2025屆天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

2025屆天津開發(fā)區(qū)第一中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則可能取值是().A． B． C． D．2．已知函數(shù)（，）的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，將函數(shù)的圖象向右平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若，的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，則的一個(gè)可能值是（）A． B． C． D．3．如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為502m，∠ACB=45°，∠CAB=105A．100m B．50C．1002m4．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則5．在等比數(shù)列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，則a4?a7的值為（）A．6 B．1 C．﹣1 D．﹣66．如圖所示，某汽車品牌的標(biāo)志可看作由兩個(gè)同心圓構(gòu)成，其中大、小圓的半徑之比為，小圓內(nèi)部被兩條互相垂直的直徑分割成四塊.在整個(gè)圖形中任選一點(diǎn)，則該點(diǎn)選自白色部分的概率為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），點(diǎn)P（x，y）在△ABC的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則y﹣x的最小值是（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．38．化簡(jiǎn)sin2013o的結(jié)果是A．sin33o B．cos33o C．-sin33o D．-cos33o9．的值等于（）A． B． C． D．10．高一數(shù)學(xué)興趣小組共有5人，編號(hào)為.若從中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則選出的參賽選手的編號(hào)相連的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．實(shí)數(shù)2和8的等比中項(xiàng)是__________．12．將正整數(shù)按下圖方式排列，2019出現(xiàn)在第行第列，則______；12345678910111213141516………13．設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和_______________.14．函數(shù)的值域是________15．在數(shù)列{}中，，則____.16．方程的解集是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：（）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和，并比較與的大小.18．如圖,在△ABC中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以點(diǎn)A為圓心,r=2為半徑作一個(gè)圓,設(shè)PQ為圓A的一條直徑.(1)請(qǐng)用表示,用表示;(2)記∠BAP=θ,求的最大值.19．已知向量.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的值域.20．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在直線上，其中.（1）令，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)；（3）設(shè)、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)和是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，試求出，若不存在，則說明理由.21．已知函數(shù)，且.（1）求的值；（2）若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，可以得到一個(gè)等式，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出正確答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以有，當(dāng)時(shí)，，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對(duì)稱性，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】由函數(shù)的圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得函數(shù)的最小正周期為，則，所以函數(shù)，的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，以為的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以或，所以或，因?yàn)椋越Y(jié)合選項(xiàng)可知得一個(gè)可能的值為，故選D.3、A【解析】

計(jì)算出ΔABC三個(gè)角的值，然后利用正弦定理可計(jì)算出AB的值.【詳解】在ΔABC中，AC=502m，∠ACB=45°，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形對(duì)三角形已知元素類型的要求，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用不等式的性質(zhì)或舉反例的方法來判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，則，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，，則，均滿足，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則滿足，但，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)可知該選項(xiàng)正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用不等式的性質(zhì)以及舉反例的方法來進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

由題意利用韋達(dá)定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，求得a4?a7的值．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，若a2，a9是方程x2﹣2x﹣6＝0的兩根，∴a2?a9＝﹣6，則a4?a7＝a2?a9＝﹣6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，求出白色部分面積和大圓面積，由幾何概型概率公式可得．【詳解】設(shè)大圓半徑為，小圓半徑為，則整個(gè)圖形的面積為，白色部分的面積為，所以所求概率.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型，考查面積型的幾何概型，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)求解．【詳解】根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)，的最小值一定在的三頂點(diǎn)中的某一個(gè)處取得，分別代入的坐標(biāo)可得的最小值是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】試題分析：sin2013o=．考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式．點(diǎn)評(píng)：直接考查誘導(dǎo)公式，我們要熟記公式．屬于基礎(chǔ)題型．9、C【解析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，得到答案.【詳解】.故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】

先考慮從個(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件總數(shù)，再分析選出的參賽選手的編號(hào)相連的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺膫€(gè)人中選取個(gè)人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的基本事件有：，共種，又因?yàn)檫x出的參賽選手的編號(hào)相連的事件有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，難度較易.求解古典概型問題的常規(guī)思路：先計(jì)算出基本事件的總數(shù)，然后計(jì)算出目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)，目標(biāo)事件的個(gè)數(shù)比上基本事件的總數(shù)即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的概率.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】所求的等比中項(xiàng)為：.12、128【解析】

觀察數(shù)陣可知：前行一共有個(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，且第行有個(gè)數(shù)，由此可推斷出所在的位置.【詳解】因?yàn)榍靶幸还灿袀€(gè)數(shù)，且第行的最后一個(gè)數(shù)為，又因?yàn)?，所以在第行，且?5行最后數(shù)為，又因?yàn)榈谛杏袀€(gè)數(shù)，，所以在第列，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用，著重考查推理能力，難度一般.分析數(shù)列在數(shù)陣中的應(yīng)用問題，可從以下點(diǎn)分析問題：觀察每一行數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)與行號(hào)關(guān)系，同時(shí)注意每一行開始的數(shù)據(jù)或結(jié)尾數(shù)據(jù)，所有行數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)，注意等差數(shù)列的求和公式的運(yùn)用.13、【解析】令14、【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的定義域求解即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的最小值為：，最大值為：．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，．故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．15、1【解析】

直接利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【詳解】解：在等比數(shù)列中，由，公比，得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．16、或【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】，如圖所示：則故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查由三角函數(shù)值求解對(duì)應(yīng)自變量取值范圍，結(jié)合圖形求解能夠避免錯(cuò)解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）見解析【解析】

(1)將原式變形為，進(jìn)而得到結(jié)果；（2）根據(jù)第一問得到，錯(cuò)位相減得到結(jié)果.【詳解】（1）由條件得，易知，兩邊同除以得，又，故數(shù)列是等比數(shù)列，其公比為.（2）由（1）知，則……①……②兩式相減得即.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等．18、（1）；（2）22.【解析】

利用向量的三角形法則即可求得答案由，，可得，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的表達(dá)式，利用三角函數(shù)知識(shí)可求最值【詳解】(1)=-.(2)∵∠BAC=60°,設(shè)∠BAP=θ,∴∠CAP=60°+θ,∵AB=8,AC=3,AP=2,∴=()·(-)=8-6cos(θ+60°)+16cosθ=3sinθ+13cosθ+8=14sin(θ+φ)+8,.∴當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí),的最大值為22.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)與平面向量的綜合，而輔助角公式是解決三角函數(shù)的最值的常用方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在解題中的應(yīng)用．19、(1)-7，(2)【解析】試題分析：(1)由向量共線得到等量關(guān)系，求出角的正切值，再利用兩角差正切公式求解：(2)先根據(jù)向量數(shù)量積，利用二倍角公式及配角公式得到三角函數(shù)關(guān)系式，再?gòu)慕浅霭l(fā)研究基本三角函數(shù)范圍：試題解析：(1),3分6分(2)8分11分，的值域?yàn)?4分考點(diǎn)：向量平行坐標(biāo)表示，三角函數(shù)性質(zhì)20、（1）證明過程見詳解；（2）；（3）存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.【解析】

（1）先由題意得到，再由，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）先由（1）求得，推出，利用累加法，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)；（3）把數(shù)列an}、{bn}通項(xiàng)公式代入an+2bn，進(jìn)而得到Sn+2T的表達(dá)式代入Tn，進(jìn)而推斷當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，因此由得所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；（2）因?yàn)?，由得，故，由?）得，所以，即，所以，，…，，以上各式相加得：所以；（3）存在λ＝2，使數(shù)列是等差數(shù)列．由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，an+2bn＝n﹣2∴又=∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列．【點(diǎn)睛】本題主要考查等