江蘇省南京市玄武區(qū)溧水高中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

江蘇省南京市玄武區(qū)溧水高中2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．向量，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為30°2．若向量，，則點B的坐標為（）A． B． C． D．3．已知向量，則（）A．12 B． C． D．84．已知各個頂點都在同一球面上的正方體的棱長為2，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．5．正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成的角是()A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則()A．3 B．4 C．5 D．67．已知是圓上的三點，（）A． B． C． D．8．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．109．的值等于()A． B． C． D．10．角α的終邊上有一點P（a，|a|），a∈R且a≠0，則sinα值為（）A． B． C．1 D．或二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在軸上有一點，點到點與點的距離相等，則點坐標為____________.12．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.13．已知,，與的夾角為鈍角，則的取值范圍是_____;14．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．15．若，則________.16．如圖所示，梯形中，，于，，分別是，的中點，將四邊形沿折起（不與平面重合），以下結(jié)論①面；②；③．則不論折至何位置都有_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．眉山市位于四川西南，有“千載詩書城，人文第一州”的美譽，這里是大文豪蘇軾、蘇洵、蘇轍的故鄉(xiāng)，也是人們旅游的好地方.在今年的國慶黃金周，為了豐富游客的文化生活，每天在東坡故里三蘇祠舉行“三蘇文化”知識競賽.已知甲、乙兩隊參賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者為本隊贏得一分，答錯得零分.假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響.（1）分別求甲隊總得分為0分；2分的概率；（2）求甲隊得2分乙隊得1分的概率.18．若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“和一點”.（1）函數(shù)是否有“和一點”？請說明理由；（2）若函數(shù)有“和一點”，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：有“和一點”.19．已知圓：和點，，，.(1)若點是圓上任意一點，求；(2)過圓上任意一點與點的直線，交圓于另一點,連接，，求證：.20．在中，角A,B,C，的對應(yīng)邊分別為，且.（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）若的面積為，，D為AC的中點，求BD的長．21．已知圓過點,且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）平面上有兩點，點是圓上的動點，求的最小值；（3）若是軸上的動點，分別切圓于兩點，試問：直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】試題分析：由，可得，所以，故選B．考點：向量的運算．2、B【解析】

根據(jù)向量的坐標運算得到，得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了向量的坐標運算，意在考查學(xué)生的計算能力.3、C【解析】

根據(jù)向量的坐標表示求出，即可得到模長.【詳解】由題，，所以.故選：C【點睛】此題考查向量的數(shù)乘運算和減法運算的坐標表示，并求向量的模長，關(guān)鍵在于熟記公式，準確求解.4、A【解析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【詳解】由題得正方體的對角線長為，所以.故選A【點睛】本題主要考查多面體的外接球問題和球的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解析】

首先根據(jù)得到異面直線與所成的角就是直線與所成角，再根據(jù)即可求出答案.【詳解】由圖知：取的中點，連接.因為，所以異面直線與所成的角就是直線與所成角.因為，所以，.因為，所以，.所以異面直線與所成的角為.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線所成角，平移找角為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.6、C【解析】

由又，可得公差，從而可得結(jié)果.【詳解】是等差數(shù)列又，∴公差，，故選C．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.7、C【解析】

先由等式，得出，并計算出，以及與的夾角為，然后利用平面向量數(shù)量積的定義可計算出的值．【詳解】由于是圓上的三點，，則，，故選C．【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的計算，解題的關(guān)鍵就是要確定向量的模和夾角，考查計算能力，屬于中等題．8、A【解析】

根據(jù)題中的程序語句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出?！驹斀狻坑深}意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【點睛】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語句的含義是解題關(guān)鍵。9、A【解析】=,選A.10、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，求出OP，即可求出的值．【詳解】因為，所以，故選B．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的定義應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設(shè)點的坐標，根據(jù)空間兩點距離公式列方程求解.【詳解】由題：設(shè)，點到點與點的距離相等，所以，，，解得：，所以點的坐標為.故答案為：【點睛】此題考查空間之間坐標系中兩點的距離公式，根據(jù)公式列方程求解點的坐標，關(guān)鍵在于準確辨析正確計算.12、【解析】考點：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運算能力.13、【解析】

與的夾角為鈍角，即數(shù)量積小于0.【詳解】因為與的夾角為鈍角，所以與的數(shù)量積小于0且不平行.且所以【點睛】本題考查兩向量的夾角為鈍角的坐標表示，一定注意數(shù)量積小于0包括平角．14、4【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【詳解】因為,故.又,故.故答案為：4【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運用,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

觀察式子特征，直接寫出，即可求出?！驹斀狻坑^察的式子特征，明確各項關(guān)系，以及首末兩項，即可寫出，所以，相比，增加了后兩項，少了第一項，故。【點睛】本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，正確弄清式子特征是解題關(guān)鍵。16、①②【解析】

根據(jù)題意作出折起后的幾何圖形，再根據(jù)線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識即可判斷各選項的真假．【詳解】作出折起后的幾何圖形，如圖所示：．因為，分別是，的中點，所以是的中位線，所以．而面，所以面，①正確；無論怎樣折起，始終有，所以面，即有，而，所以，②正確；折起后，面，面，且，故與是異面直線，③錯誤．故答案為：①②．【點睛】本題主要考查線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，異面直線的判定定理等知識的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)0分概率；2分概率；(2)【解析】

（1）記“甲隊總得分為0分”為事件，“甲隊總得分為2分”為事件，分析可知A事件三人都沒有答對，按相互獨立事件同時發(fā)生計算概率，B事件即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，由n次獨立事件恰有k次發(fā)生計算即可（2）記“乙隊得1分”為事件，“甲隊得2分乙隊得1分”為事件，分別有互斥事件概率加法公式及相互獨立事件乘法公式計算即可.【詳解】（1）記“甲隊總得分為0分”為事件，“甲隊總得分為2分”為事件，甲隊總得分為0分，即甲隊三人都回答錯誤，其概率；甲隊總得分為2分，即甲隊三人中有1人答錯，其余兩人答對，其概率；（2）記“乙隊得1分”為事件，“甲隊得2分乙隊得1分”為事件；事件即乙隊三人中有2人答錯，其余1人答對，則，甲隊得2分乙隊得1分即事件、同時發(fā)生，則．【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率計算，涉及n次獨立事件中恰有k次發(fā)生的概率公式的應(yīng)用，互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.18、（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【解析】

（1）解方程即可判斷；（2）由題轉(zhuǎn)化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數(shù)a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數(shù)有“和一點”，則不合題意故不存在（2）若函數(shù)f（x）＝2x+a+2x有“和一點”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數(shù)有“和一點”.【點睛】本題考查了新定義及分類討論的思想應(yīng)用，同時考查了三角函數(shù)的化簡與應(yīng)用，轉(zhuǎn)化為有解問題是關(guān)鍵，是中檔題19、(1)2(2)見證明【解析】

（1）設(shè)點的坐標為，得出，利用兩點間的距離公式以及將關(guān)系式代入可求出的值；（2）對直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時，由點、的對稱性證明結(jié)論；②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，通過計算直線和的斜率之和為零來證明結(jié)論成立。【詳解】（1）證明：設(shè)，因為點是圓上任意一點，所以，所以，（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時，因為點、關(guān)于軸對稱，所以.②當(dāng)直線的傾斜角不等于時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.設(shè)、，則，.，，.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系問題，考查兩點間的距離公式、韋達定理在直線與圓的綜合問題的處理，本題的關(guān)鍵在于將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系來處理，另外，利用韋達定理求解直線與圓的綜合問題時，其基本步驟如下：（1）設(shè)直線的方程以及直線與圓的兩交點坐標、；（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理；（3）將問題對象利用代數(shù)式或等式表示，并進行化簡；（4）將韋達定理代入（3）中的代數(shù)式或等式進行化簡計算。20、（I）；(II)【解析】

（I）由正弦定理得，展開結(jié)合兩角和的正弦整理求解；（Ⅱ）由面積得，利用平方求解即可【詳解】（I），由正弦定理得整理得，則，，.(II)，，兩邊平方得【點睛】本題考查正弦定理及兩角和的正弦，三角形內(nèi)角和定理，考查向量的數(shù)量積及模長，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題21、（1）；（2）26；（3）直線恒過定點．證明見解析【解析】

（1）設(shè)圓心，根據(jù)則，求得和圓的半徑，即可得到圓的方程；（2）設(shè)，化簡得，根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求解；（3）設(shè)，圓方程，根據(jù)兩圓相交弦的性質(zhì)，求得相交弦