2022年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)二模試卷（原卷版）

2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷

一.選擇題（共12小題，共30分）

1.如圖是由六個完全相同的正方體堆成的物體，則這一物體的正視圖是)

D.2a—a=2

3.有一組數(shù)據(jù)：2,-2,2,4,6,7這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

4.如圖，AB=AD,ZBAC=ZDAC^25°,ZZ)=8O°,則/8CA的度數(shù)為()

A.25°B.50°C.65°D.75°

「.34.3a+2b/、

5已知一二一,貝nIj-------=()

aba-b

17

A.-17B.-1C.—D.17

7

6.如圖，在矩形A3CD中，兩條對角線AC與3。相交于點(diǎn)。，AB=6,04=4,則A。的長為

A.4B.8C.3石D.2s

I，BC=12,則AC=(

7.如圖，在AABC中，NC=90。，si〃A=)

A.3B.9C.10D.15

8.某班級開展活動共花費(fèi)2300元，但有4位同學(xué)因時間沖突缺席，若總費(fèi)用由實(shí)際參加的同學(xué)平均分

攤，則每人比原來多支付4元，設(shè)原來有x人參加活動，由題意可列方程（

23002300.2300，2300

x+4xx+4x

23002300，2300，2300

xx-4xx-4

9.已知二次函數(shù)〉=。尤2+公+。（。知）的圖象與x軸交于A（m,0）,B（n,0）兩點(diǎn)，已知〃z+"=4,且-

4<m<-2.圖象與y軸的正半軸交點(diǎn)在（0,3）與（0,4）之間（含端點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①￡於8；②

3

對稱軸是直線x=2；③當(dāng)a=--時，拋物線的開口最大；④二次函數(shù)的最大值可取到6.其中正確結(jié)論

32

C.3D.4

10.如圖，正方形A3CD中，E、尸分別為邊A。、0c上點(diǎn)，且AE=EC,過P作FHLBE,交

AB于G,過H作于M，若AB=9,AE=3,則下列結(jié)論中：

①ZBGF=NCFB；②立DH=EH+FH；③"乙=。，其中結(jié)論正確的是（）

AE5

D,F,C

A

A只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

二.填空題（共5小題，共15分）

11分解因式：4%2-16=

12.若％=1是方程/一2%+。=0的根，則。=

13.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具.如圖，若A5,AC的長都為2.5m,當(dāng)。=55。時，人字梯頂端離地

面的高度AD為m.（參考數(shù)據(jù)：sin55°?0.82,cos55°?0.57,tan55°?1.4）

14.已知實(shí)數(shù)。、b^^4^2+\b+3\=0,若關(guān)于x的一元二次方程式+融+人二。的兩個實(shí)數(shù)根分別為

西、X2,則石+%-芍々的值為

15.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=?BC=2,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交

A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)C,以點(diǎn)B為圓心，AC長為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸,則圖中

陰影部分的面積為.

三.解答題（共4小題，滿分55分）

|jr

16.先化簡，再求值：(1------)---，其中x=l—應(yīng)

x+1X-1

17.如圖，有四張背面相同的紙牌A、B、C、D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形，將這四張紙牌背

(1)小紅從中隨機(jī)摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率；

(2)小明從這四張紙牌中隨機(jī)摸出兩張，用樹狀圖或表格法，求摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形

的概率.

18.某中學(xué)九年級學(xué)生開展測量物體高度的實(shí)踐活動，他們要測量學(xué)校一幢教學(xué)樓的高度，如圖，他們先在

點(diǎn)C測得教學(xué)樓AB的頂點(diǎn)A的仰角為30°，然后向教學(xué)樓前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)。，又測得點(diǎn)A的仰角為45°,

請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求這幢教學(xué)樓的高度.(最后結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)應(yīng)標(biāo)1.414,百土L732)

呂

□

口

目

CDB

19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC,DF±AE,垂足為F,連接DE.

(1)求證：AB=DF；

(2)若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

BEC

20.某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從友誼體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球(每個足球的

價格相同、每個籃球的價格相同)，若購買3個籃球和2個足球共需420元；購買2個籃球和4個足球共

需440元.

(1)購買一個籃球、一個足球各需多少元？

(2)根據(jù)該中學(xué)的實(shí)際情況，需要從該體育用品商店一次性購買足球和籃球共20個.要求購買籃球數(shù)不

少于足球數(shù)的2倍，總費(fèi)用不超過1840元，那么這所中學(xué)有哪幾種購買方案？哪種方案所需費(fèi)用最少？

21.如圖1,己知拋物線y=ax2+bx+c(a/))與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C（0.2）,點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQLx軸，垂足為Q,交直線BC于點(diǎn)D.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若以P、D、0、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上時，過點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,設(shè)APDE的面積為S,

求當(dāng)S取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值.

22.綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在YA6CD中，

BE±AD，垂足為E，F(xiàn)為CD中點(diǎn)，連接ER,BF，試猜想E尸與正的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；

獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YA5CD沿著正（產(chǎn)為CD的中點(diǎn)）所在直線折疊，如

圖②，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為C',連接。。并延長交A5于點(diǎn)G,請判斷AG與BG的數(shù)量關(guān)系，并加以證

明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過點(diǎn)8的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A',使

A'B上CD于點(diǎn)、H,折痕交A。于點(diǎn)M,連接A'M,交CD于點(diǎn)、N.該小組提出一個問題：若此

YABCD的面積為20,邊長A3=5,BC=25求圖中陰影部分（四邊形3HMW）的面積.請你思

考此問題，直接寫出結(jié)果.

圖①圖②圖③

2022年廣東省深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校中考數(shù)學(xué)二模試卷

一.選擇題（共12小題，共30分）

1.如圖是由六個完全相同的正方體堆成的物體，則這一物體的正視圖是（）

z

TF面

【答案】A

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】解：從正面看易得左邊一列有2個正方形，右邊一列有一個正方形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖.

2.下列計(jì)算正確的是（）

236

A."LB.（2a）=6aC.D.

2a—a=2

【答案】C

【解析】

【分析】由同底數(shù)哥乘法、積乘方、塞的乘方、合并同類項(xiàng)，分別進(jìn)行判斷，即可得到

答案.

235

【詳解】解：A.a-a=a,故A錯誤；

B.（2a2）3-8a6,故B錯誤；

C.（a?1=/,故c正確；

D.2a—a=a,故D錯誤，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)幕乘法、積的乘方、幕的乘方、合并同類項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟

練掌握運(yùn)算法則分別進(jìn)行判斷.

3.有一組數(shù)據(jù)：2,-2,2,4,6,7這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為（）

A.2B.3C,4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)（或兩個數(shù)的平

均數(shù)）為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不只一個.

【詳解】解：將這組數(shù)據(jù)排序得：-2,2,2,4,6,7,

處在第3、4位兩個數(shù)的平均數(shù)為（4+2）+2=3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查中位數(shù)的意義和求法，找一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)需要將這組數(shù)據(jù)從小到大排列

后，處在中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)即為中位數(shù).

4.如圖，AB=AD,NBAC=/ZMC=25。，"=80°,則NBCA的度數(shù)為（）

A.25°B.50°C.65°D.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)S4S證明△ABC絲△ADC,可得ND=N3=80°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理

即可求得N3C4的度數(shù).

【詳解】解：在ABC與△ADC中，

AB=AD

<ABAC=DAC,

ZAC=AC

AABC咨AADC,

ZD=ZB=80°,

ZBCA=180°-25°—80°=75°.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角

形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

343a+2b

5.已知一二一,則

a-b

A.-17

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由3=3,得巴=2,則設(shè)@=2=左，得到。=3左,

ab3434

aIoit

b=4k,然后把a(bǔ)=3左，b=4k,代入“，中進(jìn)行分式的運(yùn)算即可.

34

【詳解】解：???一=:

a_b

3~4

設(shè)巴=）=k,得到。=3左，b=4k,

34

3a+2b3x3左+2x4左

二_______=______________=_17,

a-b3k-4k

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)：常用的性質(zhì)有內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比

性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì).

6.如圖，在矩形A3CD中，兩條對角線AC與5。相交于點(diǎn)。，AB=6,04=4,貝U

AD的長為（）

隊(duì)-----------------

c.3#D.277

【答案】D

【解析】

【分析】利用矩形的性質(zhì)可知對角線互相平分且NA5c=90°,再利用勾股定理求解即

可.

【詳解】解：在矩形A3CD中，

Q4=OC=4

:.AC=8

AB=6,ZABC=90°

BC=VAC2-AB2=幅-6=277

AD=3C=2s

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)及勾股定理求直角邊

是解決本題的關(guān)鍵.

,4

7.如圖,在AABC中，ZC=90°,sinA.——,BC=12,則AC=()

5

A.3B.9C.10D.15

【答案】B

【解析】

【詳解】sinA=,

AB

BC12

.'.AB=sinA4=15,

5

在直角△ABC中,AC=7AB2-BC2=V152-122=9-

故選B.

8.某班級開展活動共花費(fèi)2300元，但有4位同學(xué)因時間沖突缺席，若總費(fèi)用由實(shí)際參加

的同學(xué)平均分?jǐn)偅瑒t每人比原來多支付4元，設(shè)原來有x人參加活動，由題意可列方程

（）

23002300,2300,2300

A.-------=-------+4B.-------+4=

x+4xx+4-----------x

23002300，2300，2300

C.-------=--------+4D.-------+4=-------

xx-4xx-4

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)原來有x人參加聚餐，則實(shí)際有（x-4）人參加聚餐，根據(jù)“總費(fèi)用由實(shí)際參加

的同學(xué)平均分?jǐn)?，則每人比原來多支付4元”，列出方程即可解答.

【詳解】解：設(shè)原來有x人參加聚餐，則實(shí)際有（x-4）人參加聚餐，

2300，2300

根據(jù)題意得,-------+4=-------

xx-4

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

9.已知二次函數(shù)y=or2+bx+c（。刈）的圖象與x軸交于A（m,0）,B（w,0）兩點(diǎn)，已知

m+n—4,且-4SwW-2.圖象與y軸的正半軸交點(diǎn)在（0,3）與（0,4）之間（含端

3

點(diǎn)）.給出以下結(jié)論：①6芻W8；②對稱軸是直線x=2；③當(dāng)a=--時，拋物線的開口最

32

大；④二次函數(shù)的最大值可取到6.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）個

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)帆+"=4可得〃=4-加，再根據(jù)2即可判斷①；根據(jù)二次函

m+n1

數(shù)的對稱軸是直線x==—即可判斷②；先求出——的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的圖

2mn

象與y軸的交點(diǎn)位置可得c的取值范圍，從而可得￡的取值范圍，然后根據(jù)二次函數(shù)與

mn

一元二次方程的聯(lián)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得加〃=￡,從而可得。的取值

a

范圍，最后根據(jù)拋物線的開口大小與〃的值的關(guān)系即可判斷③；先求出當(dāng)％=2時，二次函

數(shù)取得最大值，最大值為Ta+c,再根據(jù)區(qū)。的取值范圍求出=k+c的取值范圍，由此

即可判斷④.

【詳解】解：由根+幾=4得：n=4-m,

-4<m<—2,

2<—m<4,

.\6<4—m<8,

/.6<zi<8,結(jié)論①正確；

,二次函數(shù)y=法+aiwo）的圖象與九軸交于A（祖,0）,5（〃0）兩點(diǎn)，且

=4,

「?此二次函數(shù)的對稱軸是直線x=------=2,結(jié)論②正確；

2

2<—m<4,6<n<8,

:A2<—mn<32,

——1<--1----<——1，

32mn12

；二次函數(shù)y^ax2+bx+c（a^0）的圖象與丁軸的正半軸交點(diǎn)在（。,3）與（0,4）之間（含

端點(diǎn)），

.-.3<c<4,

32mn3

1c3

<—<—<----,

3mn32

又「二次函數(shù)y=a?+"+。0）的圖象與犬軸交于A（m,0）,5（凡0）兩點(diǎn)，

〃是關(guān)于龍的一元二次方程a/+6％+c=0（aw0）的兩個實(shí)數(shù)根，

/.mn=—,

a

a——,

mn

13

——<a<----,

332

由二次函數(shù)圖象的開口向下得：a<0,

則。的值越大，拋物線的開口越大，

所以當(dāng)。=時，拋物線的開口最??；當(dāng)。=一盤時，拋物線的開口最大，結(jié)論③正確;

此二次函數(shù)的對稱軸是直線龍=2,

b

二當(dāng)尤=2時，y=4a+2b+c為最大值，且----=2,

2a

最大值4a+2〃+c=4a-8a+c=Ta+c,

由—」得:12,4

—<-4a<—

332323

又?3<c<4,

3—?—4a+c?5一,

323

則二次函數(shù)的最大值-4〃+c不可取到6,結(jié)論④錯誤;

綜上，正確結(jié)論的個數(shù)為3個，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、一元二次

方程的根與系數(shù)的關(guān)系等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.如圖，正方形A3CD中，E、尸分別為邊A。、0c上點(diǎn)，且AE=EC,過歹作

FHLBE,交AB于G,過H作A3于若AB=9,AE=3,則下列結(jié)論中：

①ZBGF=NCFB；②肥DH=EH+FH；③”4=?,其中結(jié)論正確的是()

AE5

A.只有①②B.只有①③C.只有②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】①根據(jù)NA8E的余角是/8GF和/4防，得至！根據(jù)SAS證明

△ABE”xCBF,得至IJ/AE2=NCF2,即可得到②將△。尸H繞點(diǎn)。順時針

旋轉(zhuǎn)90。，得到ADEN,證明N,E,X三點(diǎn)共線，根據(jù)夜次/=HN即可得到答案；③連接

EF,證明EF=42DE=672，BE=BF=3M，根據(jù)FH~=EF2-EH2=BF~—BH2求

出BH=亞~，根據(jù)sinNA8E=〃0=4￡求出即可得到答案.

5BHBE5

【詳解】①：正方形ABC。中，AB^BC=9,ZA=ZC=90°,且AE=CF=3,

/XABE經(jīng)△CBF(SAS),

：.NCFB=/AEB,

\'FG±BE,

：.ZBHG=9Q°,

：.ZBGH+ZABE=90°,

ZAEB+ZABE=90°,

：.ZBGH=ZAEB,

:.ZBGF=NCFB,正確；

@"：AD=CD,AE=CF,

：.DE=DF,

將△DFH繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到△OEM點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,

則/H￡W=90°,ZDFH=ZDEN,DH=DN,FH=EN,

,：ZEDF+ZEHF=ISQ°,

:./DEH+/DFH==180°,

：./DEH+NDEN=180。,

：.N,E,"三點(diǎn)在同一條直線上，

AZN=ZDHN=^(180°-ZHDN)=45°,

72DH=HN=EH+EN=EH+FH,

:?①DH=EH+FH，正確；

③連接EF,

'：AD=CD=9,AE=CF=3,,

：.DE=DF=6,

:.EF=?DE=6

'?*BF=A/BC2+CF2=A/92+32=3&5，

???BE=3而，

設(shè)BH=x,則EH=BE-BH=3回-x，

FH2=EF2-EH2=BF2-BH2，

/.(672)2-(3710-x)2=(3710)2-x2,

.9AB即叫9V10

??x=----，即BH------，

55

VHMXAB,

HMAE

sinZABE=

IBH~BE

HM3

二9函一3M，

5

9

HM=-,

5

9

~AE~1~5

HM3

故=g正確.

~AE

...正確的結(jié)論為①②③，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正方形和三角形，解決問題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握正方

形的邊角性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函

數(shù)定義.

二.填空題（共5小題，共15分）

11.分解因式：4%2-16=.

【答案】4（尤+2）（尤-2）

【解析】

【分析】先提公因式4,然后使用平方差公式因式分解即可.

【詳解】解：原式=4（x2-4）

=4（x+2）（x-2）.

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握平方差公式。2/2=Q+b）（a-b）是解

題的關(guān)鍵.

12.若x=l是方程無2—2x+a=0的根，則。=.

【答案】1

【解析】

【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義，把X=1代入方程得到a的值.

【詳解】把x=l代入方程必—2x+a=0，得l-2+a=O,

解得a-1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義，一元二次方程的根就是一元

二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

13.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具.如圖，若AB，AC的長都為2.5m,當(dāng)。=55。時，

人字梯頂端離地面的高度A。為m.(參考數(shù)據(jù)：sin55°~0.82,

cos55°?0.57,tan55°?1.4)

【答案】2.05

【解析】

【分析】RtZXAOC中，求出A。即可.

【詳解】解：'：AB=AC=2.5m,AD±BC,

：.ZADC=9QQ,

.*.AO=AC.sin55°=2.5X0.82^2.05(m),

故答案為2.05.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決

問題.

14.已知實(shí)數(shù)b滿足>/^1+忸+3|=0,若關(guān)于x的一元二次方程為2+公+人=0的兩個

實(shí)數(shù)根分別為占、X],則%%-石多的值為一

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出4=2,6=-3,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得%+%=-2,

西?=-3,整體代入即可求得.

【詳解】解：\Ja-2+|i>+3|=0,

2=0,Z?+3=0,

，a=2,b=—3,

?關(guān)于X的一元二次方程％2+女+6=()的兩個實(shí)數(shù)根分別為玉、%，

\+x2=—a=—2,xl-X2=b=—3,

芯+w-=-2-(—3)=-2+3—1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程q2+樂+c=0(aw0)的根與系數(shù)

的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

15.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,AB=?BC=2,以點(diǎn)A為圓心，AC長

為半徑畫弧，交A3于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)C,以點(diǎn)B為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB

于點(diǎn)E,交于點(diǎn)孔則圖中陰影部分面積為.

【答案】1----##-------H1

44

【解析】

【分析】設(shè)N8=廢，則NA=90?！?。，先利用勾股定理求出AC=1,再求出

=1，最后根據(jù)§陰影=S”8c-S扇形A。一S扇形的進(jìn)行求解即可?

【詳解】解：設(shè)N5=〃。，則NA=90。一〃。，

在中，由勾股定理得AC={AB?—5c2=i,

S.ABC=—AC-BC=1,

由題意得，BF=BE=AC=AD=1,

S陰影=SAABC-S扇形AC?―S扇形BEF

_1H7TXl2(9O-H)^X12

—360360

=1--,

4

77

故答案為：1-丁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求不規(guī)則圖形面積，勾股定理，熟知扇形面積公式是解題的關(guān)

鍵.

三.解答題(共4小題，滿分55分)

1jr

16.先化簡，再求值：(1-----)+——，其中x=l—J5

x+1x~-\

【答案】X-l,-y/2

【解析】

【分析】將括號里通分，除法化為乘法，因式分解，約分，再代值計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=--——-A_L

V-X+lx+1Jx

x(x+l)(x—1)

=----?----------

x+1X

=x-l

當(dāng)％=1—y/2,時,原式=1—y/2—1=—A/2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，解答此題的關(guān)鍵是把分式化到最簡，然后代值計(jì)算.

17.如圖，有四張背面相同的紙牌AB、C、D,其正面分別畫有四個不同的幾何圖形,

將這四張紙牌背面朝上洗勻后放在桌面上.

正三角形圓H第四正五邊形

(I)小紅從中隨機(jī)摸出一張，求摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率；

(2)小明從這四張紙牌中隨機(jī)摸出兩張，用樹狀圖或表格法，求摸出的兩張牌面圖形都是

中心對稱圖形的概率.

【答案】(1)!

⑵-

6

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)中心對稱圖形的定義判斷四個圖形是否是中心對稱圖形，再根據(jù)概率計(jì)

算公式求解即可；

(2)先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后根據(jù)概率計(jì)

算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：正三角形不是中心對稱圖形；圓是中心對稱圖形；平行四邊形是中心對稱圖形；正五

邊形不是中心對稱圖形；

...四個圖形中有兩個圖形是中心對稱圖形，

21

，小紅從中隨機(jī)摸出一張，摸出的牌面圖形是中心對稱圖形的概率為一=—；

42

【小問2詳解】

解：列表如下：

ABCD

A(B,A)(C,A)(D,A)

B(.A,B)(C,B)CD,B)

C(A,C)(B,C)(D,C)

D(A,D)QB,D)(C,D)

由表格可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的

結(jié)果數(shù)有2種，

.?.摸出的兩張牌面圖形都是中心對稱圖形的概率為工=工.

126

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的概率計(jì)算，樹狀圖法或列表法求解概率，中心對稱圖形的

識別，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

18.某中學(xué)九年級學(xué)生開展測量物體高度的實(shí)踐活動，他們要測量學(xué)校一幢教學(xué)樓的高度,

如圖，他們先在點(diǎn)C測得教學(xué)樓A3的頂點(diǎn)A的仰角為30。，然后向教學(xué)樓前進(jìn)20米到達(dá)

點(diǎn)。，又測得點(diǎn)A的仰角為45°,請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求這幢教學(xué)樓的高度.（最后結(jié)果精確

到1米，參考數(shù)據(jù)正。1.414,石。1.732）

呂

口

□

□

□

□

CDB

【答案】27米

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意分析圖形；本題涉及到兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊A3及

CD=3C-a>=60構(gòu)造方程關(guān)系式，進(jìn)而可解，即可求出答案.

【詳解】解：由已知，可得：ZACB=30°,ZADB=45°,

..在中，BD=AB-

又在中,

AB

tan30°=

BC-T

----=——，即BC-y[?>AB-

BC3

BC=CD+BD,

欄AB=CD+AB，

即(6-l)AB=20,

AB=10(豆+1卜27米.

答：教學(xué)樓的高度為27米.

【點(diǎn)睛】本題考查了仰角與俯角一解直角三角形的應(yīng)用，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三

角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，AE=BC,DF±AE,垂足為F,連接

DE.

（1）求證：AB=DF：

（2）若AD=10,AB=6,求tan/EDF的值.

AD

ra

BEC

【答案】（1）詳見解析；（2）-

3

【解析】

【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到/B=NDFA,AE=BC,AD=BC,證得△AEB絲ZvDAF；

（2）由（1）可知：DF=AB=6,AE=AD=10.在RSAFD中,求出AF和EF.

【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC,AD〃BC,ZB=90°.

?「AD〃BC,

:?ZBEA=ZFAD

VDF±AE,

AZDFA=90°

???NB=NDFA

VAE=BC,AD=BC,

AAE=AD

AAAEB^ADAF

AAB=DF

(2)解：由(1)可知：AB=DF=6,AE=AD=10.

在RtAAFD中，ZDFA=90°，

AF=VAD2-DF2=A/102-62=8

.*.EF=AE-AF=10-8=2

在RtADFE中,ZDFE=90°

EF21

tanZEDF=-----=—=—

DF63

【點(diǎn)睛】矩形性質(zhì)，求正切.

20.某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備從友誼體育用品商店一次性購買若干個足球和籃

球（每個足球的價格相同、每個籃球的價格相同），若購買3個籃球和2個足球共需420

元；購買2個籃球和4個足球共需440元.

（1）購買一個籃球、一個足球各需多少元？

（2）根據(jù)該中學(xué)的實(shí)際情況，需要從該體育用品商店一次性購買足球和籃球共20個.要

求購買籃球數(shù)不少于足球數(shù)的2倍，總費(fèi)用不超過1840元，那么這所中學(xué)有哪幾種購買方

案？哪種方案所需費(fèi)用最少？

【答案】（1）：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元；（2）有三種方案，其中購買

籃球14個，足球6個所需費(fèi)用最少.

【解析】

【分析】（1）設(shè)每個籃球x元，每個足球y元，根據(jù)購買3個籃球和2個足球共需420

元；購買2個籃球和4個足球共需440元，可得出方程組，解出即可；

（2）設(shè)購買籃球y個，則購買足球（20-y）個，由購買籃球數(shù)不少于足球數(shù)的2倍，總

費(fèi)用不超過1840元，可得出不等式組，解出即可.

3x+2y=420

【詳解】（1）設(shè)每個籃球x元，每個足球y元，由題意，得：｛./，，八，解得：

2x+4y=440

卜=100

[y=60,

答：購買一個籃球需要100元，一個足球需要60元.

（2）設(shè)購買籃球y個，則購買足球（20-y）個，由題意,

y>2（20-y）

得.（

100y+60（20-y）<1840

A，40

解得：—

,?》為整數(shù)，，有3種方案:

①購買籃球14個，足球6個；

②購買籃球15個，足球5個；

③購買籃球16個，足球4個.

???籃球較貴一些，...方案①所需費(fèi)用最低.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應(yīng)用及二元一次方程組的應(yīng)用知識點(diǎn).

21.如圖1,已知拋物線y=ax?+bx+c(a^O)與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與

y軸交于點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ_Lx軸，垂足為Q,交直

線BC于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若以P、D、0、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P位于直線BC上方的拋物線上時，過點(diǎn)P作PELBC于點(diǎn)E,設(shè)APDE

的面積為S,求當(dāng)S取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值.

【答案】(1)y=-1x2+-x+2；(2)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)或(2+2上，0)或(2-20,0)；

z2

4

(3)當(dāng)P為(2,3)時，S有最大值，最大值為=1.

【解析】

【分析】(1)把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得a、b、c的值，可得出函數(shù)表達(dá)式;

(2)可先求得BC的解析式，設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出D點(diǎn)坐標(biāo)和P點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出

PD的長，由條件可得PD=OC=2,可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，則可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)可設(shè)出P的坐標(biāo)，由PQ〃OC可表示出DQ、BD,由APEDS^BQD可表示出PE和

DE,則可表示出S,再結(jié)合P在直線BC上方，可求得S的最大值，可求得P點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】(1),??二次函數(shù)與x軸交于A(-1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C(0,2),

1

a=——

〃—b+c=02

??3

?代入二次函數(shù)解析式可得(16〃+46+。=。，得b7=—

2

c=2

c=2

2

，二次函數(shù)表達(dá)式為y=-1x+-x+2;

~2

(2)設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,

VB(4,0),C(0,2),

4k+b=0

代入可得《

b=2

解得,女——5,

b=2

直線BC解析式為y=-1x+2,

設(shè)Q坐標(biāo)為（m,0）,則可知D點(diǎn)坐標(biāo)為（m,-《m+2）,

又二,P點(diǎn)在拋物線上，

3

；.P點(diǎn)坐標(biāo)為（m,-^-m2+—m+2）,

22

當(dāng)P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時，則有PD=OC=2,

3

即|」m2+—m+2-（-m+2）|=2,iP|-7rm2+2m|=2,

2222

當(dāng)-lm2+2m=2時，解得m=2,則Q坐標(biāo)為（2,0）,

當(dāng)-gin2+2m=-2時，解得m=2±2行，則Q坐標(biāo)為（2+后，0）或（2-72-0）,

綜上可知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）或（2+2&,0）或（2-20）；

（3）設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（n,0）,由（2）可知D為（n,-；n+2）,P點(diǎn)坐標(biāo)為（n,-；n2+—

222

n+2）,

PD=-\n2+2n=yn（4-n）,DQ=-；n+2,

又：OB=4,

；.BQ=4-n,

在R3OBC中，OC=2,OB=4,由勾股定理可求得BC=2J?,

VOQ/7OC,

.BDBQBD4-n出(4—n)

即寸==，解得BD=4——

"BC~OB2V542

VPE1BC,PQXQB,

.?.ZPED=ZBQD=90°,且/PDE=/BDQ,

.,.△PEDS/XBQD,

PEDEPD5"（4—〃）

?____________-_n_

"BQ^DQ~BD~&4-n1~小，

2

PEDEn

即4f」〃+2&

2

n（4-n）〃/1八、

解得PE=下,DE=-^（--?+2）,

iin（4-n）n1-、1

z22

.*.S=^PE?DE=^x——點(diǎn)一x-（=（——n+2）=——（-n+4n）,

22非非220

令t=-n2+4n=-（n-2）2+4,

：P在直線BC上方，

.?.0<n<4,

.'.0<t<4,且當(dāng)n=2時，t有最大值4,

此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（2,3）,

14

當(dāng)t=4時，Smax=——X42=—，

205

4

綜上可知當(dāng)P為（2,3）時，S有最大值，最大值為=二.

【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比

例和相似三角形的判定和性質(zhì).在（1）中注意待定系數(shù)法應(yīng)用的關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)，在

（2）中用Q的坐標(biāo)表示出PD的長度，得到關(guān)于Q點(diǎn)坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，在（3）

中用Q點(diǎn)的坐標(biāo)表示出PE、DE的長度是解題的關(guān)鍵.本題知識點(diǎn)多，計(jì)算量大，難度較

大.

22.綜合與實(shí)踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在YABCD

中，BE±AD，垂足為E,F為CD中點(diǎn)，連接EF,BF，試猜想石尸與正的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明；

獨(dú)立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實(shí)踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YABCD沿著正（尸為CD的中點(diǎn)）所

在直線折疊，如圖②，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為C',連接。。并延長交A5于點(diǎn)G,請判斷AG

與8G的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對

應(yīng)點(diǎn)為4,使45LCD于點(diǎn)H,折痕交A。于點(diǎn)連接A'〃，交CD于點(diǎn)N.該

小組提出一個問題：若此YABCD的面積為20,邊長A3=5,BC=2日求圖中陰影

部分（