2024年河南省中考數(shù)學(xué)類比探究模擬真題解析卷

中考23題類比探究1.(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:AD·BC=AP·BP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題.如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠CPD=∠A,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)DC=4BC時(shí),求t的值.2.（2023年河南省南陽(yáng)市西峽縣中考數(shù)學(xué)二模）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：如圖1，先用對(duì)折的方式確定矩形的邊的中點(diǎn)，再沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，把紙片展平，延長(zhǎng)，與交點(diǎn)為．請(qǐng)寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）遷移思考：如圖2，把按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)判斷，這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)的值．3.（2023平頂山二模郟縣）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，連接BE（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是；∠DCE的度數(shù)為°；（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出，并就圖2的情形說明理由；（3）如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E到CD的距離．4.（2023河南封丘）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“特殊四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：操作一：將圖①所示的正方形紙片沿AE折疊（折痕經(jīng)過頂點(diǎn)A）得到圖②；操作二：將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)E，得到圖③，展開得到兩條折痕AE和FG，如圖④；根據(jù)以上操作：AE與FG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）遷移探究：小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將矩形紙片ABCD（圖⑤）按照（1）中的方式操作，得到圖⑥．若AB＝kAD，圖⑥中折痕AE和FG的數(shù)量關(guān)系是，并證明．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，若k＝2，且E為BC的中點(diǎn)，折痕AE和FG相交于P，M是邊AD上一點(diǎn)，，連接MP，過P作MP的垂線與AB相交于點(diǎn)N，如圖⑦，直接寫出NG的長(zhǎng)．5.（2023河南輝縣二模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“四邊形折疊”研究活動(dòng)．問題情景：在平行四邊形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不與A、D重合）連接BE，將△ABE沿BE折疊（1）初步探究：如圖1，若n＝，α＝90°°，的值是；（2）類比探究：如圖2，n＝1，α＝30°°，的值是；（3）拓展應(yīng)用：若n＝1，AB＝2，請(qǐng)直接寫出△DEF為直角三角形時(shí)DF的長(zhǎng)．6.（2023河南信陽(yáng)新縣三模）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)中點(diǎn)知識(shí)時(shí)，遇到如下一個(gè)問題：如圖①，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，BF＝1，連接BE，點(diǎn)C，H分別是BE，連接GH，求GH的長(zhǎng)．小組成員展開討論小佳同學(xué)是這樣思考的：題目中有兩個(gè)中點(diǎn)，我想到用中位線，但是這兩個(gè)中點(diǎn)所在的線段是交叉狀態(tài)，垂足為P，易證四邊形BCPF是矩形，連接EP，則GH是△BEP的中位線根據(jù)以上信息，請(qǐng)回答以下問題：（1）點(diǎn)H是BP中點(diǎn)的依據(jù)是．（2）請(qǐng)根據(jù)小佳同學(xué)的思路寫出具體的證明過程．（3）如圖③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分別是AC，A'C'的中點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），求DD'的長(zhǎng)度．7.（河南周口2023三模）綜合與實(shí)踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊△ABC和它內(nèi)部一點(diǎn)D，把線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，CE，射線AD，則AD與CE數(shù)量關(guān)系是，∠AFC＝°．（2）類比探究：如圖2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥CB交AB于點(diǎn)E，連接CD′，BE′，設(shè)直線CD′，BE′交于點(diǎn)F；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接寫出答案）．8.（2023洛陽(yáng)欒川二模）已知直線m∥n，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①所示），連接PB，請(qǐng)直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．9.（2023洛陽(yáng)市洛龍區(qū)一模）[問題情境]（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖，在中，，為邊上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，過點(diǎn)作，垂足為．求證：．小明的證明思路是：如圖，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，可以證得：，，則．請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．[變式探究]（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，求證：．[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，若，，求的值．[遷移拓展]圖是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，，，垂足分別為，，且，，，，、分別為，的中點(diǎn)，連接，，請(qǐng)直接寫出與的周長(zhǎng)之和．11.（2023洛陽(yáng)市洛寧縣一模）綜合與實(shí)踐（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)角；（2）【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)．度；若，求線段的長(zhǎng)；（3）【遷移應(yīng)用】如圖，在矩形，點(diǎn)，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)，，恰好在同一直線上，若點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．

12.（2023洛寧三練）綜合與實(shí)踐我們?cè)跊]有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進(jìn)行如下操作也可以得到幾個(gè)相似的含有30°角的直角三角形．實(shí)踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點(diǎn)H．第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線再次折疊，使CD落在對(duì)角線CA上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．（1）在圖②中，______，______；（2）在圖②中，______；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：將上面的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)，若，連接，的長(zhǎng)度為m，則m的取值范圍是______．14.（2023南陽(yáng)內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）綜合與實(shí)踐【問題背景】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師將矩形按如圖①所示方式折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，若為等邊三角形．（1）請(qǐng)解答老師提出的問題：試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【實(shí)踐探究】（2）小明受到此問題啟發(fā)，將紙片按如圖②所示方式折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，若,，①試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)；【問題解決】小亮深入研究小明提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖③，在中，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)為折痕所在直線上一點(diǎn)，若，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．15.（新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣二模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片，將沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形的內(nèi)部，得到折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，連接；將沿過點(diǎn)A的直線折疊，使與重合，得到折痕，將紙片展平，連接．（1）根據(jù)以上操作，易得點(diǎn)E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，①；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．深入探究】操作二：如圖2、將沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在正方形的內(nèi)部，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，將紙片展平，連接、．同學(xué)們?cè)谡奂埖倪^程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同，當(dāng)點(diǎn)E在邊上某一位置時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)N恰好落在折痕上，此時(shí)交于點(diǎn)P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個(gè)結(jié)論：①；②．請(qǐng)任意選擇其中一個(gè)結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】若正方形紙片的邊長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)N落在折痕或上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．16（.2023新鄉(xiāng)原陽(yáng)一模）已知點(diǎn)C為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請(qǐng)完成如下問題：（1）如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：（2）如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)．17.（信陽(yáng)市浉河區(qū)）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們拿出大小兩副三角板，按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．問題探究：將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，試判斷與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在圖2中，連接，請(qǐng)求出長(zhǎng)度；（3）如圖3，G為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線的距離的最大值是______．18.（2023鄭州金水區(qū)三模）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，（1）如圖1，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為______；（2）在（1）的條件下，①如果正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接、、，線段與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；②正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)．直接寫出線段AF的長(zhǎng)．19.（2023鄭外三模）【問題發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，那么的值是一個(gè)定值．問題：若時(shí)，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動(dòng)腦筋的小明立即拿出另一個(gè)三角板進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，當(dāng)時(shí)，的值都是固定的，小明的猜想對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)利用圖進(jìn)行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．20.（2023周口鹿邑縣三模）小明參加了學(xué)校組織的數(shù)學(xué)興趣小組，在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，他們對(duì)兩塊大小不等的等腰直角三角板擺放不同的位置，做了如下探究：（1）將兩塊三角板的直角頂點(diǎn)重合，如圖1，在和中，，，，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A，B重合），①由題意可得，其依據(jù)是：___________；A．B．C．D．②直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________．（2）將兩塊三角板的銳角頂點(diǎn)重合，如圖2，在和中，，，，點(diǎn)A與線段不在同一直線上，（1）中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)求出新的數(shù)量關(guān)系；（3）將小三角板的銳角頂點(diǎn)與大三角板的直角頂點(diǎn)重合，如圖3，在和中，，，．將繞點(diǎn)C在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，滿足，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．21.（2023周口沈丘縣一模）（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，四邊形為矩形，，，點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上，的兩條直角邊、分別交、于點(diǎn)、，當(dāng)，時(shí)，__________（用含、的代數(shù)式表示）；（2）拓展探究在（1）中，固定點(diǎn)，使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的圖形給出證明；（3）問題解決如圖3，四邊形為正方形，，點(diǎn)在對(duì)角線上，、分別在、上，，當(dāng)時(shí)（是正實(shí)數(shù)），直接寫出四邊形的面積是__________（用含，的代數(shù)式表示）．22.（2023周口項(xiàng)城三模）綜合與實(shí)踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊和它內(nèi)部一點(diǎn)D，把線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，射線交于點(diǎn)F，則與數(shù)量關(guān)系是___________，__________°．（2）類比探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到，連接，，在旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)直線交于點(diǎn)F，探索和的數(shù)量關(guān)系和的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在中，，以為斜邊作等腰直角三角形，若求線段的長(zhǎng)（直接寫出答案）．23.（2023駐馬店市某校二模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)老師以“矩形紙片的折疊”為課題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)：將矩形紙片對(duì)折，使得點(diǎn)A，D重合，點(diǎn)B，C重合，折痕為，展開后沿過點(diǎn)B的直線再次折疊紙片，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，折痕為．（1）如圖（1）若，則當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是________，的度數(shù)為________．思考探究：（2）在的條件下進(jìn)一步進(jìn)行探究，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，如圖（2），設(shè)，分別交于點(diǎn)J，K．若，請(qǐng)求出三角形的面積．開放拓展：如圖（3），在矩形紙片中，，，將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，折痕為，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N，展開后再將四邊形沿所在的直線折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．(溫馨提示：，)中考23題類比探究（答案）1.(1)問題:如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°,求證:AD·BC=AP·BP.(2)探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說明理由.(3)應(yīng)用:請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題.如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠CPD=∠A,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)DC=4BC時(shí),求t的值.解析(1)證明:∵∠DPC=∠A=∠B=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴ADBP∴AD·BC=AP·BP.(2)結(jié)論AD·BC=AP·BP依然成立.理由:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.∵∠DPC=∠A=∠B=θ,∴∠BPC=∠ADP,∴△ADP∽△BPC,∴ADBP∴AD·BC=AP·BP.(3)∵DC=4BC,AD=BD=5,∴DC=4,BC=1,∠A=∠B,∵∠CPD=∠A,∴∠CPD=∠A=∠B,由(1)(2)的經(jīng)驗(yàn)可知AD·BC=AP·BP,∴5×1=t(6-t),解得t1=1,t2=5,∴t的值為1或5.2.（2023年河南省南陽(yáng)市西峽縣中考數(shù)學(xué)二模）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們以“矩形和平行四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：如圖1，先用對(duì)折的方式確定矩形的邊的中點(diǎn)，再沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，把紙片展平，延長(zhǎng)，與交點(diǎn)為．請(qǐng)寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）遷移思考：如圖2，把按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)判斷，這兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并僅就圖2證明你的判斷．（3）拓展探索：如圖1，若，按照（1）中的操作進(jìn)行折疊和作圖，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)的值．（1）連接，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由折疊知，，，在和中，，，，故答案為：；（2），證明如下：連接，四邊形是平行四邊形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，由折疊知，，，，，，，，，；（3）四邊形是矩形，，，，令，則，由（1）知，，解得，即的長(zhǎng)為．3.（2023平頂山二模郟縣）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，連接DB，將線段DB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段DE，連接BE（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是；∠DCE的度數(shù)為°；（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出，并就圖2的情形說明理由；（3）如圖3，當(dāng)α＝120°時(shí)，若AB＝8，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E到CD的距離．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝BC，同理可得：△BDE是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，BD＝BE，∴∠BDE＝∠ABC，∴∠BDA＝∠EBC，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝120°，∴，∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝60°，故答案為：1，60；（2））∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，，同理可得：∠BDE＝40°，，∴∠BDE＝∠ABC，，∴∠BDA＝∠EBC，∴△ABD∽△CBE，∴，∠BCE＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠DCE＝∠BCE﹣∠ACB＝45°；（3）如圖2，作BF⊥CD于F，作EG⊥CD于G，交CE的延長(zhǎng)線于H，在Rt△AEF中，AB＝8，∴AF＝8?cos60°＝5，BF＝8sin60°＝4，在Rt△BDF中，BD＝7，∴DF＝，∴AD＝AF﹣DF＝8，∴CD＝AD+AC＝11，同理（2）可得：，∠BCE＝∠BAD＝60°，∴CE＝AD＝3，在Rt△CDH中，CD＝11，∴DH＝，由S△DCE＝CD?EG＝，11EG＝3，∴EG＝；如圖2，由上知：DF＝8，AF＝4，∴CD＝13，AD＝5AD＝5，∴13EG＝5×，∴EG＝，綜上所述：點(diǎn)E到CD的距離為：或．4.（2023河南封丘）綜合與實(shí)踐：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“特殊四邊形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷：操作一：將圖①所示的正方形紙片沿AE折疊（折痕經(jīng)過頂點(diǎn)A）得到圖②；操作二：將點(diǎn)A折疊到點(diǎn)E，得到圖③，展開得到兩條折痕AE和FG，如圖④；根據(jù)以上操作：AE與FG的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（2）遷移探究：小華將正方形紙片換成矩形紙片，繼續(xù)探究，過程如下：將矩形紙片ABCD（圖⑤）按照（1）中的方式操作，得到圖⑥．若AB＝kAD，圖⑥中折痕AE和FG的數(shù)量關(guān)系是，并證明．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的探究中，若k＝2，且E為BC的中點(diǎn)，折痕AE和FG相交于P，M是邊AD上一點(diǎn)，，連接MP，過P作MP的垂線與AB相交于點(diǎn)N，如圖⑦，直接寫出NG的長(zhǎng)．解：（1）由折疊可知AE⊥FG，過點(diǎn)F作FH⊥CD于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠FHG＝90°，F(xiàn)H＝AD＝AB，∵AE⊥FG，∴∠BAE＝∠GFH，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（AAS），∴AE＝FG；故答案為：AE＝FG，AE⊥FG；（2）AE＝kFG．證明：如圖，過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為H．由題意可知FG⊥AE．∵矩形ABCD，F(xiàn)H⊥AB，∴四邊形AHFD為矩形，∴FH＝AD．∵AB＝kAD，∴AB＝kFH．∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠FGA＝∠FGA+∠EAB＝90°，∴∠HFG＝∠EAB．在△HFG和△BAE中，∠HFG＝∠BAE，∠FHG＝∠ABE，∴△HFG∽△BAE，∴，即AE＝kFG．故答案為：AE＝kFG；（3）∵AB＝2AD，E為BC的中點(diǎn)，∴AB＝4BE．∵FG⊥AE，∴∠APG＝∠B＝90°，又∠PAG＝∠BAE，∴△PGA∽△BEA．∴，∴AP＝4PG．∵PM⊥PN，F(xiàn)G⊥AE，∴∠MPA+∠APN＝∠APN+∠NPG＝90°，∴∠MPA＝∠NPG，∵∠MAP+∠PAG＝∠PAG+∠PGA，∴∠MAP＝∠PGA，∴△PMA∽△PNG．∴，∴MA＝4NG，∴．5.（2023河南輝縣二模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“四邊形折疊”研究活動(dòng)．問題情景：在平行四邊形ABCD中，AB＝nAD，∠DAB＝α（不與A、D重合）連接BE，將△ABE沿BE折疊（1）初步探究：如圖1，若n＝，α＝90°°，的值是；（2）類比探究：如圖2，n＝1，α＝30°°，的值是；（3）拓展應(yīng)用：若n＝1，AB＝2，請(qǐng)直接寫出△DEF為直角三角形時(shí)DF的長(zhǎng)．解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠DAB＝90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AB＝，∴＝，在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°，∴∠ADB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣30°＝60°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝∠BFE＝90°，∴∠DFE＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°，在Rt△DEF中，cos∠DEF＝，∵AE＝EF，∴＝；故答案為：30，；（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥EF于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，∵∠A＝30°，∴∠ADC＝150°，∵BD為菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝75°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠A＝∠F＝30°，∵∠ADB＝∠F+∠DEF，∴∠DEF＝∠ADB﹣∠F＝75°﹣30°＝45°，∴△DEG為等腰直角三角形，∴DG＝EG，DE＝，在Rt△DFG中，∠F＝30°，∴FG＝，∴AE＝EF＝FG+EG＝＝，∴＝＝；故答案為：45，；（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形，①當(dāng)∠DFE＝90°時(shí)，如圖，∴∠BFE＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝BFE＝90°，∴菱形ABCD為正方形，∴BD＝＝，∴DF＝BD﹣FB＝；②當(dāng)∠DEF＝90°時(shí)，如圖，∴∠EDF+∠DFE＝90°，∵∠DAB＝α，AD＝AB，∴∠ADB＝＝，即∠EDF＝，由折疊的性質(zhì)可得，∠BAE＝∠BFE＝α，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣α，∴，解得：α＝120°，∴∠EDF＝＝30°，在Rt△DEF中，∠EDF＝30°，∴DE＝EF＝，DF＝2EF，∴AB＝AE+DE＝＝2，解得：AE＝，∴AE＝EF＝，∴DF＝3EF＝．綜上，當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)或．6.（2023河南信陽(yáng)新縣三模）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在學(xué)習(xí)中點(diǎn)知識(shí)時(shí)，遇到如下一個(gè)問題：如圖①，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，BF＝1，連接BE，點(diǎn)C，H分別是BE，連接GH，求GH的長(zhǎng)．小組成員展開討論小佳同學(xué)是這樣思考的：題目中有兩個(gè)中點(diǎn)，我想到用中位線，但是這兩個(gè)中點(diǎn)所在的線段是交叉狀態(tài)，垂足為P，易證四邊形BCPF是矩形，連接EP，則GH是△BEP的中位線根據(jù)以上信息，請(qǐng)回答以下問題：（1）點(diǎn)H是BP中點(diǎn)的依據(jù)是．（2）請(qǐng)根據(jù)小佳同學(xué)的思路寫出具體的證明過程．（3）如圖③，在Rt△ABC中，，BC＝2，D，D'分別是AC，A'C'的中點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），求DD'的長(zhǎng)度．【解答】解：（1）由題意可知：四邊形BCPF是矩形，∴FC＝BP，∵點(diǎn)H是對(duì)角線FC的中點(diǎn)，∴HF＝HC＝FC，∴HB＝HP＝BP，∴點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)．∴點(diǎn)H是BP中點(diǎn)的依據(jù)是：矩形的對(duì)角線平分且相等，故答案為：矩形的對(duì)角線平分且相等；（2）如圖①，過點(diǎn)F作FP⊥CD，連接BP，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∵FP⊥CD，∴∠FPC＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴四邊形BCPF是矩形，∵點(diǎn)H是對(duì)角線FC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)，∵點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H是BP的中點(diǎn)，∴CH是△BPE的中位線，∴，∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝4，ED＝5，∵四邊形BCPF是矩形，∴PC＝BF＝1，∴DP＝3，在Rt△EDP中，由勾股定理得EP＝＝，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)C'落在△ABC邊上時(shí)，分兩種情況，落在邊AC上，落在邊AB上，在Rt△ABC中，，BC＝2，∴tanC＝＝＝，∴∠C＝60°，∴AC＝2BC＝4，情況7：當(dāng)點(diǎn)C'落在邊AC上時(shí)，如圖②，由旋轉(zhuǎn)可知：BC＝BC′，∵∠C＝60°，∴△BCC'是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)C'恰好與點(diǎn)D重合，且A'C'⊥AB，∵D，D'分別是AC，∴；情況2：方法一：當(dāng)點(diǎn)C'落在邊AB上時(shí)，分別以AC和A'C'為對(duì)角線構(gòu)造矩形，如圖③，連接BE，EF，∴點(diǎn)D和點(diǎn)D'為BE，BF的中點(diǎn)，∴DD'是△BEF的中位線，延長(zhǎng)FC'，交EC于點(diǎn)G，∴∠FGE＝90°，在Rt△EFG中，，由勾股定理可得，EF＝，∴DD′＝EF＝2；方法二：如圖③，∵矩形ABCE和矩形A'BC'F，∴AC＝BE＝BF＝A'C'，∠FBE＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝AC＝2，∴，∴．綜上所述：當(dāng)點(diǎn)G'落在△ABC的邊上時(shí)（不包含頂點(diǎn)），DD'的長(zhǎng)度為2或6．7.（河南周口2023三模）綜合與實(shí)踐：（1）問題情景：如圖1，已知等邊△ABC和它內(nèi)部一點(diǎn)D，把線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，CE，射線AD，則AD與CE數(shù)量關(guān)系是，∠AFC＝°．（2）類比探究：如圖2，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥CB交AB于點(diǎn)E，連接CD′，BE′，設(shè)直線CD′，BE′交于點(diǎn)F；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD，若CD＝2（直接寫出答案）．【解答】解：（1）AD＝CE，60，理由如下：∵等邊△ABC，∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝60°，線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BE，∴∠DBE＝60°，BD＝BE，∴△BDE為等邊三角形，∴DB＝DE＝BE，∠ABD+∠DBC＝60°，∠DBC+∠CBE＝60°，∵∠ABD＝∠CBE，又∵AB＝AC，BD＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCF，∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠FAC+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝180°﹣120°＝60°，故答案為：AD＝CA，60；（2）由題意可知＝＝，∠D′CA＝∠E′AB，∴△D′AC∽△E′AB，∴＝＝＝，∠D′CA＝∠E′AB，∠BFC＝180°﹣（∠ACD′+∠ACB+∠BCF）＝180°﹣（∠CBD′+∠ACB+∠BAD）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣135°＝45°，∴∠BFC＝45°；（3）+1或，分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)D在AB的上方時(shí)，如圖1所示，過點(diǎn)D作DE⊥DC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵等腰Rt△ABD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，AD＝BD，∴∠DAE＝∠DBC＝135°，∠EDA+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDC＝90°，∴∠EDA＝∠BDC，又∵AD＝BD，∴△EDA≌△CDB（ASA），∴AE＝BC＝6，∵CD＝2，∴EC＝5，∴AB＝﹣1，②當(dāng)點(diǎn)D在AB的下方時(shí)，如圖2所示，同理可得，AB＝+7，∴線段的AB長(zhǎng)為+1或．8.（2023洛陽(yáng)欒川二模）已知直線m∥n，點(diǎn)C是直線m上一點(diǎn)，點(diǎn)D是直線n上一點(diǎn)，CD與直線m、n不垂直，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)．（1）操作發(fā)現(xiàn)：直線l⊥m，l⊥n，垂足分別為A、B，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖①所示），連接PB，請(qǐng)直接寫出線段PA與PB的數(shù)量關(guān)系：．（2）猜想證明：在圖①的情況下，把直線l向上平移到如圖②的位置，試問（1）中的PA與PB的關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）延伸探究：在圖②的情況下，把直線l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得∠APB=90°（如圖③所示），若兩平行線m、n之間的距離為2k．求證：PA?PB=k?AB．【詳解】試題分析：（1）根據(jù)三角形CBD是直角三角形，而且點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)，可得PA=PB，據(jù)此解答即可．（2）首先過C作CE⊥n于點(diǎn)E，連接PE，然后分別判斷出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△PAC∽△PBE，即可判斷出PA=PB仍然成立．（3）首先延長(zhǎng)AP交直線n于點(diǎn)F，作AE⊥BD于點(diǎn)E，然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出△AEF∽△BPF，即可判斷出AF?BP=AE?BF，再個(gè)AF=2PA，AE=2k，BF=AB，可得2PA?PB=2k．AB，所以PA?PB=k?AB，據(jù)此解答即可試題解析：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，∴PA=PB．把直線l向上平移到如圖②的位置，PA=PB仍然成立，理由如下：如圖②，過C作CE⊥n于點(diǎn)E，連接PE，，∵三角形CED是直角三角形，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，∴PD=PE，又∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直線m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直線l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l(xiāng)∥CE，∴AC=BE，在△PAC和△PBE中，∴△PAC∽△PBE，∴PA=PB．（3）如圖③，延長(zhǎng)AP交直線n于點(diǎn)F，作AE⊥BD于點(diǎn)E，，∵直線m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF∽△BPF，∴，∴AF?BP=AE?BF，∵AF=2PA，AE=2k，BF=AB，∴2PA?PB=2k．AB，∴PA?PB=k?AB．9.（2023洛陽(yáng)市洛龍區(qū)一模）[問題情境]（1）王老師給愛好學(xué)習(xí)小明和小穎提出這樣一個(gè)問題：如圖，在中，，為邊上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，過點(diǎn)作，垂足為．求證：．小明的證明思路是：如圖，連接，由與面積之和等于的面積可以證得：．小穎的證明思路是：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，可以證得：，，則．請(qǐng)你選擇小明、小穎兩種證明思路中的任意一種，寫出詳細(xì)的證明過程．[變式探究]（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，問題情境中，其余條件不變，求證：．[結(jié)論運(yùn)用]（3）如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)為折痕上的任一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，若，，求的值．[遷移拓展]圖是一個(gè)機(jī)器模型的截面示意圖，在四邊形中，為邊上的一點(diǎn)，，，垂足分別為，，且，，，，、分別為，的中點(diǎn)，連接，，請(qǐng)直接寫出與的周長(zhǎng)之和．【詳解】（1）證明：小明的證明：連接，如圖，∵，，，∴，∴，∵，∴．小穎的證明：過點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵，，，∴，∴四邊形矩形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴．（2）證明：小明的證明：連接，如圖，∵，，，∴，∴，∵，∴．小穎的證明：過點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．（3）解：過點(diǎn)作，垂足為，如圖，∵四邊形是矩形，∴，，，，又∵，∴，由折疊有，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四邊形是矩形，∴，由問題情景中的結(jié)論可得：，∴．∴的值為．（4）解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，如圖⑤，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由問題情景中的結(jié)論可得：，設(shè)，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：∴，∴，∴，∴，∵，、分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴與的周長(zhǎng)之和為，∴與的周長(zhǎng)之和．11.（2023洛陽(yáng)市洛寧縣一模）綜合與實(shí)踐（1）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，諸葛小組將正方形紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)處，折痕為，再將紙片沿過點(diǎn)的直線折疊，使與重合，折痕為，請(qǐng)寫出圖中的一個(gè)角；（2）【拓展探究】如圖，孔明小組繼續(xù)將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在折痕上的點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)．度；若，求線段的長(zhǎng)；（3）【遷移應(yīng)用】如圖，在矩形，點(diǎn)，分別在邊，上，將矩形沿，折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)，，恰好在同一直線上，若點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．

【小問1詳解】結(jié)論:，理由：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，∴，∴【小問2詳解】∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得:，，，∴，由()得:，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵，∴，，，∴，在中，，∴，∴，【小問3詳解】如圖中，上取一點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，∴，∴，∴，由()可知，設(shè)，則，，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：，∴，當(dāng)時(shí),同法可得，綜上所述，滿足條件的的值為：或．12.（2023洛寧三練）綜合與實(shí)踐我們?cè)跊]有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進(jìn)行如下操作也可以得到幾個(gè)相似的含有30°角的直角三角形．實(shí)踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)，將矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點(diǎn)H．第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線再次折疊，使CD落在對(duì)角線CA上，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．（1）在圖②中，______，______；（2）在圖②中，______；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；（3）拓展延伸：將上面的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)，若，連接，的長(zhǎng)度為m，則m的取值范圍是______．【小問1詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴DC=AB=，，∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)H重合，∴，∵矩形紙片ABCD對(duì)折，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點(diǎn)H，∴，，，∴，∴，，即，∴；在中，，根據(jù)折疊可知，，，設(shè)=x，，在Rt中，，即，解得：，∴，，∴；故答案為：；．【小問2詳解】∵，∴，∵，∴，根據(jù)折疊可知，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴空白處可以填A(yù)E或CF或BF或DE．故答案為：AE或CF或BF或DE（填其中任意一條即可）．【小問3詳解】∵在將上面的矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑的圓上，∴當(dāng)點(diǎn)在AC上時(shí)，最小，即的最小值為AH，∴，∵點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部或一邊上，∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)D時(shí)，最大，∵0°<α≤90°，∴最大無(wú)法取到最大值3，∴，綜上分析可知，m的取值范圍是．故答案為：．13.（2023南陽(yáng)南召三模）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如圖1放置，和重合．【操作一】三角板保持不變，將三角板繞著點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)它完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)時(shí)，______度．（2）求t為何值時(shí)，．【操作二】如圖2，在三角板繞著點(diǎn)B以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，三角板也繞著點(diǎn)B以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒（）．（3）求t為何值時(shí)，與重合．（4）試探索：在兩個(gè)三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得與中其中一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，，故答案為：；【小問2詳解】解：由題意，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，旋轉(zhuǎn)角度為或，∴或，故當(dāng)或13時(shí)，；【小問3詳解】解：由題意，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，∵，∴當(dāng)與重合時(shí)，，解得：；【小問4詳解】解：當(dāng)與重合前時(shí)，若，如圖2，則，∴，解得；若，如圖，則，∴，解得；當(dāng)與重合后，如圖，則，∴，解得，綜上，滿足條件的t值為2或4或12．14.（2023南陽(yáng)內(nèi)鄉(xiāng)縣三模）綜合與實(shí)踐【問題背景】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師將矩形按如圖①所示方式折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，折痕為，若為等邊三角形．（1）請(qǐng)解答老師提出的問題：試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【實(shí)踐探究】（2）小明受到此問題啟發(fā)，將紙片按如圖②所示方式折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，若,，①試判斷重疊部分的形狀，并說明理由；②若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，求的長(zhǎng)；【問題解決】小亮深入研究小明提出的這個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點(diǎn)：如圖③，在中，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)為折痕所在直線上一點(diǎn)，若，，，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【小問1詳解】．理由如下：∵為等邊三角形，∴．∴．設(shè)．在中，．∵矩形沿折疊，∴．∴．∵四邊形是矩形，∴．∴．【小問2詳解】①為等腰直角三角形．理由如下：∵沿折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴是線段的垂直平分線，．∴．∴．∴．∴為等腰直角三角形．②根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴．∴．【小問3詳解】或．理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)．如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，折痕為直線，點(diǎn)為折痕上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，，．∵，兩點(diǎn)關(guān)于折痕對(duì)稱，，∴，．∴．∵，，∴點(diǎn)為中點(diǎn)．∴．∴．∵，，，∴四邊形為矩形，．∴．∵，∴．在和中，∴．∴，．∴四邊形為正方形．∴．設(shè)．∴，．∴．∴．∴．∴．②當(dāng)點(diǎn)在外部時(shí)．如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，折痕為直線，點(diǎn)為折痕上一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，，．根據(jù)①的證明過程，同理可得，四邊形為正方形．設(shè)．∴，．∴．∴．∴．∴．綜上所述，BD的長(zhǎng)為或．15.（新鄉(xiāng)長(zhǎng)垣二模）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．【操作判斷】操作一；如圖1，正方形紙片，將沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形的內(nèi)部，得到折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，連接；將沿過點(diǎn)A的直線折疊，使與重合，得到折痕，將紙片展平，連接．（1）根據(jù)以上操作，易得點(diǎn)E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，①；②線段，，之間的數(shù)量關(guān)系為．深入探究】操作二：如圖2、將沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在正方形的內(nèi)部，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，將紙片展平，連接、．同學(xué)們?cè)谡奂埖倪^程中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E的位置不同時(shí)，點(diǎn)N的位置也不同，當(dāng)點(diǎn)E在邊上某一位置時(shí)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)N恰好落在折痕上，此時(shí)交于點(diǎn)P，如圖3所示．（2）小明通過觀察圖形，得出這樣兩個(gè)結(jié)論：①；②．請(qǐng)任意選擇其中一個(gè)結(jié)論判斷其是否正確，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】若正方形紙片的邊長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)N落在折痕或上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．【小問1詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴，即，∴，∵，∴；故答案為45；；【小問2詳解】解：選擇結(jié)論①，結(jié)論①是正確的，理由如下：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)，可知，，，，又，，由（1）得，是等腰直角三角形，，，，，；或選擇結(jié)論②，結(jié)論②是正確的，理由如下：由折疊的性質(zhì)，可知，，，，∴，∵，∴等腰直角三角形，，，，，，，，，；【小問3詳解】解：由題意可知：①當(dāng)點(diǎn)N落在折痕上時(shí)，如題圖3所示，由（2）可知，；②當(dāng)點(diǎn)N落在折痕上時(shí)，如解圖所示，設(shè)，則，由（2）可知是等腰直角三角形，，在中，由勾股定理得：，解得或（舍去），；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．

16（.2023新鄉(xiāng)原陽(yáng)一模）已知點(diǎn)C為和的公共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，請(qǐng)完成如下問題：（1）如圖1，若和均為等邊三角形，①線段與線段的數(shù)量關(guān)系是________；②直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是________；類比探究：（2）如圖2，若，，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否都成立？請(qǐng)說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，若，，，，當(dāng)點(diǎn)B，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫出長(zhǎng)．【小問1詳解】解：如圖1，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．和都是等邊三角形，，，，，，，．∵，．綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是．故答案為：，；【小問2詳解】①不成立，；②成立．理由：如圖2，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，∴，，，，，，．∵，．綜上所述，，直線與直線相交所夾銳角的度數(shù)是；【小問3詳解】的長(zhǎng)為或．如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)．，，，，，，．，，；如圖4，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，同理可得．綜上所述，的長(zhǎng)為或．17.（信陽(yáng)市浉河區(qū)）綜合與實(shí)踐：?jiǎn)栴}情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們拿出大小兩副三角板，按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．問題探究：將三角板繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，試判斷與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）在圖2中，連接，請(qǐng)求出長(zhǎng)度；（3）如圖3，G為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)G到直線的距離的最大值是______．【小問1詳解】解：，理由：如圖2，由題意得，，∴，，∴；【小問2詳解】解：如圖2，連接，∵，，，∴，∴，∴在中，；【小問3詳解】解：如圖3，取的中點(diǎn)，連接，則，∵G為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，過O作于N，當(dāng)點(diǎn)G在的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)G到的距離最大，如圖，∵，∴點(diǎn)G到直線的距離的最大值是，故答案為：．18.（2023鄭州金水區(qū)三模）在中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，（1）如圖1，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關(guān)系為______；（2）在（1）的條件下，①如果正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接、、，線段與AF的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；②正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)以點(diǎn)A，B，C，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)．直接寫出線段AF的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，根據(jù)勾股定理得，BC＝AB，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝，∵四邊形CDEF是正方形，∴AF＝EF＝AD∵BE＝AB，∴BE＝AF，故答案為:（2）①無(wú)變化理由如下：在中，∵∴∴在正方形中，在中，∴∵∴∴∴∴∴∴線段與的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化②如圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊上時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)F是BC邊的中點(diǎn)，∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=3∴∴如圖，當(dāng)點(diǎn)F在BC邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，由①知，AG=CD=CG=CF=在Rt△AGF中，AG=,GF=GC+CF=++=∴AF=綜上，線段AF的長(zhǎng)為或．19.（2023鄭外三模）【問題發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點(diǎn)和點(diǎn)分別是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)，并且滿足，分別過點(diǎn)和點(diǎn)作邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，那么的值是一個(gè)定值．問題：若時(shí)，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動(dòng)腦筋的小明立即拿出另一個(gè)三角板進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對(duì)于任意一個(gè)直角三角形，當(dāng)時(shí)，的值都是固定的，小明的猜想對(duì)嗎？如果對(duì)，請(qǐng)利用圖進(jìn)行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，，，，，故答案為：3．解：【操作探究】對(duì)，證明：于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，，，，