吉林省小學奧數系列8-2-1抽屜原理（二）

吉林省小學奧數系列8-2-1抽屜原理（二）

姓名：班級：成績:

小朋友，帶上你一段時間的學習成果，一起來做個自我檢測吧，相信你一定是最棒的!

一、（共35題；共160分）

1.（10分）證明：任取6個自然數，必有兩個數的差是5的倍數。

2.（5分）五年級數學小組共有20名同學，他們在數學小組中都有一些朋友，請你說明：至少有兩名同學，

他們的朋友人數一樣多.

3.（5分）有蘋果、橘子、梨三種水果，每人任意拿兩個，至少有幾個人，才能保證到至少有兩人選的水果

一樣.

4.（5分）（2018六下?云南月考）把若干個蘋果放進9個抽屜里。不管怎么放，要保證總有一個抽屜里至

少放進4個蘋果。那么至少應該有多少個蘋果？

5.（5分）把黑、白、藍、灰四種顏色的襪子各12只混在一起。如果讓你閉上眼睛，每次最少拿出幾只才能

保證一定有一雙同色的襪子?如果要保證有兩雙同色的襪子呢？

6.（5分）試說明在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米.

7.（5分）圓周上有2000個點，在其上任意地標上。LL…-999（每一點只標一個數，不同的點標上

不同的數）.證明必然存在一點，與它緊相鄰的兩個點和這點上所標的三個數之和不小于2999

8.（5分）有一個布袋中有5種不同顏色的球，每種都有20個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證

其中至少有3個小球的顏色相同？

9.（5分）有一個布袋中有40個相同的小球，其中編上號碼1、2、3、4的各有10個，問：一次至少要取出

多少個小球，才能保證其中至少有3個小球的號碼相同？

10.（5分）在20米長的水泥陽臺上放11盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過2米.

11.（5分）有紅、黃、藍、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里.一次摸出小球8個，其中至少有

幾個小球的顏色是相同的？

12.（5分）給下面每個格子涂上黑色或紅色.觀察每一列，你有什么發(fā)現？

J無論怎么涂，至少有

^兩列的涂法相同.

能說出其中的道理嗎？

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13.（5分）在邊長為3米的正方形中，任意放入28個點，求證：必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的

面積不超過1平方米.

14.（1分）從1到20這20個數中，任取11個不同的數，必有兩個數其中一個是另一個數的倍數.

15.（5分）平面上給定6個點，沒有3個點在一條直線上.證明：用這些點做頂點所組成的一切三角形中，

一定有一個三角形，它的最大邊同時是另外一個三角形的最小邊.

16.（5分）8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友

的名字.開始時，每位小朋友發(fā)現自己面前所對的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經過適當轉動圓桌，一

定能使至少兩位小朋友恰好對準自己的名字.

17.（5分）自制的一副玩具牌共計52張（含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅.每種牌都有1點，2點，…，

13點牌各一張）.洗好后背面向上放好，

（1）一次至少抽取張牌，才能保證其中必定有2張牌的點數和顏色都相同.

（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3張牌的點數是相鄰的（不計顏色），那么至少要取張牌。

18.（5分）在邊長為1的正方形內任意放入九個點，求證：存在三個點，以這三個點為頂點的三角形的

面積不超過0.125o

19.（5分）一副撲克牌，共54張，問：至少從中摸出多少張牌才能保證：

（1）至少有5張牌的花色相同；

（2）四種花色的牌都有；

（3）至少有3張牌是紅桃.

（4）至少有2張梅花和3張紅桃.

20.（5分）用五種顏色給正方體各面涂色（每面只涂一種色），請你說明：至少會有兩個面涂色相同.

21.（5分）一個袋子中裝有紅、黃、藍、綠四種顏色的小球若干，如果每次取3個，最后剩1個；如果每次

取5個或7個，最后剩2個.這個袋中至少有多少個小球？一次至少取幾個小球可以保證有兩個是同色的？

22.（5分）向陽小學有730個學生，問：至少有幾個學生的生日是同一天？

23.（5分）一個正方體有六個面，給每個面都涂上紅色或白色，至少有三個面是同一顏色。為什么？

24.（5分）把12個乒乓球放入5個盒子，至少有3個乒乓球要放人同一個盒子。為什么？

25.（5分）如圖A、B、C、。四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、

或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數最多有幾種？請說明理由.

26.（5分）從42個鴿舍中飛出211只鴿子，總有一個鴿舍中至少飛出6只鴿子。為什么？

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27.（5分）夏令營有500個學生參加，請問在這些學生中，至少有多少人在同一天過生日？至少有多少人在

同一個月過生日？

28.（5分）一個口袋里有紅球、黃球、白球和花球四種顏色的球，小陽閉著眼睛，每次摸出一個球，他想摸

出兩個顏色相同的球，至少要摸多少次才能一定達到要求？

29.（5分）五年級有47名學生參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分。已知3名學生的成績在

60分以下，其余學生的成績均在75?95分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？

30.（5分）平面上有17個點，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍三種顏色中的一種，這些線段能構成若干

個三角形.證明：一定有一個三角形三邊的顏色相同.

31.（1分）7只鴿子飛回6個鴿舍，至少有只鴿子要飛進同一個鴿舍里.

32.（5分）證明：任取8個自然數，必有兩個數的差是7的倍數。

33.（1分）六⑴班一組和二組共有13個同學，這13個同學中至少有人的生日在同一個月內；全

班有49人，全班同學中至少有人的生日在同一個月內.

34.（1分）如果有25個小朋友乘6只小船游玩，至少要有個小朋友坐在同一只小船里

35.（1分）六⑴班有30名學生，男女生人數比是1：1,至少隨機選取人，才能保證選出的人中

男生、女生都有.

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參考答案

一、（共35題；共160分）

1-1、

解：任何SS蝴以5,其余數只可能是0,1,2,3,4五種情形.那么沁目然數除以5,至少有兩個數的余數相同.如果兩

個數除以5的余數相同,另陷它們的差一定是5的倍數.

2-1、

解:2昭同學每人都有朋友,最少有1個朋友，最多有19個朋友，若其中19個同學的朋友數各不相同，服2盤后一名同學無論

有幾個朋友，都有同學和他的朋友數相同，則至少有兩名同學的朋友數相同.

筑：6+1=7（人）；

3-1、答：至少有7個人,才能保證到至少有兩人選的水果一樣.

4-1、22

解：4+1=5g;4x3+1=13?

5.1、5：至少拿出5只才能保正■定有一雙同色的襪子,如果要保證有兩雙同色的襪子，至少要取11113只.

6-1、

解：把這條”窗分成每段1米長,共100段每段看作是一個抽屜，共100個抽屜,把101棵樹看作是101個蘋果，于是101個蘋果

放入100個抽應中,至少有一個抽尿中有兩個蘋果，即至少有一段育兩棵或兩株以上的樹.

7-1、

解：把這一08從昊一NKJf始按順時針方向分另!H2為的./、ai、…、叼000?相鄰的三個數為一組,有。阿小、。2a網

、。丸。5、…、。1999^00001、。2000^^2共2000組■

這2000組三個數之和的總和為：

（flj+a2+ajMa2+Gj+*^fl2000+al+^2）=+*,*+a?ooo）=3x（l+2+3+1999）=5997000?

5997000=2998x2000+10001根據抽麻S3,這兩千?S8中SiP1有一于2999.

解：5種顏色看作5個抽屜，要保證一個抽屜中至少有3個蘋果，最“壞”的情況是每個抽屜里有2個?1蘋果",共有:

8-1、5*2=10個，再取］個就?8篇足要求,所以一次至少要取出11個小球.才能保證其中至少有3個小球的顫色相同

9-1、

解：將1、2、3、4四種號碼看作4個抽屜，要保證一個抽屜中至少有3個蘋果,最“壞”的情況是每個抽屜里有2個"蘋果",

共有：4x2=8（個），再取1個就能滿足要求，所以一次至少要取出9個小球，才能俁證其中至少有3個小球的號碼相同.

10-1、

解：如果每兩盆之間的距商都超過2米，那么怠距離超過2xfll-l；=20（*）.月一方面，可以使開始的io盆每兩盆

之間距離略大于2米，而最后兩盤之間小于2米?所以，至少有兩盤之間的距離不瞰12米.

11-1

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解：從最不利的情況考古,摸出的8個小球中有部小球的蹶色各不相同，那么余下的4-M、球無論各是什么顏色,都必與之前的

竹小球中的某一個顏色相同.即這2小球中至少有2個小球的顏色是相同的.

12-1>

13-1、

解：將大正方形分成9個邊長為保的小正方形，則孫小正方形為一抽卮"，有：28-9=3-1,則必有一個小正方形里

(上)至少有3+1=4(個)點，著這四個點恰好落在這個小正方形的四個頂點,另監(jiān)以這4個點為頂點的四邊形的面積為1平

方米；若有一個點落在正方形的內部或邊上,則面積將小于1平方米.綜上所述，不論怎么放,必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的

四邊形的面枳不超過1平方米.

14-1、

解:把這2(kN的■成以下10?,看成10個抽屜：(1,2,4,8,16),(3,6,12),(5,10,20),(7,14),(9,

18),(11),(13),(15),(17),(19),前5個抽屜中，兩倍&,

必稗一個抽屜中要取2個數,它們只能從前2抽屜中取出，這兩個數就滿足費目要求.

15-1、

解：我們知曄目皖繇一下.一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的,因此必有最大邊和最小邊.在等腰三角形(或

等邊三角形中)，會出現兩條邊,甚至三條邊都是最大邊(或最小邊).

我們用姿色的辦法來解決這個問題.分兩步姿色：

第一步：先將每一個三角形中的最大邊涂上同一種顏色,比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂上另外一種顏色,比

如藍色.

這樣,我們就將所有三角形的邊都用紅、藍兩色涂好.根據上魚邕的結論可知，這些三角形中至少有一個同色三角形.由于這

個同色三角形忖自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個同色三角形必然是紅色三角形.由于這個同色三角形行自己的最

小邊,而這一小邊也是紅硼,說明這條最小談定是某個三角形成權."得證.

16-1、

解：沿順時鑰■方向轉動國直,每次轉動一格，使抵位小朋友恰好對準鹵面上的字條，經過8次轉動后,直面又回到原來的位重.

在這個裝動的過程中，每位小朋友恰好對送桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對的情況看

作-蘋果",共有8只F果”.另一方面，由于開始時每個小朋友都不與自己名字相對,所以小朋友與目己名字相對的情況只

發(fā)生在7次轉動中,這樣7次轉動(即7個"抽屜")將產生8位小朋友對準自己名字的情況，由抽展原理可知，至少在某一次轉

動后,有兩個或兩個以上的小朋友對準自己的名字.

171、【第1空】27

17-2、【第1空】上

18-1、

第5頁共8頁

解：如圖，用9個點四等分正方形，得到四個面積都為0?25的正方形，我們把四個面積為0.25的正方形看成4個海屜，9

個點看成單果,因此必有三個點在一個面積為0s25的正方形內，如果這三點恰好是正方形的頂點,則三角形的面積為0.125

,如果這三點在正方形內部，則三角形的面積小于0.125，因此存在三個點，以這三個點為頂點的三角形的面積不超過0.125

19-1、

解：一副撲克牌有四種花色，每種花色各13張，月外還有兩張王牌,共54張.

為了"保證"5張牌花色相同，我們應從最“壞”的情況去分忻,即先指出了兩張王牌,再把四種花色看作4個他屜，要想有5張

牌屬于同一個抽屜，具彘再搜出4x4+1=17（張），也就是共摸出1男長牌.即至少摸出1詠脾，才能保證其中有5張牌的花

色相同.

19-2、

解：因為每種花色有13張牌,若考店最“壞"的情況，即猿出了2張王牌和三種花色的所有牌共計13*3+2=41（張），這

時,只需再摸一張即一共42張牌,就保證四種花色的牌都有了.即至少摸出42張牌才能保證四種花色的牌都有

19-3、

解：最"壞"的情形是先摸出了2張王牌和黑桃、梅花、方塊三種花色所有牌共計13*3+2=41張，只*虹桃牌.這時只需

再摸3張，就保證稗3張牌是紅挑了，即至少摸出44張牌,才能保證其中至少有3張紅桃牌.

19-4、

解：因為每種花色有13張牌，若考慮最"壞”的情況，即攜出2張王牌、方塊和黑桃兩種花色的所有牌共計：13x2+2=28

,然后是摸W所有的梅花和3張紅桃（想想著渡出所有的紅桃和2張梅花,是最壞的情況么？），共計：28+13+3=44張.

20-1、

解：五種顏色最多只能涂5個不同酸色的面，因為正方體有6個面，還有一個面要選擇這五種顏色中的任意T*來涂，不管這個

面涂成點種顏色,都會和前面有一個面顫色相同，這樣就有兩個面會被涂上相同的顏色.

21-1、

解：5和7的最小公倍數是35,35+2=37（個）,符合每次取3個最后剩1個的條件，所以這個袋中至少有37個小球至少取4+1=5

個球

答：至少有37個小球，一次至少取5個球可以保證有兩個是同色的.

730+366=1一364

1+1=2（個）

22-1、答：至少有2個字生的生日是同一天.

解：6+2=3（個）

231、答：因為只有兩種裝色,如果蜩蟠電泳三個面，另以至少有三個面是同一種8電

24-1

第6頁共8頁

解：12+5=2.…3,2+1=3(4-)

答：因為每個盒子里各放入2個乒乓球，3及余下的乒乓球無論放入郡個盒子里,至少有3個乒乓球要放入同一個盒子里.

25-1、

解：最多為13種.

因為取1只盤子有4種取法；取3只盤子(即有1種盤子不取)，也有四種取法；取4只盤子具有1只取法；取兩只相鄰的盤

子，在第1只取定后,(依假時針方向)，第2只也就確^了，所以也有4種取法.共有3x4+1=13種取法篇足13種取法的糖

果放法可以有無數多種.例期的解表明糖里數可以為1~13這13種.

解：211+42=5......1,5+1=6?

26-1、答：假如每個鴿舍中各有5只鴿子，那么余下的1只無論在喉個鴿舍中，息有一個鴿合中至少飛出6只解子.

解:500+366=1......134,1+1=2(A)；

500+12=41......8,41+1=42(A)

27-1、答：至少2人同一天:至少42人同一月.

28-1