分類討論(學(xué)生)-吳-A3

源于名校，成就所托PAGEPAGE6創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展分類討論【知識(shí)精要】一、知識(shí)要點(diǎn)概述1.分類討論的思想方法的原理及作用：在研究與解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果問(wèn)題不能以統(tǒng)一的同一種方法處理或同一種形式表述、概括，可根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同和不同點(diǎn)，按照一定的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，在比較的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)對(duì)象劃分為若干既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，然后逐類進(jìn)行討論，再把這幾類的結(jié)論匯總，從而得出問(wèn)題的答案，這種研究解決問(wèn)題的思想方法就是分類討論的思想方法.分類討論的思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本方法之一，在近幾年的高考試題中都把分類討論思想方法列為重要的思想方法來(lái)考查，體現(xiàn)出其重要的位置.分類討論的思想方法不僅具有明顯的邏輯性、題型覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多、綜合性強(qiáng)等特點(diǎn)，而且還有利于對(duì)學(xué)生知識(shí)面的考查、需要學(xué)生有一定的分析能力、一定分類技巧，對(duì)學(xué)生能力的考查有著重要的作用.分類討論的思想的實(shí)質(zhì)就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各種限制條件的制約及變動(dòng)因素的影響而采取的化整為零、各個(gè)突破的解題手段.2.分類討論的常見(jiàn)類型：（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．（2）由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．（3）由數(shù)學(xué)運(yùn)算引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等．（4）由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等．（5）由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法．二、解題方法指導(dǎo)1.分類討論的思想方法的步驟：(1)確定標(biāo)準(zhǔn)；(2)合理分類；(3)逐類討論；(4)歸納總結(jié).2.簡(jiǎn)化分類討論的策略：(1)消去參數(shù)；(2)整體換元；(3)變更主元；(4)考慮反面；(5)整體變形；(6)數(shù)形結(jié)合；(7)縮小范圍等.3.進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”4.解題時(shí)把好“四關(guān)”(1)要深刻理解基本知識(shí)與基本原理，把好“基礎(chǔ)關(guān)”；(2)要找準(zhǔn)劃分標(biāo)準(zhǔn)，把好“分類關(guān)”；(3)要保證條理分明，層次清晰，把好“邏輯關(guān)”；(4)要注意對(duì)照題中的限制條件或隱含信息，合理取舍，把好“檢驗(yàn)關(guān)”.【精解名題】分類討論的幾種常見(jiàn)類型存在關(guān)鍵型參變量例1設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2x＋2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。例2解關(guān)于x的不等式：eq\f(a(x-1),x-2)＞1（a≠1）例3已知函數(shù)，實(shí)數(shù)為何值時(shí)，集合為一元集、二元集、三元集、四元集根據(jù)數(shù)學(xué)概念的要求分類討論例3設(shè)0<x<1，a>0且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1＋x)|的大小

例4試討論關(guān)于x、y的方程（m-3）x2＋（5-m）y2=1所表示的曲線.

3.根據(jù)運(yùn)算的要求或性質(zhì)、定理、公式的條件分類討論例5設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和（n=1,2,3,…）.（1）求q的取值范圍；（2）設(shè),記{}的前n項(xiàng)和為，試比較與的大小.4.題中含有位置與形狀不確定的圖形例6如圖，已知一條線段AB，它的兩個(gè)端點(diǎn)分別在直二面角P-l-Q的兩個(gè)平面內(nèi)移動(dòng),若AB和平面P、Q所成的角分別為、，試討論+的范圍.例7已知A（－2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為和，且滿足·=t(t≠0且t≠－1).（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）當(dāng)t＜0時(shí)，曲線C的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得∠F1QF2=120°，求t的取值范圍.二、應(yīng)用（一）集合問(wèn)題的分類討論1.已知集合Ａ和集合Ｂ各含有１２個(gè)元素，Ａ∩Ｂ含有４個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合Ｃ的個(gè)數(shù)：

（Ⅰ）ＣＡ∪Ｂ，且Ｃ中含有３個(gè)元素；（Ⅱ）Ｃ∩Ａ≠φ（φ表示空集）.

2.（1）解關(guān)于x的不等式（2）記A為（1）中不等式的解集，集合，若A∩B恰有3個(gè)元素，求a的取值范圍.（二）不等式的分類討論3.解不等式>0(a為常數(shù)，a≠－)4.解關(guān)于x的不等式eq\r(3logeq\s(,a)x-2)＜2logeq\s(,a)x-1(a＞0,a≠1)（三）函數(shù)中的分類討論5.設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+8x+3a＜0。對(duì)于給定的負(fù)數(shù)a，有一個(gè)最大的正數(shù)l(a)，使得在整個(gè)區(qū)間[0，l(a)]上，不等式|f(x)|≤5恒成立.問(wèn)：a為何值時(shí)，l(a)最大？求出這個(gè)最大的l(a)，證明你的結(jié)論.6.已知函數(shù).（1）將的圖象向右平移兩個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)的解析式；（3）設(shè)的取值范圍.（四）數(shù)列中的分類討論7.已知等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*)，（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列｛bn｝滿足Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，試比較3-16Tn與4(n+1)bn+1的大小，并證明你的結(jié)論.8.已知以為首項(xiàng)的數(shù)列滿足：（1）當(dāng)=1，c=1，d=3時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)時(shí)，試用表示數(shù)列前100項(xiàng)和（五）立體幾何中的分類討論9.有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a、4a、5a（a>0）.用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是

.

10.線段ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ，且ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＣ⊥ＣＤ，若異面直線ＡＢ與ＣＤ所成的角為６０°，則異面直線ＡＤ與ＢＣ所成的角是

.

（六）解析幾何中的分類討論11.已知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為Ｆ，Ａ是拋物線上橫坐標(biāo)為４，且位于x軸上方的點(diǎn)，Ａ到拋物線準(zhǔn)線的距離等于５，過(guò)Ａ作ＡＢ垂直于y軸，垂足為Ｂ，ＯＢ的中點(diǎn)為Ｍ.

（１）求拋物線的方程；（２）過(guò)Ｍ作ＭＮ⊥ＦＡ，垂足為Ｎ，求點(diǎn)Ｎ的坐標(biāo)；

（３）以Ｍ為圓心，ＭＢ為半徑作圓Ｍ，當(dāng)Ｋ（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線ＡＫ與圓Ｍ的位置關(guān)系.

（七）排列組合及概率中的分類討論12.在１１名學(xué)生中，有５名只擅長(zhǎng)長(zhǎng)跑，有４名只擅長(zhǎng)短跑，有２名既擅長(zhǎng)長(zhǎng)跑又擅長(zhǎng)短跑.要選派４名參加長(zhǎng)跑比賽，４名參加短跑比賽，有幾種選派方法？

13.甲、乙兩人各射擊一次，擊中的概率分別是和.假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒(méi)有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒(méi)有影響.

（Ⅰ）求甲射擊４次，至少有一次未擊中目標(biāo)的概率；

（Ⅱ）求兩人各射擊４次，甲恰好擊中目標(biāo)２次且乙恰好擊中目標(biāo)３次的概率；

（Ⅲ）假設(shè)某人連續(xù)兩次未擊中目標(biāo)，則中止其射擊.問(wèn)：乙恰好射擊５次后，被中止射擊的概率是多少？

（八）復(fù)數(shù)和向量中的分類討論14.設(shè)a≥0,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z＋2|z|＝a15.直角坐標(biāo)系中，分別是與軸正方向同向的單位向量．在直角三角形中，若，則的可能值個(gè)數(shù)是（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4【鞏固練習(xí)】（一）選擇題1.集合，那么a的范圍是（）.

Ａ.0≤a≤1

Ｂ.a≤1

Ｃ.a<1

Ｄ.0<a<12.若a>0且a≠1，p=loga（a3+a+1），q=

loga（a2+a+1），則p、q的大小關(guān)系是（

）.

Ａ.p=q

Ｂ.p<q

Ｃ.p>qＤ.當(dāng)a>1時(shí)，p>q；當(dāng)0<a<1時(shí)，p<q.

3.若為（）.

Ａ.1或-1

Ｂ.０或－１Ｃ.０或1

Ｄ.０或1或-14.正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為2和4的矩形，則它的體積為_(kāi)____。A.B.C.D.或5.過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是（）A.3x－2y＝0B.x＋y－5＝0C.3x－2y＝0或x＋y－5＝0D.不能確定6.設(shè)的值為（）A.1 B.0 C.7 D.0或7.已知圓錐的母線為l，軸截面頂角為，則過(guò)此圓錐的頂點(diǎn)的截面面積的最大值為（）A. B.C. D.以上均不對(duì)8.已知函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，記g（x）＝f（x）［f（x）＋２f（２）－１］.若y=g（x）在區(qū)間，上是增函數(shù)，則數(shù)a的取值范圍是（

）.

9.設(shè)則不等式f（x）>2的解集為（）.

Ａ.（１，２）∪（３，＋∞）Ｂ.（，＋∞）

Ｃ.（１，２）∪（＋∞）Ｄ.（１，２）10.若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.11.以平行六面體ABCD—A′B′C′D′的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面的概率p為 （） A． B． C． D．12.設(shè)集合。選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有()A．B．C．D．13.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.314.記二項(xiàng)式（1+2x）n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為an，其二項(xiàng)式系數(shù)和為bn，則等于（） A．1 B．－1 C．0 D15.已知點(diǎn)P在定圓O的圓內(nèi)或圓周上，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與定圓O相切，則動(dòng)圓C的圓心軌跡是（）A．圓或橢圓或雙曲線 B．兩條射線或圓或拋物線C．兩條射線或圓或橢圓 D．橢圓或雙曲線和拋物線16.從６人中選４人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市游覽，要求每個(gè)城市有一人游覽，每人只游覽一個(gè)城市，且這６人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）.

Ａ.３００種

Ｂ.２４０種Ｃ.１４４種

Ｄ.９６種17.已知函數(shù)且，則等于 （）A．0 B．100 C．-100 D．10200（二）填空題18.若，則a的取值范圍為_(kāi)_______________.19．（2005湖北卷）的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為.20.若圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為4和2的矩形，則圓柱的體積是______________。21.若，則a的取值范圍為_(kāi)_______________。22.．設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．P為橢圓上一點(diǎn)．已知P，是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，則的值為23.將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b、c,則方程x2+bx+c=0有實(shí)根的概率為_(kāi)_______.24.定義符號(hào)函數(shù)，則不等式：的解集是.25．已知正的邊長(zhǎng)為，則到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都為1的平面有_________個(gè).26．從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球，共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，共有種取法；另一類是取出的個(gè)球有個(gè)白球和個(gè)黑球，共有種取法。顯然，即有等式：成立.試根據(jù)上述思想化簡(jiǎn)下列式子：.27．直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，它在軸上的截距等于它在軸上截距的2倍，求直線的方程。某學(xué)生作出了以下解答：設(shè)直線的方程為，則（1），∵點(diǎn)在直線上，∴（2），解由（1）、（2）組成的方程組，得，∴直線的方程為.判斷上述解法是否正確，如不正確，給出你的答案.28.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋沂且?為周期的周期函數(shù)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，那么的值為。三．解答題

29.已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（x）＝x2+2x.

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的解析式；

（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-x-1；

（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在［－１，１］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.