第1章 有理數(shù)（單元提升卷）（解析版）

第1章有理數(shù)（單元提升卷）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．（2023?天長市校級二模）的倒數(shù)是（）A． B．﹣4 C． D．4【分析】根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，可得出答案．【解答】解：的倒數(shù)為﹣4．故選：B．【點評】此題考查了倒數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1．2．（2022秋?包河區(qū)期末）2022年10月12日，“天空課堂”第三課順利開講，感受航天科技魅力，激發(fā)青少年探索宇宙的奧秘，其中水球變“懶”實驗，當天在新華網(wǎng)上點擊率約達到13000次，數(shù)據(jù)13000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．13×103 B．1.3×104 C．1.3×103 D．0.13×105【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：13000＝1.3×104．故選：B．【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋?亳州期末）整數(shù)2023的絕對值是（）A．﹣2023 B．2023 C． D．﹣【分析】利用絕對值的意義求解．【解答】解：因為負正數(shù)的絕對值是它本身，所以2023的絕對值等于2023．故選：B．【點評】本題考查了絕對值的含義，掌握正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)是關(guān)鍵．4．（2022秋?定遠縣校級月考）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點A與數(shù)軸上表示﹣1的點重合．將圓沿數(shù)軸滾動1周，點A到達點B的位置，則點B表示的數(shù)是（）A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1【分析】先求出圓的周長，再根據(jù)數(shù)軸的定義進行解答即可．【解答】解：∵圓的直徑為1個單位長度，∴該圓的周長為π，∴當圓沿數(shù)軸向左滾動1周時，點B表示的數(shù)是﹣π﹣1；將圓沿數(shù)軸向右滾動1周時，點B表示的數(shù)是π﹣1．故選：D．【點評】本題考查實數(shù)與數(shù)軸的特點，熟練掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020秋?金安區(qū)校級期中）定義一種對正整數(shù)n的“F”運算：①當n為奇數(shù)時，結(jié)果為3n+5；②當n為偶數(shù)時，結(jié)果為；（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運算可以重復(fù)進行，例如，取n＝26．則：若n＝49，則第2020次“F運算”的結(jié)果是（）A．152 B．19 C．62 D．31【分析】解決此類問題的關(guān)鍵在于將新運算轉(zhuǎn)化為學(xué)過的數(shù)的有關(guān)運算法則進行計算，只有轉(zhuǎn)化成功，才能有的放矢．【解答】解：本題提供的“F運算”，需要對正整數(shù)n分情況（奇數(shù)、偶數(shù)）循環(huán)計算，由于n＝49為奇數(shù)應(yīng)先進行F①運算，即3×49+5＝152（偶數(shù)），需再進行F②運算，即152÷23＝19（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×19+5＝62（偶數(shù)），再進行F②運算，即62÷21＝31（奇數(shù)），再進行F①運算，得到3×31+5＝98（偶數(shù)），再進行F②運算，即98÷21＝49，再進行F①運算，得到3×49+5＝152（偶數(shù)），…，即第1次運算結(jié)果為152，…，第4次運算結(jié)果為31，第5次運算結(jié)果為98，…，可以發(fā)現(xiàn)第6次運算結(jié)果為49，第7次運算結(jié)果為152，則6次一循環(huán)，2020÷6＝336…4，則第2020次“F運算”的結(jié)果是31．故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，既滲透了轉(zhuǎn)化思想、分類思想，又蘊涵了次數(shù)、結(jié)果規(guī)律探索問題，檢測學(xué)生閱讀理解、抄寫、應(yīng)用能力．6．（2022秋?肥西縣校級期中）定義a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，則下列結(jié)論正確的有（）①2⊕（﹣1）＝﹣5；②（﹣3）*（﹣2）＝﹣7；③若a*b＝b*a，則a＝b；④（2*3）⊕（2⊕3）＝﹣80．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)a*b＝3a+b，a⊕b＝b﹣a2，可以分別計算出各個小題中的式子是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，2⊕（﹣1）＝（﹣1）﹣22＝﹣5，故①正確，符合題意；（﹣3）*（﹣2）＝3×（﹣3）+（﹣2）＝﹣11，故②錯誤，不符合題意；若a*b＝b*a，則3a+b＝3b+a，可得a＝b，故③正確，符合題意；（2*3）⊕（2⊕3）＝（3×2+3）⊕（3﹣22）＝（6+3）⊕（3﹣4）＝9⊕（﹣1）＝（﹣1）﹣92＝（﹣1）﹣81＝﹣82，故④錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．7．（2022秋?南陵縣期中）已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，則xy的值為（）A．6或﹣6 B．﹣5或﹣1 C．5或1 D．﹣6或﹣5【分析】根據(jù)|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0，可以確定x、y的值，從而可以解答本題．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，∴x＝3或x＝﹣3，y＝2或y＝﹣2，∵x+y＞0，∴x＝3，y＝2或y＝﹣2，當x＝3，y＝2時，xy＝6；當x＝3，y＝﹣2時，xy＝﹣6；綜上，xy的值為6或﹣6，故選：A．【點評】本題考查有理數(shù)的加法、絕對值、有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題目中的信息確定x、y的值．8．（2021秋?懷寧縣期中）有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則下列四個選項正確的是（）A．a(chǎn)＜b＜﹣b＜﹣a B．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)+b＞0【分析】根據(jù)數(shù)軸上絕對值所表示的含義作答．【解答】解：由圖象可得，a＜0＜b，|a|＞|b|，∴a＜﹣b＜b＜﹣a．故選：B．【點評】本題考查數(shù)軸上絕對值的意義及有理數(shù)比較大小，解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)及絕對值的意義．9．（2022秋?花山區(qū)校級期中）a，b兩數(shù)在一條隱去原點的數(shù)軸上的位置如圖所示，下列5個式子：①a﹣b＜0，②a+b＜0，③ab＜0，④（a+1）（b+1）＜0，⑤（a﹣1）（b+1）＜0中一定成立的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】利用有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加減，數(shù)軸的知識計算并判斷．【解答】解：由圖可知，a＜﹣1，b＞﹣1，|a|＞|b|，∴a﹣b＜0，a+b＜0，①②一定成立；a、b有可能同號有可能異號，③不一定成立；a+1＜0，b+1＞0，a﹣1＜0，∴④⑤一定成立．∴①②④⑤一定成立．故選：C．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加減，數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則，有理數(shù)的加減運算法則，數(shù)軸的相關(guān)知識．10．（2022秋?湘潭期中）如圖，數(shù)軸上的點M，N表示的數(shù)分別是m，n，點M在表示0，1的兩點（不包括這兩點）之間移動，點N在表示﹣1，﹣2的兩點（不包括這兩點）之間移動，則下列判斷正確的是（）A．m2﹣2n的值一定小于0 B．|3m+n|的值一定小于2 C．的值可能比2000大 D．的值不可能比2000大【分析】根據(jù)m、n的取值范圍，這個選項進行判斷即可．【解答】解：由題意得，0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴m2＞0，﹣2n＞0，∴m2﹣2n＞0，因此選項A不符合題意；∵0＜m＜1，﹣2＜n＜﹣1，∴﹣2＜m+n＜0，0＜2m＜2，∴﹣2＜3m+n＜2，因此選項B符合題意；m﹣n＝m+（﹣n）＞1，∴＜1，因此選項C不符合題意；的值無窮大，而﹣1＜＜﹣，因此+可能大于2000，因此選項D不符合題意，故選：B．【點評】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，非負數(shù)的意義等知識，確定代數(shù)式的取值范圍是正確判斷的前提．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．（2022秋?池州期末）已知a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，|b+4|＝2，且|c﹣5|+|d﹣3|＝0，式子a﹣b﹣c+d的值為5或1．【分析】根據(jù)有理數(shù)的概念求出a，根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出b的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列方程求解即可得到c、d，將a、b、c、d的值代入代數(shù)式進行計算即可得解．【解答】解：∵a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，∴a＝1，∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝﹣2，∴b＝﹣2或b＝﹣6，∵|c﹣5|+|d﹣3|＝0，∴c﹣5＝0，d﹣3＝0，解得c＝5，d＝3，∴a＝1，b＝﹣2或﹣6，c＝5，d＝3，∴a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣2）﹣5+3＝1+2﹣5+3＝1，或a﹣b﹣c+d＝1﹣（﹣6）﹣5+3＝1+6﹣5+3＝5，∴a﹣b﹣c+d的值為5或1．故答案為：5或1．【點評】本題考查的是有理數(shù)的加減混合運算及非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0，還考查了絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的概念．12．（2021秋?廬陽區(qū)校級期中）近似數(shù)6.05×104精確到百位．【分析】近似數(shù)6.05×104，精確到0.01×104位，即百位．【解答】解：近似數(shù)6.05×104，精確到百位．故選：百．【點評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：經(jīng)過四舍五入得到的數(shù)叫近似數(shù)；從一個近似數(shù)左邊第一個不為0的數(shù)數(shù)起到這個數(shù)完為止，所有數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字．13．（2022秋?宣城期末）比較大?。憨?＜﹣7（填“＜““＞“）【分析】根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小比較即可．【解答】解：∵|﹣8|＝8，|﹣7|＝7，∴﹣8＜﹣7，故答案為：＜．【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較和絕對值的應(yīng)用，注意：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。?4．（2022秋?包河區(qū)期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是a≤7．【分析】數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．【解答】解：數(shù)形結(jié)合．絕對值的幾何意義：|x﹣y|表示數(shù)軸上兩點x，y之間的距離．畫數(shù)軸易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x到﹣3，﹣1，1，2這四個點的距離之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3時，y＝11，x＝﹣1時，y＝7，x＝1時，y＝7，x＝2時，y＝9，可以觀察知：當﹣1≤x≤1時，由于四點分列在x兩邊，恒有y＝7，當﹣3≤x＜﹣1時，7＜y≤11，當x＜﹣3時，y＞11，當1≤x＜2時，7≤y＜9，當x≥2時，y≥9，綜合以上：y≥7所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7對一切實數(shù)x恒成立．從而a的取值范圍為a≤7．【點評】本題考查絕對值，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．（2022秋?廬陽區(qū)校級期末）計算：（1）﹣7.3+8.2﹣5.1+1.2；（2）23﹣（﹣3）2×÷6．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法可以解答本題；（2）先算乘方，再算乘除法，最后算加減，即可解答本題．【解答】解：（1）﹣7.3+8.2﹣5.1+1.2＝﹣（7.3+5.1）+（8.2+1.2）＝﹣12.4+9.4＝﹣3；（2）＝＝8﹣1＝7．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．16．（2022秋?亳州期末）計算：（1）|﹣4|﹣（﹣3）×（﹣11﹣2）；（2）．【分析】（1）先做括號和絕對值內(nèi)的運算，再計算乘法，最后計算減法；（2）先算乘方，再算乘除，最后算減法；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算；注意乘法分配律的運用．【解答】解：（1）|﹣4|﹣（﹣3）×（﹣11﹣2）＝4+3×（﹣13）＝4﹣39＝﹣35；（2）＝﹣8×÷﹣12×+12×＝﹣5×9﹣3+8＝﹣45﹣3+8＝﹣40．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應(yīng)按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．（2022秋?肥西縣校級期中）如圖所示，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動2各單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示是﹣3，已知A、B是數(shù)軸上的點，請參照如圖并思考，完成下列各題．（1）如果點A表示的數(shù)是﹣2，將點A向右移動5個單位長度到點B，那么點B表示的數(shù)是3．A、B兩點間的距離是5．（2）如果點A表示的數(shù)是4，將點A向左移動8個單位長度，再向右移動3個單位長度到點B，那么點B表示的數(shù)是﹣1，A、B兩點間的距離是5．（3）如果點A表示的數(shù)是m，將點A向左移動n個單位長度，再向右移動p個單位長度到點B，那么點B表示的數(shù)是m﹣n+p．【分析】（1）先根據(jù)向右移為加，向左移為減，表示出點B，再根據(jù)兩點間的距離公式列式計算即可；（2）先根據(jù)向右移為加，向左移為減，表示出點B，再根據(jù)兩點間的距離公式列式計算即可；（3）先根據(jù)向右移為加，向左移為減，表示出點B，再根據(jù)兩點間的距離公式列式計算即可．【解答】解：（1）∵﹣2+5＝3，∴B表示的數(shù)為3，A、B兩點間的距離為3﹣（﹣2）＝5，故答案為：3，5；（2）∵4﹣8+3＝﹣1，∴B表示的數(shù)為﹣1，A、B兩點間的距離為4﹣（﹣1）＝5，故答案為：﹣1，5；（3）根由題得：點B表示的數(shù)為m﹣n+p；故答案為：m﹣n+p．【點評】本題主要考查數(shù)軸、兩點間的距離公式，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?渦陽縣校級月考）觀察下面算式的演算過程：1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝．…（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：＝；＝；1＝．（n為正整數(shù)）（2）根據(jù)規(guī)律計算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）．【分析】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫出相應(yīng)的式子的結(jié)果；（2）根據(jù)題目中的式子和所求式子的特點，可以求得所求式子的值．【解答】解：（1）1+＝＝＝，1+＝＝＝，1+＝＝，故答案為：，，；（2）（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）＝××××…××＝＝＝．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運算的計算方法．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．（2022秋?合肥月考）[概念學(xué)習(xí)]現(xiàn)規(guī)定：求若干個相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）寫作（﹣5）④，讀作“（﹣5）的圈4次方”，一般地把（a≠0）寫作a?，讀作“a的圈n次方”．[初步探究]（1）直接寫出計算結(jié)果：3②＝1；（﹣）③＝﹣3．[深入思考]我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉(zhuǎn)化為加法運算，除法運算可以轉(zhuǎn)化為乘法運算，那么有理數(shù)的除方運算如何轉(zhuǎn)化為乘方運算呢？（2）試一試：仿照上面的算式，把下列除方運算直接寫成冪的形式：（﹣4）⑤＝（﹣）3；（）⑥＝74．（3）算一算：122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33．【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別計算出所求式子的值；（2）根據(jù)題意，可以計算出所求式子的值；（3）根據(jù)題意，可以求出所求式子的值．【解答】解：（1）由題意可得，3②＝3÷3＝1，（﹣）③＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝（﹣）×（﹣3）×（﹣3）＝﹣3，故答案為：1，﹣3；（2）（﹣4）⑤＝（﹣）3；（）⑥＝74．故答案為：（﹣）3；74；（3）122÷（﹣）④×（﹣2）⑥﹣（﹣）⑥÷33＝144÷（﹣3）2×（﹣）4﹣（﹣3）4÷27＝144÷9×﹣81÷27＝16×﹣3＝1﹣3＝﹣2．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確新定義的內(nèi)容，計算出所求式子的值．20．（2022秋?合肥月考）隨著人們生活水平的提高，家用轎車越來越多地進入家庭．小亮家中買了一輛小轎車，他連續(xù)記錄了7天每天行駛的路程（如表），以50km為標準，多于50km的記為“+”，不足50km的記為“﹣”，剛好50km的記為“0”．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天路程（km）﹣7﹣12﹣130﹣17+40+9（1）請求出這7天平均每天行駛的路程．（2）若該汽車平均每百公里耗油9升，汽油8.8元/升，計算小亮家這7天的汽油費用．【分析】（1）利用正負數(shù)的意義計算表格中各數(shù)據(jù)的代數(shù)和，再加上50×7，即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)題意列出算式解答即可．【解答】解：（1）50×7+（﹣7﹣12﹣13+0﹣17+40+9）＝350﹣[﹣（7+12+13+17）+（40+9）]＝350﹣（﹣49+49）＝350（km），350÷7＝50（km），答：這7天平均每天行駛的路程50km．（2）350÷100×9×8.8＝3.5×9×8.8＝277.2（元），答：小亮家這7天的汽油費用為277.2元．【點評】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，依據(jù)題意列出算式解答是解題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21．（2022秋?陽新縣校級期末）已知在數(shù)軸上A，B兩點對應(yīng)數(shù)分別為﹣4，20．（1）若P點為線段AB的中點，求P點對應(yīng)的數(shù)．（2）若點A、點B同時分別以2個單位長度/秒的速度相向運動，點M（M點在原點）同時以4個單位長度/秒的速度向右運動．①幾秒后點M到點A、點B的距離相等？求此時M對應(yīng)的數(shù)．②是否存在M點，使3MA＝2MB？若存在，求出點M對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用中點坐標計算方法直接得出答案即可；（2）①畫出圖形，設(shè)t秒后點M到點A、點B的距離相等，分別表示出AM和BM的長度，建立方程求得答案即可；②利用（2）中的AM和BM的長度，分兩種情況：M在AB之間，A在BM之間，結(jié)合3MA＝2MB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）P點表示的數(shù)是＝8；（2）①如圖，設(shè)t秒后點M到點A、點B的距離相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，則2t+4＝20﹣6t，解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合時，MA＝BM，此時t＝6，此時M表示24．②如圖①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴點M表示×4＝；如圖②，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝2t+4t﹣20＝6t﹣20，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（6t﹣20），∴t＝，∴點M表示×4＝．【點評】此題考查數(shù)軸，一元一次方程的實際運用，利用圖形，得出數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．七、（本題滿分12分）22．（2022秋?鯉城區(qū)校級期中）閱讀以下內(nèi)容，并解決所提出的問題．我們知道，23＝2×2×2，25＝2×2×2×2×2，所以：23×25＝（2×2×2）×（2×2×2×2×2）＝28．（1）根據(jù)上述信息，試計算填空：53×56＝5（），a2?a5＝a（），am?an＝a（），（2）已知2m＝3，2n＝5，試根據(jù)（1）問的結(jié)論計算：2m+n+1的值．【分析】（1）利用題中的方法求出所求即可；（2）原式變形后，將已知等式代入計算即可求出值．【解