圖（a），是中垂三角形，分別是邊上的中線(xiàn)，且于點(diǎn)，若，求證：是等腰三角形．(2)如圖（b），在中垂三角形中，分別是邊上的中線(xiàn)，且于點(diǎn)，求證：．(3)如圖（c），四邊形是菱形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．求證：是中垂三角形；【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，如圖，由是的中位線(xiàn)，證明，可得，，，證明，可得，從而可得結(jié)論；（2）證明：如圖，連接，證明，，，由勾股定理可得，，，，從而可得結(jié)論；（3）如圖，連接，證明，且，，，且，可得，，證明，是的中線(xiàn)，從而可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵，，∴由題意可得，，，是的中位線(xiàn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．（2）證明：如圖，連接，

∵，分別是邊，上的中線(xiàn)，∴，，，∴，，，在中，，在中，，同理可得：，，∴；（3）證明：如圖，連接，

∵點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線(xiàn)，則，且∵四邊形是菱形，∴，，且，∴，，如圖，延長(zhǎng)至，使，∴，而，∴四邊形為平行四邊形，∴，，∴，而，，∴，∴，，∴，∴，是的中線(xiàn)，∴是中垂三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，理解新定義，作出三角形的直線(xiàn)線(xiàn)是解本題的關(guān)鍵．題型四正方形中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·江西宜春·一模）定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．如圖1，四邊形中，，，則四邊形叫作“等補(bǔ)四邊形”．(1)概念理解①在以下四種圖形中，一定是“等補(bǔ)四邊形”的是（

）A．平行四邊形

B．菱形

C．矩形

D．正方形②等補(bǔ)四邊形中，若，則；③如圖1，在四邊形中，平分，，．求證：四邊形是等補(bǔ)四邊形．(2)探究發(fā)現(xiàn)如圖2，在等補(bǔ)四邊形中，，連接，是否平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用如圖3，在等補(bǔ)四邊形中，，其外角的平分線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)①D；②；③見(jiàn)解析(2)平分，理由見(jiàn)解析(3)．【分析】（1）①判斷圖形是否滿(mǎn)足“等補(bǔ)四邊形”的對(duì)角互補(bǔ)，鄰邊相等的條件；②利用“等補(bǔ)四邊形”的對(duì)角互補(bǔ)，列式計(jì)算即可求解；③在上截取，證明，推出，．據(jù)此即可證明結(jié)論成立；（2）過(guò)點(diǎn)分別作于，于，證明，推出，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理即可得解；（3）連接，由（2）知，平分，證得，再證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：①平行四邊形的對(duì)角相等，不一定互補(bǔ)，對(duì)邊相等，鄰邊不一定相等，平行四邊形不一定是等補(bǔ)四邊形；菱形四邊相等，對(duì)角相等，但不一定互補(bǔ)，菱形不一定是等補(bǔ)四邊形；矩形對(duì)角互補(bǔ)，但鄰邊不一定相等，矩形不一定是等補(bǔ)四邊形；正方形四個(gè)角是直角，四條邊相相等，正方形一定是等補(bǔ)四邊形，故選：D；②等補(bǔ)四邊形對(duì)角互補(bǔ)，，設(shè)，∴，解得，∴，∴，故答案為：；③證明：在上截取，連接，如圖1，在和中，，，，．，．．，，又，四邊形是等補(bǔ)四邊形；（2）解：平分，理由如下，如圖2，過(guò)點(diǎn)分別作于，于，則，四邊形是等補(bǔ)四邊形，，又，，，，，是的平分線(xiàn)（在角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線(xiàn)上），即平分．（3）解：連接，∵等補(bǔ)四邊形中，，由（2）知，平分，∵四邊形是等補(bǔ)四邊形，∴，又，∴，∵是的平分線(xiàn)，∴，∵，∴，∴，即，解得．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，“等補(bǔ)四邊形”的概念，正確引出輔助線(xiàn)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【例2】（2024·浙江·一模）定義：在四邊形內(nèi)，如果有一點(diǎn)和一組對(duì)邊組成的兩個(gè)三角形都是以對(duì)邊為斜邊的等腰直角三角形，那么這個(gè)四邊形叫做蝴蝶四邊形．例如圖1，，，則四邊形為蝴蝶四邊形．(1)【概念理解】如圖2，正方形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于O．求證：正方形為蝴蝶四邊形；(2)【性質(zhì)探究】如圖3，在蝴蝶四邊形中，．求證：；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在蝴蝶四邊形中，，，．當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)以為邊的正方形的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)5【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可知，，則和都是等腰直角三角形，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）證明，進(jìn)而可證；（3）如圖，延長(zhǎng)交于N，證明，則，由，可得，則，，勾股定理求，則，進(jìn)而可求面積．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∴和都是等腰直角三角形，∴正方形為蝴蝶四邊形；（2）證明：∵四邊形是蝴蝶四邊形，，∴和都是等腰直角三角形，，，∴，即，∴，∴；（3）解：如圖，延長(zhǎng)交于N，∵是等腰三角形，∴，∵，，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴以為邊的正方形的面積為5．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，余弦等知識(shí)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，余弦是解題的關(guān)鍵．1．定義：一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫作完美四邊形．如圖1，四邊形中，，（或），則四邊形叫作完美四邊形．

(1)概念理解：在以下四種圖形中：①平行四邊形：②菱形；③矩形；④正方形，一定是“完美四邊形”的是______；（填寫(xiě)序號(hào)）(2)性質(zhì)探究：如圖2，完美四邊形中，，，請(qǐng)用等式表示線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明，(3)拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形是完美四邊形，，，，，當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)四邊形面積的最大值為【分析】（1）根據(jù)完美四邊形的定義和正方形的性質(zhì)即可判定；（2）連接，根據(jù)完美四邊形的定義證明四點(diǎn)共圓，證明等腰直角、，四邊形是正方形，，根據(jù)勾股定理得；（3）連接，過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作于，分類(lèi)討論：，根據(jù)可得是等邊三角形，設(shè)，則，在中，，，，，等邊中，可求；，根據(jù)題意得，由于，所以當(dāng)時(shí)，可求得；綜上所述，即可求四邊形面積的最大值．【詳解】（1）解：正方形是一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形，因此答案為，故答案為．（2）解：，理由如下：證明：連接，，

，，由完美四邊形的定義可知，，是等腰直角三角形，，（同弧所對(duì)的圓周角相等），，四點(diǎn)共圓，為圓的直徑，，，，即，是圓的直徑，，四邊形是正方形，，在中，，，．（3）解：，連接，，是等邊三角形，，，，設(shè)，則，過(guò)作交延長(zhǎng)線(xiàn)于，過(guò)作于，

，在中，，，，，在等邊中，，；，過(guò)A作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，

則，，，又，，，，，，，，，，，當(dāng)時(shí)，；綜上所述，四邊形面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了完美四邊形的定義，解直角三角形，四點(diǎn)共圓，勾股定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．2．（2023·湖南·一模）定義：有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形稱(chēng)為“等補(bǔ)四邊形”．(1)下列選項(xiàng)中一定是“等補(bǔ)四邊形”的是________；A．平行四邊形；B．矩形；C．正方形；D．菱形(2)如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（E不與C、D重合），交于點(diǎn)F，過(guò)F作交于點(diǎn)H．①試判斷四邊形是否為“等補(bǔ)四邊形”并說(shuō)明理由；②如圖2，連接，求的周長(zhǎng)；③若四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，求的長(zhǎng)．【答案】(1)C(2)①四邊形是等補(bǔ)四邊形，見(jiàn)解析；②；③或者【分析】（1）在平行四邊形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)，符合等補(bǔ)四邊形的定義，即可得到問(wèn)題的答案；（2）①先證A、B、H、F四點(diǎn)共圓，利用圓周角定理可得，進(jìn)而求出，利用等角對(duì)等邊得出，最后利用“等補(bǔ)四邊形”的定義即可證明；②將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，再證，得出，即可求出的周長(zhǎng)；③根據(jù)，四邊形是“等補(bǔ)四邊形”可得四邊形有一組鄰邊相等，然后分、、、四種情況討論即可．【詳解】（1）解：在平行四邊形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)，∴正方形是等補(bǔ)四邊形，故選：D．（2）解：①四邊形是“等補(bǔ)四邊形”，理由如下：∵為正方形的對(duì)角線(xiàn)，∴，又，，∴A、B、H、F四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴，又，∴四邊形是“等補(bǔ)四邊形”．②將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴E、D、L三點(diǎn)共線(xiàn)，由①得，∴，在和中∴，∴，∴的周長(zhǎng)；③∵，四邊形ECHF是“等補(bǔ)四邊形”，∴還需要一組鄰邊相等，分以下四種情況討論：情況1：，連接，由題意知∶，，又，∴，∴，則為正三角形，∴，∴，∴，；情況2：，則，∴，同情況1，；情況3：，由②得的周長(zhǎng)．設(shè)，則，有，∴，即；情況4：，連接，則，則HF垂直平分AE，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，又，∴，又，，∴，∴，這不可能，故這種情況不存在．綜上：或者．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，目前題意，理解新定義，找出所求問(wèn)題需要的條件是解題的關(guān)鍵．3．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在初二下學(xué)期我們學(xué)習(xí)了三角形中位線(xiàn)的定義以及三角形中位線(xiàn)定理，并且能用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題．【問(wèn)題再現(xiàn)】已知：如圖1，在中，D、E分別是邊的中點(diǎn)，求證：，【簡(jiǎn)單應(yīng)用】（1）如圖2，A、B兩地被建筑物阻隔，為測(cè)量A、B兩地的距離，在地面上選一點(diǎn)C，連接，分別取的中點(diǎn)D、E．測(cè)得的長(zhǎng)為，則A、B兩地的距離為_(kāi)______．（2）如圖3，在四邊形中，，點(diǎn)E、F分別是和的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】如圖4，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G恰好在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，交于點(diǎn)H，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．【答案】問(wèn)題再現(xiàn)：證明見(jiàn)解析；簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）40；（2）1；靈活運(yùn)用：3【分析】問(wèn)題再現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，證明．得到，，進(jìn)一步證明四邊形是平行四邊形，得到，，即可證明，；簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）根據(jù)問(wèn)題再現(xiàn)的結(jié)論求解即可；（2）如圖所示，取中點(diǎn)G，連接，由問(wèn)題再現(xiàn)的結(jié)論可知，，再證明，可由平行線(xiàn)的唯一性可知三點(diǎn)共線(xiàn)，則；靈活運(yùn)用：如圖所示，連接，由對(duì)稱(chēng)性可得，證明，得到；如圖所示，以所在的直線(xiàn)為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求出，則；再求出，由勾股定理得到，解得或（舍去），則，求出直線(xiàn)解析式為，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：?jiǎn)栴}再現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴．在和中，，∴．∴，，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，；簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）∵的中點(diǎn)分別為D、E，∴由問(wèn)題再現(xiàn)的結(jié)論可知，故答案為：40；（2）如圖所示，取中點(diǎn)G，連接，∵點(diǎn)E、F分別是和的中點(diǎn)，∴由問(wèn)題再現(xiàn)的結(jié)論可知，，∵，∴，∴由平行線(xiàn)的唯一性可知三點(diǎn)共線(xiàn)，∴；靈活運(yùn)用：如圖所示，連接，由對(duì)稱(chēng)性可得，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴；如圖所示，以所在的直線(xiàn)為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，∵正方形的邊長(zhǎng)為6，∴，∴，∴，∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴；∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴或（舍去），∴，設(shè)直線(xiàn)解析式為，∴，∴，∴直線(xiàn)解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線(xiàn)定理的證明，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，一次函數(shù)與幾何綜合等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型五圓中的新定義問(wèn)題【例1】（新考法，拓視野）（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的圓內(nèi)接四邊形叫做圓的“奇妙四邊形”．(1)若是圓的“奇妙四邊形”，則是_________（填序號(hào)）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如圖1，已知的半徑為R，四邊形是的“奇妙四邊形”．求證：；(3)如圖2，四邊形是“奇妙四邊形”，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，，，，且．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求的值．【答案】(1)③(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，“奇妙四邊形”的定義和正方形的判定定理解得即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作直徑，分別連接，，，，證明，．可得，可得，再利用勾股定理可得答案；（3）設(shè)的長(zhǎng)度為a，，在中，利用勾股定理列出方程，利用即可求得的最小值，求得必值，再利用相似三角形是性質(zhì)即可求得結(jié)論．【詳解】（1）解：若平行四邊形是“奇妙四邊形”，則四邊形是正方形．理由∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴平行四邊形是矩形，∵四邊形是“奇妙四邊形”，∴，∴矩形是正方形，故答案為∶③；（2）證明∶過(guò)點(diǎn)B作直徑，分別連接，，，，∵是的直徑，∴，∴，∵四邊形是“奇妙四邊形”，∴，∴，又，∴，∵，，∴，∴，∵，∴∴；（3）解：連接交于E，設(shè)的長(zhǎng)度為a，，∵，，∴，∴，∵∴，，∵，∴，∵∴，整理得，∴∴，又，∴，∴a有最小值2，即的長(zhǎng)度最小值為2，∴，解得∶，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．本題是圓的綜合題，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓周角定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，熟練的建立數(shù)學(xué)模型并靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．【例2】（2023·江蘇泰州·三模）【概念認(rèn)識(shí)】定義：對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形．（1）如圖1，已知在垂等四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)E，若，，，則的長(zhǎng)度＝______cm．【數(shù)學(xué)理解】（2）在探究如何畫(huà)“圓內(nèi)接垂等四邊形”的活動(dòng)中，小李想到可以利用八年級(jí)的所學(xué)三角形全等．如圖2，在中，已知是弦，是半徑，求作：的內(nèi)接垂等四邊形．（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留痕跡）【問(wèn)題解決】（3）如圖3，已知A是上一定點(diǎn)，B為上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作出的內(nèi)接垂等四邊形（A、B不重合且A、B、O三點(diǎn)不共線(xiàn)），對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)E，的半徑為，當(dāng)點(diǎn)E到的距離為時(shí)，求弦的長(zhǎng)度．

【答案】【概念認(rèn)識(shí)】；【數(shù)學(xué)理解】見(jiàn)解析；【問(wèn)題解決】或【分析】（1）根據(jù)垂等四邊形的定義列式求解即可；（2）作，分別交于點(diǎn)D、C，即可得到垂等四邊形；（3）連接，由（2）可得等腰，從而求出，作，根據(jù)條件證明，利用相似三角形的性質(zhì)可求設(shè)，作，證明即可求出．【詳解】（1）解：由垂等四邊形的定義得，∵，，，∴，∴；（2）解：作，分別交于點(diǎn)D、C，即可得到垂等四邊形，如圖，

以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)B、為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)C，連接，四邊形即為所求的垂等四邊形；（3）解：連接，由（2）可得等腰，

∴