中考數(shù)學(xué)壓軸題-截長補短帶系數(shù)的證明

考點1帶系數(shù)線段證明在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，點D是BC上一點，連接AD，過點A作AG⊥AD，在AG上取點F，連接DF．延長DA至E，使AE＝AF，連接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB＝2，求BC的長；（2）如圖1，當(dāng)點G在AC上時，求證：BD＝CG；如圖，在△ABC中，AC＝CB，∠ACB＝90°，在AB上取點F，過A作AB的垂線，使得AD＝BF，連接BD，CD、CF，CE是∠ACB的角平分線，交BD于點M，交AB于點E．（1）若AC＝6，AF＝4．求BD的長：（2）求證：2CM＝AF如圖，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，點D是AC的中點，連接BD，作AE⊥BC于E，交BD于點F，點G是BC的中點，連接FG，過點B作BH⊥AB交FG的延長線于H．（1）若AB＝3，求AF的長；（2）求證；BH+2CE＝AB．如圖，在△ABC中，過點A作AD⊥BC，BE平分∠ABC交AC于點E．（1）如圖1，已知AC＝15，AB＝13，DC＝9，求BD的長；（2）如圖2，點F在線段BC上，連接EF、ED，若∠BAE＝∠BFE，∠AEB＝45°，AD＝DE，求證：CF＝2AD．在等腰△ABC中，AB＝AC，點D為平面內(nèi)一點，連AD、BD、CD．（1）如圖1，若點D是△ABC內(nèi)一點，且∠BAD＝∠CAD，求證：∠DBC＝∠DCB；（2）如圖2，若點D是△ABC外一點，且∠ADC+∠ADB＝180°，∠ACD＝60°，求證：AB＝CD+BD；在等邊△ABC中，點E在直線AC上，連接BE，點D在直線BC上，且CE＝CD，連接ED、AD，點F是BE的中點，連接FA、FD．（1）如圖1，當(dāng)點E在AC上，點D在BC的延長線上，若CD＝2，BC＝3，求△BEC的面積；（2）如圖1，當(dāng)點E在AC上，點D在BC的延長線上，且AE＝CE時，求證：AD＝2AF；如圖，Rt△ABC與Rt△BCD在線段BC的同側(cè)，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°．（1）如圖1，已知AC＝6，BD＝，求CD的長；（2）如圖2，將Rt△BCD繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△BAF，點C、D的對應(yīng)點分別是點A、F，連接CF和AD．過點B作BH⊥CF于點H，交AD于點M，求證：CF＝2BM．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在線段BC上，且BE＝CD，連接AD、AE，過點D作DF⊥AE，垂足為H，交AC于點F，過點E作EG⊥AC，垂足為G．（1）若DH＝4，AD＝5，HF＝1，求AF的長；（2）若∠BAC＝90°，求證：AF＝2CG．已知△ADC中，∠ACD＝90°，AC＝DC．以DC為斜邊作Rt△DEC，其中∠DEC＝90°，連接AE并延長，與CD的延長線交于點B，∠AEC＝∠ACE．（1）如圖1，求證：∠ECD＝∠BED；（2）如圖1，求證：CE＝2DE；（3）如圖2，F(xiàn)為線段AC上一點，連接BF，與EC相交于點G，分別過點D、C作DM⊥BF于點M，CN⊥BF于點N，若BG＝GC，試判斷MD、DE、CN三者間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2023春·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知為等邊三角形，點、分別是、上一點．(1)如圖1，，連接、，交于點，在的延長線上取點，使得，連接，若，求的面積；(2)如圖2，、相交于點，點為延長線上一點，連接、、，已知，，，求證：BF+GE=2CF(八中九上周考)在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE將Rt△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接CE，F(xiàn)為CE的中點(1)如圖1，若點E在AC上，∠BAC=60°，3AB=2AB=6，連接DF,求DF的長(2)如圖2，連接BF，DF，想線段BF與DF之間的數(shù)關(guān)系，并證明你的猜想(3)如圖3，在Rt△ADE旋轉(zhuǎn)過程中，連接BF，點M，N分別是邊BF、CF上的兩點，且滿足MF=3BM，CN=2NF，連接CM、BN交于點O，已知AB=3AD=6,AE=，請直接寫出△BCO面積的最大值。

（2023?重慶）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，點D為線段AB上一動點，連接CD．（1）如圖1，若AC＝9，BD＝，求線段AD的長；（2）如圖2，以CD為邊在CD上方作等邊△CDE，點F是DE的中點，連接BF并延長，交CD的延長線于點G．若∠G＝∠BCE，求證：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．點M為CD所在直線上一點，將△BEM沿BM所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BNM．連接AN，點P為AN的中點，連接CP，當(dāng)CP取最大值時，連接BP，將△BCP沿BC所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到△BCQ，請直接寫出此時的值．（2023秋·重慶九龍坡·九年級重慶市育才中學(xué)?？计谀┮阎c有公共頂點C，為等邊三角形，在中，．(1)如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，連接AD，已知四邊形ABDC的面積為，求的值；(2)如圖2，，A、E、D三點共線，連接、，取中點M，連接，求證：；(3)如圖3，，，將以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取中點F，當(dāng)?shù)闹底钚r，求的值．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谥?，，，是邊上一動點，連接．(1)如圖1，在平面內(nèi)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，點為邊上一點，連接交于，連接，若，，，求的長；(2)如圖2，在平面內(nèi)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)一定角度得到線段，連接交于，連接，若，求證：AD=2CG；(3)在（2）的條件下，將沿直線翻折至所在平面內(nèi)得到，連接，若，在點運動過程中，當(dāng)線段取得最小值時，請直接寫出與四邊形重疊部分的面積．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形中，，E為上一點，，．(1)如圖1，若，求的面積；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖3，F(xiàn)為平面內(nèi)一點，，直線與直線交于點G，若，當(dāng)最小時，直接寫出的面積．（2023?渝中區(qū)校級二模）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為AB邊上一點，連接CD，AE⊥CD于E點．（1）如圖1，過B作BF⊥AB交AE的延長線于點F．若BD＝1，BF＝2，求AE的長度；（2）如圖2，將AE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°到AF，連接BF交AE于點H，求證：CE=2AH；（3）如圖3，在第（2）問的條件下，將△ABH沿著AB翻折得到△ABP，連接PC，當(dāng)線段PC取得最大值，請直接寫出的值．（2023?沙坪壩區(qū)校級一模）在等腰三角形ABC中，AB＝AC．點E為AC上一點，連接BE．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，過點C作CD⊥BE交BE延長線于點D，連接AD，過點A作AF⊥AD交BD于點F，連接CF，求證：FC2＝FB2+2FA2；（2）如圖2，過A作AD∥BC交BE延長線于點D，將AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AN，連接DN，使得DN⊥AC于點G，AN與BD交于點M，若點M為BD的中點，且∠DAM＝∠DMA，猜想線段AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖3，若∠BAC＝60°，，將AC沿著AP翻折得到AC′（∠CAC′＜120°），點C′落在BE延長線上，BC′交AP于點P，點Q、R分別是射線AC、AB上的點，連接CP、PQ、QR，滿足，當(dāng)BP取得最大值時，直接寫出的最小值的平方．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝120°，點D為直線AC右上方一點，且滿足∠ADC＝60°，連接BD．（1）如圖1，若CD⊥AC，BD交AC于點O，求CO的長；（2）如圖2，點E為線段BD上一點，連接EA、EC，且滿足∠EAD＝60°，試證明AD＝CD+2AE；（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC，CD為邊構(gòu)造平行四邊形ACDF，當(dāng)AE+AF＝2時，直接寫出△ADF的面積．（2023?九龍坡區(qū)模擬）在△ABC中，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），AB＝AC，點D為線段AC上一點，將射線DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°得到射線DO，交線段BC于點O，過點C作CE⊥DC交射線DO于點E，連接BD．（1）如圖1，若點D為線段AC的中點，且DE∥AB，DE＝4，求△ABC的面積；（2）如圖2，若α＝60°，過點B作BC的垂線，在BC的垂線上取一點H，使得BH＝CE，連接AH，BE，在BE的延長線上取一點G，連接CG，使得∠CGB＝60°，當(dāng)AH∥BD時，證明：AH+＝BG；（3）如圖3，若α＝90°，CE＝，AD＝2CD，點P為線段AB上一點，取線段BD的中點F，連接PF，AF，將△APF沿PF翻折得到△A′PF，連接A′D，A′C，取線段A′D的中點Q，連接CQ．當(dāng)線段CQ取得最大值時，直接寫出△A′QC的面積．?如圖，在等邊△ABC中，點D是邊AB上的一個動點，點E是射線CB上的一個動點，連接DE，DC．（1）如圖1，若點D為線段AB的中點，點E在線段CB上，∠EDC＝15°，，求△ABC的面積；（2）如圖2，若點E在CB延長線上，以DE為邊，在DE右側(cè)作等邊△DFE；過點F作FG∥AC交BC于點G，當(dāng)DE＝CD時，求證：BG+2BE＝AC；（3）如圖3，點E在CB延長線上，DE＝CD，將△BDE沿直線BD翻折得到△BDE′，點E的對應(yīng)點為點E′；△ABC內(nèi)部有一動點P，滿足∠PAC＝∠BCP，若AB＝6，當(dāng)CE′的長度最小時，求EP的最小值．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，點F是線段BE上一點，連接AF，點G是線段AB上一點，連接EG，交AF于點N．（1）如圖1，若∠B＝45°，，求△ABE的面積；（2）如圖2，點H是線段AF的中點，連接EH，若∠B＝∠BEH＝∠AEG，求證：CD＝BF+BG；（3）如圖3，若∠B＝60°，AG＝BF，BE＝2EC＝4，∠ANG＝4∠EAF，將△ANG繞著點A旋轉(zhuǎn)，得到△AN′G′．連接N′D．點O是線段N′D的中點，連接CO．請直接寫出線段CO長度的最小值．如圖所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，點D是BA延長線上一點，連接CD，點E是CD上一點，連接BE，交AC于點F．

（1）如圖1，若∠CBE=30°，CF=，求AF的長；

（2）如圖2，過點A作AM⊥BF于點M，若BF=CD，試猜想AM、BE、CE之間的關(guān)系并推理說明；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若H為射線BD上一動點，△BGH為等腰直角三角形，且BG=GH，點P為GH中點，若BC=2，CE=2，請直接寫出EP+FP的最小值．

考點2帶線段證明在等腰Rt△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°．點D是CA延長線上一點，連接BD，點E是BD上一點，連接CE交AB于點F，BD＝CF．（1）如圖1，當(dāng)點E是BD中點時，若BC＝4，求AF的長；（2）在（1）的條件下，如圖2，連接AE，求證：DE+EF＝AE．在△ABC中，D為BC上一點，連接AD，過點B作BE垂直于CA的延長線于點E，BE與DA的延長線相交于點F．（1）如圖1，若AB平分∠CBE，∠ADB＝30°，AE＝3，AC＝7，求CD的長；（2）如圖2，若AB＝AC，∠ADB＝45°，求證；BC＝DF．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D是BC上一點，連接AD．過點D作DE⊥AB，垂足為E．點F是AD的中點，連接EF．（1）如圖1，若∠DAC＝α，請用含α的式子表示∠EFD的大??；（2）如圖2，過點B作BG⊥AB，BG＝BE，連接CG．求證：．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于E，CD＝AB，DA、BC延長線交于F．（1）若AC＝12，∠ABC＝30°，求DE的長；（2）若BC＝2AC，求證：DA＝FC．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC，連接AE，∠AED＝∠CED；延長ED交AB于點F，過點C作CP∥AE交AB于點P．求證：（1）AE＝BE；（2）PB＝PF．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AH⊥BC于點H，過點C作CD⊥AC，連接AD，點M為AC上一點，且AM＝CD，連接BM交AH于點N，交AD于點E．（1）若AB＝3，AD＝，求△BMC的面積；（2）點E為AD的中點時，求證：AD＝．如圖1，Rt△BAC和Rt△DAE都是等腰直角三角形，且AB＝AC＝2，AD＝AE＝2，∠BAC＝∠DAE＝90°．△DAE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接CD．（1）當(dāng)tan∠EAC＝時，求CD的長；（2）如圖2，若F、H、G分別是DE、CD，BC的中點，連接FH、FG，求證：FG＝FH；（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接CE、BE，當(dāng)BE﹣CE有最大值時，把△BDC沿著BC翻折到與△BDC同一平面內(nèi)得到△BMC，請直接寫出△BEM的面積．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC。如圖1，點D是線段AB上的一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°到CE，連接EB，ED。若AD=2，BC=1，求CD的長度；如圖2，點F在BC邊上，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CG，連接GF并延長交AB于點H，連接AF，CH，猜想AF與CH存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，，平分，為上一點．(1)如圖1，過作交于點，若，，求的長；(2)如圖2，若，過作交的延長線于點，為延長線上一點，連接，過作交于點，交于點，且，求證：HG=DE如圖1，△ABC為等腰三角形，AB＝AC，∠B＝β，延長BA至點D，線段AC、線段AD的垂直平分線交于點E．（1）請用含β的式子表示出∠DEC．（2）如圖2，若β＝75°，AE∥BC，點M、N分別為線段BC、AE中點，連接MN，求證：．（3）如圖3，在（2）的條件下，若，將直線AC沿著直線BD翻折得到直線AP，點Q是直線AP上一動點，連接EQ、DQ，請直接寫出EQ﹣DQ的最大值．如圖．已知△ABC為等腰直角三角形，∠A＝90°，D、E分別為AC、BC上的兩點，CD＝BE，連接DE，將DE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得EF，連接DF與AB交于點M．（1）如圖1，當(dāng)∠DEC＝30°時，若BC＝2+，求AD的長；（2）如圖2，連接CF，N為CF的中點，連接MN，求證：MN＝BE；（3）如圖3，連接AF，將AF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得AG，連接FG、BG、CG，若AC＝4，當(dāng)CG取得最小值時，直接寫出△BCG的面積．（2022秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在中，，，是直線上的一點，連接，過點作，交直線于點．(1)當(dāng)點P在線段上時，如圖①，求證：；(2)當(dāng)點P在直線上移動時，位置如圖②、圖③所示，線段，與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知點是所在平面內(nèi)一點，交于點．(1)如圖1，點為上一點，若，平分，，，求的長；(2)如圖2，，點為上一點，平分，若，求證：；(3)如圖3，，，當(dāng)點D位于內(nèi)部時，過點D分別作，的垂線，垂足分別為M，N，連接，若，，，請直接寫出的值．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E分別為BC上兩動點，BD＝CE．（1）如圖1，若EH⊥AD于H交AB于K，求證：AE＝EK；（2）如圖2，若EF∥AD交AC于F，GF⊥AG，AG＝GF，求證：；（3）如圖3，若AB＝4，將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EM，N為BM中點，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出△ACD的面積．（2023秋·重慶北碚·九年級西南大學(xué)附中?？计谀┤鐖D．已知為等腰直角三角形，，D、E分別為上的兩點，，連接，將繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接與交于點M．(1)如圖1，當(dāng)時，若，求的長；(2)如圖2，連接，為的中點，連接，求證：；(3)如圖3，連接，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得，連接、、，若，當(dāng)周長取得最小值時，直接寫出的面積．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，點D是邊BC上一點，點E是邊AC上一點，且滿足CE＝BD，過點E作AD垂線，垂足為F，EF交CB延長線于點G．（1）如圖1，若AB＝4，BD＝1，求線段BG的長．（2）如圖2，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AH，連接DH，若∠CAH+2∠ADB＝180°，求證：AH+CE＝DH．（3）如圖3，若AB＝3，連接DE，以DE為斜邊向左上方構(gòu)造等腰直角△DEP，連接CP交DE于點Q，當(dāng)DE取最小值時，請直接寫出DQ的值．在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是線段AC上一點，連接BD，過點C作CF⊥BD，垂足為點E，過點A作AF⊥CF于點F．（1）如圖1，如果設(shè)CF交AB于點G，且G為AB的中點，若，∠ABC＝60°，求線段AD的長；（2）如圖2，如果AC＝BC，點E是線段CF的中點，過點E作EH⊥AC，垂足為點H，連接FH，求證：；（3）如圖3，如果AC＝BC＝4，求FE的最大值．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．（1）如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；（2）如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求證：AM+AF＝AE；（3）如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B′EH，連接B′G，直接寫出線段B′G的長度的最小值．如圖，已知在直角△ABC中，∠ABC＝90°，E為AC邊上一點，連接BE，過E作ED⊥AC，交BC邊于點D．（1）如圖1，連接AD，若CE＝2，BD＝3，∠C＝45°，求△ADE的面積；（2）如圖2，作∠ABC的角平分線交AC于點F，連接DF，若∠BDE＝∠CDF，求證：AE+DE＝BE；（3）如圖3，若∠C＝30°，將△BCE沿BE折疊，得到△BEF，且BF與AC交于點G，連接AD，DF，點E在AC邊上運動的過程中，當(dāng)BF⊥AC時，直接寫出的值．（2022秋·重慶·九年級重慶一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，交于點，為線段上一動點，連接．(1)如圖1，連接，若是的角平分線且時，求的度數(shù)．(2)如圖2，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接交線段于點，連接，若點為線段的中點，求證：．(3)如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)角度，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)，點對應(yīng)的點為，連接，，．旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)線段與線段存在交點且時，記；當(dāng)取得最小值時，記為．請直接寫出的值．（2023?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點D在線段BC的中垂線上，連接BD、CD．（1）如圖1，若∠BDC＝120°時，連接AD并延長交BC于點F，若AB＝6，求△ACD的面積；（2）如圖2，連接AD，若∠ADC＝90°，過點B作BE⊥AD于點G，交AC于點H，過點C作CE⊥BC交BH的延長線于點E．求證：；（3）在等腰Rt△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC，將△ABP沿直線AB翻折至△ABP所在平面內(nèi)得到△ABQ，連接CQ，當(dāng)取得最小值時，請直接寫出的值．在正方形ABCD中，E、F分別為AD邊上的兩點，連接BF、CE并延長交于點Q，連接DQ，H為CQ上一點，連接BH、DH．（1）如圖1，若H為CE的中點，且4DE＝AB，DH＝，求線段BC的長；（2）如圖2，過點H作HP∥BC，且HB＝HP，連接BP，剛好交CH的中點G，當(dāng)∠QFE+∠QBH＝90°時，求證：BP+DQ＝2CQ；（3）如圖3，在（1）的條件下，點M為線段AD上一動點，連接CM，作BN⊥CM于點N，將△BCN沿BC翻折得到△BCN′，點S、R分別為線段BC、CN′上兩點，且BC＝4CS，N′C＝3N′R，連接BR、N′S交于點O，連接CO，請直接寫出△BCO面積的最大值．考點3帶線段證明在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，點D是△ABC外一點，連接AD，以AD為邊作等邊△ADF．（1）如圖1，當(dāng)點F在線段BC上，DF交AC于點M，且AF平分∠BAC，若，求△ADM的面積；（2）如圖2，連接FB并延長至點E，使得FB＝BE，連接CE、DE、CD，證明：；（3）如圖3，旋轉(zhuǎn)△ADF使得DF落在∠ABC的角平分線上，M、N分別是射線BA、BC上的動點，且始終滿足∠MDN＝60°，連接MN，P是線段MN上的一個動點，連接AP、DP，若，當(dāng)△MDN面積最小時，直接寫出AP+DP的最小值．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，，連接EC．點G是EC中點，將△AEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，若E恰好在線段AC上，AB＝2，連接FG，求FG的長度；(2)如圖2，若點F恰好落在射線CE上，連接BG，證明：；(3)如圖3，若AB＝3，在△AEF旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)最大時，直接寫出直線AB，AC，BG所圍成三角形的面積．（2023?渝中區(qū)校級三模）如圖，在等邊△ABC中，D為△ABC內(nèi)一點，連接AD、BD、CD，∠ADB＝90°，E為BD上一點，連接AE．（1）如圖1，若AE平分∠BAD，AD＝2，BC＝3，求BE的長；（2）如圖2，若∠BAE＝∠ACD，且E為BD的中點，求證：AD＝DE；（3）如圖3，若AB＝4，將△ADC沿AC翻折得到△AD'C，F(xiàn)為BC上一點，BF＝3CF，連接D′F，當(dāng)D′F最小時，過D′作AD′的垂線，P是垂線上一動點，連接AP，將線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PQ，連接D′Q，請直接寫出D'Q2的最小值．（2023?沙坪壩區(qū)校級模擬）在△ABC中，AC＝BC，AC＝6，∠ACB＝α，點D是BC邊上任意一點，點E是直線AD上一動點，連接BE，將BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段BF，連接EF．（1）如圖1，α＝90°，∠BAD＝15°，點F在射線AD上，求BF的長；（2）如圖2，BF∥AD，CG⊥AE于點G，2∠ABF﹣3∠EBF＝4∠BAE，求證：GE=AC-BE；（3）如圖3，α＝60°，點F在射線AD上，點P是BE上一點且滿足AF＝3BP，連接AP，直接寫出當(dāng)AP最小時，點P到AB的距離．（2023?北碚區(qū)校級三模）在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點E是線段AC上一點，點F是直線BC上的點，連接BE、AF，直線AF交直線BE于點G．（1）如圖1，點F在線段BC延長線上，若AB＝BG，BG⊥AC，證明：∠F＝45°．（2）如圖2，點F在線段BC上，連接GD并延長至點H，使得DH＝DG，連接BH，若∠AEB＝∠AFB＝60°．證明：．（3）如圖3，點F在線段BC延長線上，若AB＝BC＝AC＝6，AD＝FD，點Q為AD上一點，AQ＝2DQ，連接FQ，點I在AF的下方且AQ＝AI，AQ⊥AI，連接PI，QI．點M為FQ的中點，連接DM，點N為線段DF上的動點，連接MN，將△DMN沿直線MN翻折得到△D′MN，連接QD′，點P為的中點，連接AP，BP．當(dāng)AP+AI最大時，直接寫出△ABP的值．在△ABC中，90°＜∠B