河北省滄州市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省滄州市部分示范性高中2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，圖中陰影部分表示的集合是,．故選：B．2.若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗由題得，，，其對應(yīng)的點位于第四象限.故選：D．3.公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.4 B.6 C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗設(shè)公差為，，，∴，．故選：C．4.自“”橫空出世，全球科技企業(yè)掀起一場研發(fā)大模型的熱潮，隨著算力等硬件底座逐步搭建完善，大規(guī)模應(yīng)用成為可能，尤其在圖文創(chuàng)意、虛擬數(shù)字人以及工業(yè)軟件領(lǐng)域已出現(xiàn)較為成熟的落地應(yīng)用．函數(shù)和函數(shù)是研究人工智能被廣泛使用的2種用作神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，函數(shù)的〖解析〗式為，經(jīng)過某次測試得知，則當把變量減半時，（）A. B.3 C.1 D.或3〖答案〗A〖解析〗，，，（舍）．，．故選：A5.已知拋物線的焦點為，斜率為的直線經(jīng)過點與拋物線交于兩點，為坐標原點，若的面積為，則（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線的方程為，設(shè)的坐標分別為聯(lián)立直線與拋物線的方程，得，消去，得.則，.故選：C.6.對稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力.如圖，在等邊中，，以三條邊為直徑向外作三個半圓，是三個半圓弧上的一動點，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗如圖所示，過點作，交直線于點，則，可得.設(shè)，，則，因為，所以，由圖可知，當與半圓相切時，最大，又由，，可得，所以，即最大為，所以的最大值為.故選：B.7.《幾何補編》是清代梅文鼎撰算書，其中卷一就給出了正四面體，正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體這五種正多面體的體積求法.若正四面體的棱長為，為棱上的動點，則當三棱錐的外接球的體積最小時，三棱錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，在正四面體中，假設(shè)底面，則點為外心.在上取一點，滿足，則，則為三棱錐的外接球球心，當取得最小值時，最小，三棱錐的外接球體積最小，此時點與點重合.作，垂足為，，為三棱錐的高.由正四面體的棱長為，知，，，.設(shè)，則，故，.由，得，解得.，.故選：A.8.已知函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，定義域為.所以.當時，，即在單調(diào)遞增，當時，，即在單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值為.所以函數(shù)的值域為.令，則，要使函數(shù)的值域為，則，解得或，綜上，.故選：D.二、選擇題9.某社區(qū)有甲、乙兩隊社區(qū)服務(wù)小組，其中甲隊有3位男士、2位女士，乙隊有2位男士、3位女士．現(xiàn)從甲隊中隨機抽取一人派往乙隊，分別以事件和表示從甲隊中隨機抽取一人抽到的是男士和女士；以事件B表示從乙隊（甲隊已經(jīng)抽取一人派往乙隊）中隨機抽取一人抽到的是男士，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，依題意，事件，事件不能同時發(fā)生，，故A正確；對于B，，，，故B正確；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：ABC．10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.對任意實數(shù)，都有，則B.若，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則C.若，函數(shù)在上的最大值為，最小值為，則的最小值為D.若，函數(shù)在上有最小值，則實數(shù)的取值可以為〖答案〗ACD〖解析〗選項A，易知為最大值或最小值，則是的一條對稱軸的方程.，，，，，正確；選項B，令，解得.在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則是的一個子區(qū)間.當時，，則，錯誤；選項C，當時，.令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上的最大值為，最小值為.要使最小，則的最大值或最小值點是區(qū)間的中點.根據(jù)的圖象特點，由周期性不妨取或，解得或.當時，，，；當時，，，，正確；選項D，，，根據(jù)正弦函數(shù)圖象知，在上有最小值，則，解得，正確.故選：ACD.11.已知橢圓的上頂點、左頂點為為橢圓上異于點的兩個不同點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若直線的斜率之和為，則直線恒過定點B.若直線的斜率之積為，則直線恒過定點C.若直線的斜率之和為，則直線恒過定點D.若直線的斜率之積為.則直線恒過定點〖答案〗ABC〖解析〗A選項，易知，，設(shè)，.依題意，設(shè)直線的方程為.，，，.聯(lián)立得.，.，，.代入整理，得.，，.直線恒過定點，A正確；B選項，，代入整理，得，解得或（舍去）.直線恒過定點，B正確；C選項，，代入整理，得，或，恒過定點或，由于，故舍去，C正確；D選項，.代入整理，得，解得或，恒過定點或.由于，故舍去，直線恒過定點，D錯誤.故選：ABC.三、填空題12.已知的二項展開式中常數(shù)項為60，則______.〖答案〗〖解析〗展開式的通項為，令，得，則的常數(shù)項為，當常數(shù)項為60時，.故〖答案〗為：.13.光從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質(zhì)2相對介質(zhì)1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為______.〖答案〗〖解析〗如圖，入射角，設(shè)折射角為，，，則，，所以，則，，所以，且.該光線再次返回空氣中時，其所在直線的傾斜角為，則其所在直線的斜率為，直線的方程為，整理得.故〖答案〗為：14.若不等式，對于恒成立，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗令函數(shù)，則，由，解得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值為，由不等式，可得，所以，令，則，當時，；當時，，所以上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，即，所以的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知數(shù)列滿足，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.（1）解：，，，，兩式相除，得，當，時，，，即；當，時，，，即，綜上所述，數(shù)列的通項公式為；（2）證明：，，又，.16.雙十一網(wǎng)購狂歡節(jié)源于淘寶商城（天貓）2009年11月11日舉辦的促銷活動，當時參與的商家數(shù)量和促銷力度均有限，但營業(yè)額遠超預(yù)想的效果，于是11月11日成為天貓舉辦大規(guī)模促銷活動的固定日期.某工廠現(xiàn)有工人50人，將他們的年產(chǎn)量進行統(tǒng)計，將所得數(shù)據(jù)按照，，，分成4組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值及年產(chǎn)量的第75百分位數(shù)；（2）假設(shè)年產(chǎn)量在中的工人中有名女性，從該區(qū)間的人中隨機抽取10人進行獎勵，其中女性恰有人，記，則當為何值時，取得最大值.解：（1）由題意得，設(shè)產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為，前兩組頻率之和為0.6，前三組頻率之和為0.9，則，，解得，年產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為180；（2）產(chǎn)量在中的工人有（人），，，若，則，解得，若，則，故當時，；當時，，故當時，取得最大值.17.如圖，在直三棱柱中，，，分別為，的中點.（1）證明：平面平面；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：在直三棱柱中，，則直線兩兩垂直，以點為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然，點平面，所以平面平面.（2）解：假設(shè)線段上存在點滿足條件，，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，化簡得，而，解得，所以存在點符合題意，此時.18.已知雙曲線左焦點為，經(jīng)過點的直線交雙曲線于點，，當直線軸時，.（1）求雙曲線的標準方程；（2）已知點，直線與雙曲線交于兩點，且的面積為，證明：點在雙曲線上.（1）解：依題意，雙曲線過點，代入雙曲線〖解析〗式，得，解得，所以雙曲線的標準方程為；（2）證明：直線與雙曲線方程聯(lián)立得消去并整理可得，所以，則，設(shè)，，則，，所以，點到直線的距離為，所以的面積為，令，則，，，，則，所以，則點在雙曲線上.19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若有兩個極值點，證明：.（1）解：當時，函數(shù)，可得，所以，，所以切線方程為，當時，；當時，