交通大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

交通大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

姓名:年級(jí):學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評(píng)卷入得分

一、選擇題（共8題，共40分）

x2y2

----=]

1、已知雙曲線演X（a>0,b>0）與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,

若|PF|=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸進(jìn)線的距離為（）

A.F

B.2

C.而

D.3

【考點(diǎn)】

【答案】A

【解析】解：.??拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)F（2,0）,p=4,拋物線的焦點(diǎn)和雙曲線的焦點(diǎn)相同，

.'.p=2c,即c=2,

??.設(shè)P（m,n）,由拋物線定義知：

P

|PF|=m+2=m+2=5,.'.m=3.

??.P點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,±2於）

a2+b2=4

（924_a=1

a?b21解得：b=串,

則漸近線方程為y=±占x,

即有點(diǎn)F到雙曲線的漸進(jìn)線的距離為

|2問(wèn)

d=^TT=0,

故選：A.

2、在正四棱錐P-ABCD中，。為正方形ABCD的中心，PE=xE0（2W入W4）,且平面ABE與直線PD交

于F,PF=f（入）PD,則（）

A.f（入）J+2

2A

B.f（入）T+6

3A

C.f（入）T+7

4A

D.f（入）T+9

【考點(diǎn)】

【答案】A

［解析］解:由題意:P-ABCD是正四棱錐,0為正方形ABCD的中心，則OP_L平面ABCD,F￡，=AF0（2<X<4）,

即E是P0上的點(diǎn)，在平面ABE延長(zhǎng)BE與直線PD交于F,過(guò)F作FG垂直于P0交于G,可得：備卷舟O&法.

故選A.

【考點(diǎn)精析】I由拋物線y2=4x,得2P=4,p=2,

|AB|=|AF|+|BF|=|AA/|+|BBZ|=x1+x2+p,

：x1+x2=6,

/.|AB|=8.

故選：A.

X2y2

—+—=l（a>b>0）,,

4、已知點(diǎn)A是橢圓產(chǎn)''上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)隹點(diǎn)，且AFLx軸，|AF|二焦距，則

橢圓的離心率是（）

1+盧

B.PT

c.例-1

【考點(diǎn)】

【答案】C

=

【解析】解：設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF，x軸，所以F(c,0),貝I]"。y？+T/T1，解得y=±—a,因?yàn)?

b2

|AF|二焦距，所以片二20，即b2=2ac,a2-c2=2ac,

.,.e2+2e-1=0,解得ed2-1或e=-(舍去)

故選C.

5、已知p：x2-4x-5>0,q：x2-2x+1-入2>0,若p是q的充分不必要條件，則正實(shí)數(shù)人的取值范圍

是()

A.(0,1]

B.(0,2)

3,

C.(%]

D.(0,2]

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：解x2-4x-5>0得：x￡(-°°,-1)U(5,+°°),解：x2-2x+1-入2>0,得：x￡(-

8,1-X)U(1+入，+8),

若P是q的充分不必要條件，

1—AN—1

[1+A<5

貝I]入>0,

解得：入￡(0,2],

故選：D.

【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向

(—CO,------1[―-----1+00)

上，函數(shù)在2a上遞減，在2a上遞增；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在上遞增，在

上遞減.

6、已知命題p1：函數(shù)y=2x-2-x在R上為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2-x在R上為減函數(shù)，則在命題q1：

p1Vp2,q2：plAp2；q3：(-'pl)Vp2；q4：p1VC-1p2)；其中為真命題的是()

A.q1和q3

B.q2和q3

C.q1和q4

D.q2和q4

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】Vy=2x-2-x,/.y,=ln2(2x+2-x)>0恒成立,

Ay=2x-2-x在R上為增函數(shù)，即題p1為真命題

'.'y=2x+2-x,

Ay,=ln2(2x-2-x),

由y，>0可得x>0,即y=2x+2-x在(0,+oo)上單調(diào)遞增，在(-8,0)上單調(diào)遞減

???p2：函數(shù)尸2x+2-x在R上為減函數(shù)為假命題

根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系可知，q1：p1Vp2為真命題

q2：plAp2為假命題

q3:(-p1)Vp2為假命題

q4：p1V(-'p2)為真命題

故選C【考點(diǎn)精析】本題主要考查了復(fù)合命題的真假的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握“或”、“且”、“非”

的真值判斷：“非p”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)為真,

其他情況時(shí)為假；“P或q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為假時(shí)為假，其他情況時(shí)為真才能正確解答此題.

7、已知命題p：VxGR,x>2,那么命題-'p為()

A.VxER,x<2

B.3xER,xW2

0.VxER,xW2

D.3xER,x<2

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以：命題p：Vx￡R,x>2,那么命題［P為：mx￡R,xW2.故

選：B.

■,2

2_V__1

8、雙曲線'一手"的漸近線方程為()

A.y=土技

Bx=土標(biāo)

0.y=3x

D.%=Fy

【考點(diǎn)】

【答案】A

3/一J

【解析】解：..?雙曲線。2X=i的漸近線方程為：y=±ax,二雙曲線為'3一?的漸近線方程為：

顯叵

y=±1x=±J3x,

故選A.

二、填空題(共4題，共20分)

X=4cos0

9、曲線0=2/sin?(0為參數(shù))上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0)距離之和為.

【考點(diǎn)】

【答案】8

X—4cos6x2y2

【解析】解：曲線y=2超出e表示的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為花+12=1,

可知點(diǎn)A(-2,0)、B(2,0)

橢圓的焦點(diǎn)，故|PA|+|PB|=2a=8.

所以答案是：8.

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)罵，鳥(niǎo)的距

離之和等于常數(shù)(大于Ml)的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的

焦距，以及對(duì)橢圓的參數(shù)方程的理解，了解橢圓爐紂(a>b>0)的參數(shù)方程可表示為

j=0sm^).

x2y2x2y2

10、已知雙曲線-ay-—72=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,則橢圓-aT?+7/7=1的離心率

【考點(diǎn)】

0

【答案】2

22

XV力11

【解析】解：：雙曲線-a2--b22=l(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,「.a-=-2,即b互-a

...在橢盛+/1中,0乒菽玄

C

二?e二。二.

所以答案是：.

11、已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-廓，0),F2(,0),P是此雙曲線上的一點(diǎn)，且PF1.PF2R,II-

||=2,則該雙曲線的方程是.

【考點(diǎn)】

X2

【答案】豆-y2=1

【解析】解：由于三角形PF1F2為直角三角形，故PFT+PF?=4C2=40所以(PF1-PF2)2+2PF1-PF2=40,

由雙曲線定義得(2a)2+4=40,即a2=9,故b2=1,

所以雙曲線方程為-y2=1.

所以答案是：-y2=1.

12、設(shè)平面a的一個(gè)法向量為“1=(1,2,-2),平面。的一個(gè)法向量為“2=(-2,-4,。，若?！?,

則k=.

【考點(diǎn)】

【答案】4

【解析】解：a〃B,.J"的，.?.存在實(shí)數(shù)人使得nl=An2.

1=-2A

[2=-44

-2=M,解得k=4.

所以答案是：4.

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面的法向量的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握若

向量]所在直線垂直于平面則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作如果，那么向量叫做平面的法向量.

三、解答題(共5題，共25分)

13、設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為Q,過(guò)Q點(diǎn)的直線I交拋物線于A,B兩

點(diǎn).

T—?

(1)若直線I的斜率為至，求證：FAFB=O.

(2)設(shè)直線FA,FB的斜率分別為k1,k2,求k1+k2的值.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)證明：由題意可得=冬*+”,

V=￥(x+7)p2

聯(lián)立y2=2Px,得「3px+了=0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

p2

Xi+%2=3p,X/2=T.

一pTp

則”=(%1-予力)/8=(%2-陰2)

——PP3p3o

.PA-FB=(%1-2)(^2-2)+y,2=2X1X2-4(%1+%2)+請(qǐng)=0

(2)解：設(shè)直線"與拋物線聯(lián)立得y2-2pky+p2=0.

2

.y1+y2=2p,y1y2=P.

>>Vl)'2…J2：；A

12「「

nl■+_x_￡+x_P_kyp+ky2-p~(fcyi-p)(fcy2-P)"(kyP)Gy2-P)?0

則222

【解析】(1)由點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線I的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于X的一元二次方程，利用根與系

數(shù)關(guān)系求出A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫(xiě)出向量F4FB的坐標(biāo)，展開(kāi)數(shù)量積后代入根與系數(shù)關(guān)系得答

案；(2)設(shè)直線I的方程為，和拋物線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由兩

點(diǎn)式求出斜率后作和化簡(jiǎn)，代入根與系數(shù)關(guān)系即可得到答案.

14、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,兩焦點(diǎn)F1,F2的坐標(biāo)分別為(3,0)和(-3,0)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)若P為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，求三角形F1PF2的面積.

【考點(diǎn)】

【答案】

x2y2

(1)解：設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為b2,

2Q=10

由題意可得｛c=3

所以"5,b=4

x2y2

因此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為方“訪=1

1

XFFxb

(2)解：設(shè)P(0,4)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，SF1PF2=212^2.

所以

【解析】(1)設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得；(2)設(shè)P(0,4)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，SF1PF2-12.

產(chǎn)=cos(p

15、己知圓C1的參數(shù)方程為=sin。(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極

n

坐標(biāo)系，圓C2的極坐標(biāo)方程為p=2低cos(0-4).(I)將圓C1的參數(shù)方程他為普通方程，將圓C2

的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

(II)圓C1,C2是否相交，若相交，請(qǐng)求出公共弦的長(zhǎng)；若不相交，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

x=co$[

(>=向4,消去參數(shù)?？傻茫簒2+y2=1.

由圓C2的極坐標(biāo)方程p=2&cos(6-

P,

：.x2+y2=2x+2y.即(x-1)2+(y-1)2=2.

(II)由x2+y2=1,x2+y2=2x+2y.可得兩圓的相交弦所在的直線方程為2x+2y=1.

P+0TI在

圓心(0,0)到此直線的距離d二6+2,=7-

??.弦長(zhǎng)IABJU孚

產(chǎn)=COStf)

【解析】(I)利用sin2(p+cos2。=1即可把圓C1的參數(shù)方程1y=sin0,化為直角坐標(biāo)方程.(||)由

x2+y2=1,x2+y2=2x+2y.可得兩圓的相交弦所在的直線方程為2x+2y=1.利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心

(0,0)到此直線的距離d,即可得出弦長(zhǎng)|AB|二2尸.

r+b=l(a>b>0)

16、已知直線I與橢圓卜交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),橢圓上的點(diǎn)到

__—>

下焦點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為2+展，2—押，向量(ax1,by1),n=(ax2,by2),且J_,

0為坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求橢圓的方程；

(ID判斷^AOB的面積是否為定值，如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】

a+c=2+fa=22

“oRL一行—4-x2=1

【答案】解：(I)由題意可知1a-c=2-W,...[c=W,.?.b2=a2-c2=1橢圓的方程為4；

(II)AAOB的面積為定值面

—

?.?加_L”，，a2x1x2+b2yly2=0,.-.4x1x2+y1y2=0

始戶

①若直線I斜率不存在，設(shè)直線I的方Ir2-4-4+P+r2=0

.'.2r2=4+k2,.」2》2

.'.△=16(k2-r2+4)>0

1lxH

設(shè)原點(diǎn)0到直線I的距離為d,則SZ\AOB=2，|AB|=2a+1X

______2P_

+與)'-4%上=后｝1

綜上可知，AAOB的面積為定值1.

【解析】(I)利用橢圓上的點(diǎn)到下焦點(diǎn)距離的最大值、最小值分別為2+、瓦2一圓，確定橢圓的幾何量,

即可求得橢圓的方程；(ID先利用向量知識(shí)，可得4x1x2+y1y2=0,再分類討論，求出面積，即可求得結(jié)

論.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：

W+%=l(a>3>0)^-=-+^-r=l(a>b>0)

a3討'